研究数形结合思想在初中数学解题中的应用

杨爱芳

数形结合思想是初中数学解题中常用的思想，本文现探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用，希望能为进一步提升学生的数学解题能力提供帮助。

随着新课改的不断推进，数形结合思想在初中数学解题中的应用也越来越广泛，现阶段，进一步研究数形结合思想，发挥其在初中数学解题中的作用，是每位初中数学教师共同的议题。

1 数形结合思想在初中数学解题中的重要作用

数形结合思想从字面意思上理解，就是数字、数学公式通图形、图像结合起来，用以解决一些抽象的、难以理解的数学问题，借助数形结合思想，学生的解题速度和解题质量都将大幅度提升，教师的教学难度也将降低。数形结合思想有以下几点作用：第一，增强数学公式的直观性；第二，丰富学生的解题思路；第三，培养学生的数形结合思维；第四，提升学生的想象力和创造力。

数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

2 数形结合思想在初中数学解题中的实例应用

2.1 数形结合思想适用的题型范围

1、几何图形与数量关系相结合：几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系；一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。

2、函数图象与数量关系相结合：数轴使實数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。

3、图形的运动变化与函数问题的结合：函数建立起两个变量之间的关系，运动变化便进入了数学，运动改变了图形的位置、形状，其中蕴涵的数量关系也会发生变化，研究图形运动变化体现出来的函数关系，使数形结合更具活力，更丰富多彩。

2.2 数形结合思想的应用原则

1、等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

2、双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错；

3、简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

2.3 数形结合思想的应用方式

1、建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

2、构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

3、构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

2.4 数形结合思想的应用实例（题目+解析）

数形结合思想是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何形式巧妙、和谐的结合起来，并充分利用这种“结合”，寻求解题思路，使问题得以解决.

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以数解形，以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合。

1、以数解形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等。

例题如下：

如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F。若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置。

解析：由图可知，△AFD、△CFE、△EDB均为直角三角形，则以△AFD为例，根据勾股定理可知，FD^2+AD^2=AF^2，其他两个三角形（△CFE、△EDB也有这样的等式规律。）此时我们有两种解决方法，第一种是选择最常用的沟三股四弦五方法，即把FD^2+AD^2=AF^2带入数（4，3，5）得到4^2+3^2=5^2，等式成立，则FD=4，AD=3，AF=5，又因为△ABC是正三角形且若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，所以△AFD、△CFE、△EDB三个三角形相同，所以BD=AF=5，所以AB=AD+BD=8，所以D在AB上的位置为AD/AB=3/8。

2、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例题如下：

如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合.

若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为多少cm.

解析：由题目和图形可知，5～20CM之间的长度为15CM，而由上述题目条件（当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm））可知，5～A=A～B=B～20，所以木棒AB的长度=15/3=5CM.

当然，由题（1）的启发，我们发现了“数轴” 以形助数的重要作用，同样的，我们还可以借助“数轴”这个工具解决许多生活问题。

3 结束语

综上所述，数形结合思想主要有三大应用途径，即韦恩图在集合中的应用、利用数形结合思想解决函数问题、依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答三部分，本文通过阐述教学实例，阐述了数形结合思想在初中数学解题中的应用，希望能对提升初中数学教学水平提供帮助。

（作者单位：苏州市相城区蠡口中学）