蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度

吴呼玲

(陕西国防工业职业技术学院机械工程学院，陕西 西安 710300)

0 引言

圆度误差是轴套类零件经常需要检测的形位误差项目。圆度误差测量不确定度的评定已成为测量领域的一个重要课题。常用的圆度测量不确定度评定方法有：①依据《测量不确定度表示指南》(guide to the expression of uncertainty in measurement，GUM)的基本原理和方法(GUM[1]法);②蒙特卡罗法[2](Monte Carlo method,MCM)。

GUM法需要根据评定方法建立误差数学模型，首先求出误差模型中的传递系数和参数间的相关系数，然后根据测量不确定度合成公式进行评定。由于圆度测量的点数较多，而且分为直角坐标系和极坐标系两种情况，误差模型较为复杂，因此很难求出不确定度。

蒙特卡罗法是一种统计模拟的方法，使用随机数模拟实际测量值来解决问题。该方法利用MATLAB软件中的相关函数产生一组随机数组来模拟实际测量值，求出形位误差的测量不确定度。该方法评定结果准确、操作方便、简单快捷，为测量技术领域和其他数据处理领域提供了新的方法。

1 圆度误差的最小二乘数学模型

测量圆度误差时，以零件测量时的回转中心O为圆心，选取两个相互垂直的径向线构成直角坐标系。圆度最小二乘模型如图1所示。

图1 圆度最小二乘模型Fig.1 The least squares model of roundness

在零件截面轮廓上，以等角度间隔进行测量采样。采样数据为pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)。其中：xi为实际圆周上各采样点在x轴上的坐标值，yi为采样点在y坐标轴上的坐标值。设采样点的截面轮廓的最小二乘圆圆心O′的直角坐标为O′(a,b)，最小二乘圆的半径为R，则最小二乘圆方程为：

(x-a)2+(y-b)2=R2

(1)

式中：a、b分别为最小二乘圆圆心在直角坐标系中的坐标值；R为最小二乘圆的半径。

根据实际轮廓圆上各pi点的直角坐标值,求得最小二乘圆圆心坐标a和b。

(2)

(3)

式中：n为实际轮廓等分的间隔数。

实际轮廓上的各采样点pi到最小二乘圆的偏距ΔRi为：

(4)

设距离最小二乘圆心最远的点和最近的点分别为(xM,yM)、(xL,yL),则圆度误差可表示为[3]：

(5)

式中：(xM,yM)为实际采样点距离最小二乘圆心最远的点坐标；(xL,yL)为实际采样点距离最小二乘圆心最近的点坐标。

2 圆度测量结果不确定度评定

2.1 GUM法

要计算圆度的测量不确定度[4]，首先要确定圆度误差模型中各参数的传递系数和单点测量不确定度。

①计算式(5)中圆度误差模型各参数的传递系数[5]。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

②计算各参数测量不确定度。

实际测量中，各测量点的测量环境是相同的，各点的测量不确定度也是相同的，都等于单点测量不确定度。a和b的不确定度可通过式(12)和式(13)求得：

(12)

(13)

式中：μ0为圆度的单点测量不确定度。

将推导出来的传递系数和单点测量不确定度代入

圆度测量不确定度评定公式[6]，即可求得圆度的测量不确定度。

(14)

2.2 蒙特卡罗法

利用蒙特卡罗伪随机数原理，根据圆度误差模型，产生服从正态分布的随机数序列值。该序列值的期望为各参数的测量值，方差为各参数的单点标准不确定度，从而得出圆度的测量不确定度[7]。

①分析不确定度来源。设定分布类型、分布区间，得出各不确定度数值。

②确定圆度误差模型(5)中的参数：xM、xL、yM、yL、a、b的期望和方差。

③以xM、xL、yM、yL、a、b这6个参数的期望和方差，分别生成六维随机数模拟圆度误差的实际测量值，样本容量取M，对其进行圆度误差的不确定度评定。六维随机数分别为：[xM1,xM2,xM3,…,xMM];[xL1,xL2,xL3,…,xLM];[yM1,yM2,yM3,…,yMM];[yL1,yL2,yL3,…,yLM];[a1,a2,a3,…,aM];[b1,b2,b3,…,bM]。

④将产生的随机数值代入圆度误差模型，求出M个圆度误差值f。根据这组f值，构造概率分布。其方差值则为圆度误差的测量不确定度[8]。

3 试验数据采集及结果验证

使用爱德华公司MQ686型三坐标测量机，对JP19型万能工具显微镜的顶尖轴进行圆度误差的测量[9]和评定。将被测顶尖轴用高精度三爪卡盘夹紧，放置于三坐标测量机的测量平台上；然后对其进行圆度测量。在被测顶尖轴上选取三个截面，每个截面等角度测量24个点。三坐标测量机测量顶尖轴圆度数据如表1所示。

表1 顶尖轴圆度数据Tab 1 Roundness data of the top axismm

3.1 不确定度来源分析

三坐标测量机的工作要求是：室内温度达到20 ℃，被测零件和测量设备等温10 h。其三坐标测量机的不确定来源可忽略温度、湿度带来的影响，主要分析以下几个方面的影响[10]。

①重复性引起的不确定度分量。

4个点的测量不确定度结果分别为：

u1=σ1=0.028 μm;u5=σ5=0.032 μm;u15=σ15=0.023 μm;u20=σ20=0.035μm。

三坐标测量机重复性测量的不确定度u1=umax=0.035 μm。

②示值误差引入的不确定度分量。

③测量力引入的不确定度分量。

实际测量中，各部件的刚性较好，而且测量过程中测量力调节至很小，可忽略测力变形引起的误差。不确定度分量为u3=0。

④分辨力引入的不确定度分量。

⑤径向误差引入的不确定度分量。

三坐标的径向误差小于0.03 μm，服从均匀分布。

⑥温度引入的不确定度分量。

测量时，被测件、三坐标和测量人员都在等温后进行测量工作，而且符合国家标准要求的测量环境。不确定度分量u6=0。

因此，圆度单点测量不确定度为：

3.2 圆度误差计算

将表1中的测量结果代入式(2)和式(3)，求出最小二乘圆的圆心坐标(a,b)，可得最小二乘圆方程。其中：a=0.015 7、b=0.002 0。然后，求出各测点到最小二乘圆心的距离。各测点到最小二乘圆心计算结果如表2所示。

表2 各测点到最小二乘圆心的距离Tab.2 The distance between each measuring point to the least square center mm

测点和最小二乘圆如图2所示。

图2 测点和最小二乘圆示意图Fig.2 The measurement points and the least squares circle

由图2可知，距离圆心最远和最近的点分别是测点12和测点4(x轴的零度方向上的点序号为测点1，依次逆时针方向点的序号为2,3,…,24)，对应的点坐标分别为xM=-9.670 3 mm、yM=-2.603 5 mm和xL=7.087 8 mm、yL=7.054 2 mm。将各参数代入式(3)，则圆度误差值为：

3.3 计算不确定度

①GUM法评定圆度测量不确定度。

uf=2.274 μm

②蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度。

利用计算机生成圆度误差模型中6个参数xM、xL、yM、yL、a、b的正态分布。每个参数数组的期望为该参数的测量值，方差为该参数的测量不确定度，即为：

[xM1,xM2,xM3,…,xMM]～N(-9.670 3 mm，1.56 μm)

[xL1,xL2,xL3,…,xLM]～N(7.087 8 mm，1.56 μm)

[yM1,yM2,yM3,…,yMM] ～N(2.603 5 mm，1.56 μm)

[yL1,xL2,xL3,…,xLM]～N(7.054 2 mm，1.56 μm)

[a1,a2,a3,…,aM]～N(0.015 7，0.318 μm)

[b1,b2,b3,…,bM]～N(0.002，0.318 μm)

取样本容量M=10 000。根据所得随机数，求出10 000个圆度误差值f，构建圆度误差概率分布。圆度误差概率分布直方图如图3所示。求出这组数据的期望和方差，即为圆度误差和圆度测量不确定度[12]。

图3 圆度误差概率分布直方图Fig.3 Histogram of probability distribution of roundness error

由图3可知：圆度误差f=41.924 5 μm， 圆度测量不确定度uf=2.194 5 μm。

③结果比较。

GUM法的评定结果为：圆度误差f=41.926 2 μm；圆度测量不确定度uf=2.274 1 μm。

蒙特卡罗法的评定结果为：圆度误差f=41.924 5 μm；圆度测量不确定度uf=2 194 5 μm。

由以上评定结果比较可知，GUM法和蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度的结果基本一致，并且完全满足精度要求。因此，蒙特卡罗法以其评定结果准确、可靠，评定过程简单、高效的优点，为测量不确定度评定提供了一种新的方法。

4 结束语

本文分别采用了GUM法、蒙特卡罗法对直角坐标系下的圆度误差进行了测量不确定度评定。试验数据表明，两种方法的评定结果基本一致。GUM法是按照《测量不确定度评定指南》中的评定步骤进行评定的，需要求出圆度误差数学模型中各个参数的传递系数。误差模型复杂或非线性时，参数之间的相关系数难以求出，对圆度测量不确定度的评定带来了困难。而蒙特卡罗法则采用数据模拟的方法进行圆度测量不确定度的评定，针对误差模型复杂或非线性的情况，其评定更为便捷。因此，蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度是一种行之有效的方法。该方法也可应用到其他形位误差测量不确定度的评定，在测量领域具有一定的工程实用价值和应用前景。

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