基于BP-ARIMA的混凝土坝多尺度变形组合预报模型

魏博文， 袁冬阳， 蔡 磊， 温勇兵， 徐镇凯

(南昌大学 建筑工程学院， 江西 南昌 330031)

大坝变形最能直观可靠地反映其服役性态，对大坝变形原型观测资料进行分析处理并建立实时预报模型是大坝安全监控领域中的前沿性研究内容[1-2]。限于当前监测技术及分析理论制约，常规统计模型中主要考虑水压、温度及时效的影响[3]，而对其结构损伤、流固耦合、节理裂隙及量测等不确定信息影响的考虑欠佳，在拟合精度与预报能力上难以进一步提高。因此，如何根据大坝原型观测资料建立较为精确的大坝变形预报模型，对及时掌握大坝服役性态和确保大坝长期安全运行具有重要意义[4-5]。

当前，基于大坝变形观测资料建立预报模型的方法较多，模糊数学[6]、BP神经网络[7]、时间序列[8]、灰色理论[9]、D-S证据理论[10]、人工蜂群算法[11]、遗传算法[12]、混沌理论[13-14]、系统优化模型[15]等方法在大坝变形分析预报中得到了广泛应用。但上述方法多针对大坝变形及其主要影响因素信息的挖掘，在大坝变形与其影响因子之间的复杂非线性关系及不确定信息因素影响等方面考虑欠佳[16]。同时，实际工程监测中，监测数据难免受到环境等因素影响而存在噪声，进一步限制了模型预报精度的提升。伴随计算机技术与监测信息处理技术的发展，支持向量机[17-19]、谱分析[20]等方法有效应用于原型监测数据中有效成分的提取，但多针对较为平稳的系统信号，对于看似随机但却表现出确定非线性的随机信号考虑不足。

考虑到大坝变形观测数据的演化与内外环境影响因素之间蕴含的依存关系亟待挖掘，采用多尺度小波分析技术对变形观测数据进行分解，分解后所得系统信号频率较低，具有较为明显的趋势性与规律性，该信号内蕴了水压、温度等周期性因子的影响；随机信号频率较高、非线性特征明显，包含了时效等不确定信息与噪声因素的影响。基于上述特征，分别利用ARIMA模型与BP神经网络对变形观测数据内蕴含的系统信号与随机信号分项训练预报，并将两者预报值相叠加，得到了基于BP-ARIMA的混凝土坝多尺度变形组合预报值。以某碾压混凝土坝为研究对象，分析所建组合模型的预报精度，以验证该模型的科学性与有效性。

1 大坝变形观测数据的多尺度小波预处理

小波分析[21]是一种时频分析方法，主要思想是认为监测信号中不同频率分量具有不同时变特性，高频分量具有随时间变化迅速的频谱特征，低频分量具有随时间变化缓慢的频谱特征，据此规律非均匀划分时间轴和频率轴，可在不同时频区得到较合理的时间和频率分辨率，具有良好的多分辨率分析特点[22-23]。小波技术可根据系统信号和随机信号的频率特征实现二者分离，将时域信息与频域信息有机结合，在提取信号频率特征的同时保持了时域特征[24]。

图1 小波分解示意Fig.1 Schematic diagram of wavelet decomposition

受水位、温度与时效等因子及仪器量测精度不确定性等因素的影响，大坝变形观测数据常包含系统信号与随机信号，两种信号具有明显不同的频率特征，系统信号频率较低，具有较为明显的趋势性与规律性，常认为是水压、温度等周期性影响因子作用的结果；随机信号频率较高，非线性特征明显，大坝服役期间坝体及坝基材料参数演变、坝体内部结构损伤、节理裂隙、流固耦合以及仪器量测误差等不确定性因素是导致其离散性较高的主要原因。设大坝变形观测资料S(H,T,θ)满足S(H,T,θ)∈L2(R)，以3层分解为例对S(H,T,θ)进行小波分解，其分解过程如图1所示。

由图1可知，S(H,T,θ)经小波逐层分解后得到了低频信号a3和高频信号d1，d2，d3，故原型观测信号在分解尺度J下的分解表达式为：

(1)

(2)

(3)

式中：φJ,k(x)为尺度函数；cJ,k为尺度展开系数；ψJ,k(x)为小波函数；dJ,k为小波展开数；k为分解层数；Z为整数集。

2 BP-ARIMA变形组合预报模型的构建

2.1 随机信号的BP神经网络预报

BP神经网络是指采用误差反向传播算法(Back Propagation，BP)的多层前馈型神经网络，具有较强的计算能力，可以表达多种复杂的映射。随机信号具有较强的非线性特征，是某种依赖关系的直接体现，视为非平稳序列，组合各阶高频信号序列利用BP神经网络进行拟合预报。本文采用3层BP神经网络结构，网络学习的过程具体如下：

(1)对于给定神经元xj，网络的输入与输出分别为

yj=Wjixj+θj

(4)

(5)

式中：W为二者之间的权重；θ为阈值。

(2)计算各层节点误差信号

(6)

式中：Z°j为神经元的期望输出。

(3)权值修正

(7)

式中：α为学习率。

(4)网络收敛判别

(8)

式中：Zj和Zj°分别表示实际输出与期望输出；n为样本总数。当神经网络自学习获得的网络收敛判别依据E小于给定拟合误差时，结束网络训练。

2.2 系统信号的ARIMA模型预报

ARIMA模型是将ARMA(p,q)模型与差分运算有机结合起来，具有精度较高的短期预测功能，是描述非平稳时间序列的重要方法[25]，也常写作ARIMA(p,d,q)模型。建模的基本思想是使用差分法对非平稳时间序列进行平稳化处理，通过观察相关函数截尾和拖尾特征、自回归阶数(p)、差分次数(d)和移动平均阶数(q)3个参数，进而对时间序列进行预测分析。系统信号较为平滑，为近似平稳的时间序列，该组随机变量一方面表现出预报数据在时间上的延伸，另一方面受环境扰动亦表现出自身的变动规律。ARIMA模型结构如下：

(9)

式中：xt(t=0,1,2,…,n)为系统信号，xt与xt-i(i=1,2,…,p)相关，δt为ARIMA模型误差，δt与δt-j(j=1,2,…,q)相关；B为延迟算子且满足Bnxt=xt-n；d为差分算子，dd=(1-B)d；φ1,φ2,…,φp为自回归系数，θ1,θ2,…,θq为滑动平均系数。δt满足：

δt=θ1δt-1+θ2δt-2+…+θqδt-q-φt-φ1xt-1-φ2xt-2-…-θpxt-p-xt

(10)

满足式(9)的模型即为ARIMA(p,d,q)模型。ARIMA预报模型的建立主要通过以下4个步骤实现：

(1)平稳性检验与平稳化处理。采用时间序列的散点图、自相关函数(ACF)、偏自相关函数图(PACF)和单位根ADF检验时间序列的平稳性，若数据序列非平稳，并存在一定的增长或下降趋势，则需对数据进行d阶差分处理，即序列平稳化处理。

(2)模型识别与定阶。平稳性检验或d阶差分平稳化处理后，根据自相关函数ACF和偏自相关函数PACF分析确定适合该序列的ARIMA(p,d,q)模型形式，即判断模型形式为AR(p), MA(q)或ARMA(p,q)模型。在确定模型形式后，一般采用AIC标准定阶对其阶数进行定阶，AIC标准的定阶方法为

(11)

(12)

目标函数

(13)

(14)

φ，θ的最小二乘估计计算方法定义为：

(15)

目标函数(13)则可写作

(16)

总之，汉魏六朝时期的死亡观受到庄子哲学、自然气化论和命定说的交叉影响，体现在遗令文中时常也是混杂在一起的。而且，遗令文中的死亡观也存在着一个故作达观和真正达观的问题，存在着抗俗与顺俗的问题(详下文)，需要结合作者的具体情况和为文背景来仔细分辨和探索发现。故作达观者有时是为了排解死亡的恐惧，有时是为了矫时抗俗。真正达观者坦然面对死亡的来临，按照自己的本愿交代后事，但也有人兼顾时俗和儿孙，在本愿和俗情间求一调和，这在后事丧葬安排上十分明显的表现出来。

(17)

(18)

2.3 BP-ARIMA混凝土坝变形组合预报模型的构建

结合上述理论，将大坝变形实测资料利用多尺度小波分解后所得的随机信号与系统信号分别结合BP神经网络与ARIMA模型进行训练和预报，并按照相应日期将其预报值进行叠加，至此得到了基于BP-ARIMA模型的混凝土坝变形组合预报值。本文提出基于多尺度小波分解与重构的BP-ARIMA混凝土坝变形组合预报模型构建流程如图2所示。

图2 模型构建流程Fig.2 Flowchart of model formation

图3 大坝变形监测布置方案Fig.3 Arrangement of measuring points

3 工程实例

某混凝土重力坝最大坝高113.0 m，坝顶高程179.0 m，正常蓄水位与校核洪水位高程分别为173.0和177.8 m，调节库容与总库容分别为11.22亿m3和20.35亿m3。该坝布置了包括变形、渗流、温度以及应力应变等较为全面的监测项目，用以监测大坝变位的项目主要有正、倒垂线、引张线和视准线等，其中水平顺河向、垂直水流向位移量利用正、倒垂线监测，布置方案见图3。

图4 PL2测点位移实测过程线与上游水位过程线Fig.4 Hydrograph of upstream water level and measured deformation of PL2

选取2#坝段2006年6月1日至2008年5月31日正垂线测点PL2(140 m)水平位移自动化监测序列进行分析，剔除异常干扰值，并经等时间间隔处理后，得到一个包含689组数据的位移实测序列，以前670组监测数据作为模型训练样本，后19组数据进行预报。监测时段内上游水位过程线与测点实测位移过程线如图4所示。

由图4可知，测点PL2位移实测序列与水深序列变化趋势完全一致，当上游水深减小时，坝体向上游的位移增大；反之，坝体向下游的位移增大。为尽量减少实测信号的损失，根据工程经验，选取MATLAB小波分析工具箱中dbN小波系的db4小波对测点位移实测信号进行3层分解，获得1组系统信号序列a3，3组随机信号序列d1，d2，d3，分解所得的系统信号与随机信号序列长度与水平位移自动化监测序列长度相等，其分解结果见图5。

图5 PL2测点小波3层分解Fig.5 Decomposition results of residual sequence of PL2

由图5可知，系统信号序列a3平滑度较好，变化趋势与大坝变形观测数据一致，随机信号序列d1，d2，d3较离散，但表现出一定的周期性，初步分析应是受水位、温度等周期性因素影响。为便于对各频段信号分别建模计算，将上述分解所得随机信号序列按相应日期叠加进行重构，合成结果如图6所示。

图6 PL2测点信号合成曲线Fig.6 Reconstruction result of residual sequence of PL2

由图6可知，随机信号表现出明显的离散性，为非稳定性数据，采用BP神经网络建模分析；系统信号较位移实测序列更平滑、稳定性更好，采用ARIMA方法建模分析。将2种方法所得的拟合预报值叠加即为组合预报值。其中，ARIMA模型的参数为p=0，d=2，q=7；BP神经网络采用由表示条件属性输入的输入层、决策属性输出的输出层和隐藏层3层结构实现，输入层对应坝体位移的主要影响因子，如水压、温度与时效，有9个节点；输出层对应相应坝体位移，有1个节点；隐含层节点数取11。BP神经网络收敛曲线如图7所示，其参数设置为：网络最大训练次数为2 000；训练的最大允许误差为0.005；网络学习速率为0.01。

图7 网络训练过程收敛曲线Fig.7 Network training process convergence curve

为了验证组合模型预报结果的有效性，同时建立了PL2测点的回归模型与BP模型，3种方法拟合及预报结果如图8所示，残差序列对比见图9。

为进一步验证所建模型的预报结果，运用本文方法，以PL5(179.0 m)测点为参照点预报其相应时段的大坝变位，并将其拟合与预报结果及残差序列分别绘制于图10和11。同时，对3种模型的预报精度进行深入比较，分别量化计算了PL2与PL5测点的模型预报结果统计指标，如平均误差(mean error, ME)、均方误差(mean square error, MSE)和平均绝对百分误差(mean absolute percentage error, MAPE)，如表1所示。

通过PL2与PL5测点的实例分析，由图8～11可见3种模型的拟合值、预报值与实测值变化规律一致，表明本文所建模型的有效性。同时，较回归模型、BP模型相比，组合预报模型的拟合值和预报值更贴近变形实测值，且其拟合与预报误差更小，说明该模型较常规监测模型的预报精度更优，由此验证了所建立的组合预报模型的合理性和科学性。表1中的统计指标进一步佐证了组合模型相较回归模型与BP模型，有效地减小了预报误差，提高了预报精度。究其原因主要有以下两点，首先，本文所建组合预报模型充分捕捉了大坝变形观测资料中所蕴含的有效成分，有效克服了常规模型信息挖掘手法单一的缺陷；其次，采用小波分析技术对其进行分解与重构，并采用BP神经网络与ARIMA对所分解信号分频训练，充分挖掘了监测资料中所蕴含的时变特性与混沌特性。

图8 PL2测点变形拟合及预报结果Fig.8 Displacement fitting and forecast results of PL2

图9 PL2测点残差序列对比Fig.9 Contrast diagram of residual sequences of PL2

图10 PL5测点变形拟合及预报结果Fig.10 Displacement fitting and forecast results of PL5

图11 PL5测点残差序列对比Fig.11 Contrast of residual sequences of PL5

统计指标PL2测点PL5测点拟合段预报段拟合段预报段BP模型ME/mm8 852×10-15 614×10-13 310×10-14 329×10-1MSE/mm2 025×10-16 742×10-11 878×10-11 575×10-1MAPE2 522×10-12 361×10-12 357×10-14 921×10-2回归模型ME/mm9 149×10-11 0058 925×10-17 304×10-1MSE/mm1 124×10-18 383×10-19 483×10-19 976×10-1MAPE9 836×10-13 235×10-14 267×10-14 310×10-1组合模型ME/mm8 036×10-12 074×10-12 433×10-13 438×10-1MSE/mm2 15×10-21 86×10-22 68×10-26 14×10-2MAPE4 85×10-23 57×10-25 72×10-26 43×10-2

4 结 语

(1)本文结合小波分析技术、BP神经网络理论与ARIMA模型建立了基于BP-ARIMA的混凝土坝多尺度变形组合预报模型，较常规模型而言，该模型可以捕捉到变形监测信号中绝大部分数据特征，有效弥补了常规模型信息挖掘手法单一的缺陷。

(2)采用ARIMA模型和BP神经网络对不同特征信号的训练优势分项建立预报模型，充分提取了监测信息中所蕴含时变特性与混沌特性。工程实例表明，文中所建模型的拟合与预报精度较常规模型有明显提高，从而佐证了所建模型的有效性。

(3)本文所建方法计算简便高效，亦为高边坡及水工建筑物中等其他监控指标的拟定与预报提供了新方法，在实际工程领域中具有一定的推广应用价值。

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