《两角差的余弦》教学设计

张娜

本节课是高中数学人教A版第三章第一节第一课时的内容，是三角函数线、诱导公式等知识的延伸，是我们后续学习两角和差公式、二倍角公式等一列公式推导的核心和基础.对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有着重要的支撑作用.

【学情分析】

学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换，理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别.

【教学目标】

1.知识与技能

通过让学生探索、猜想发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立两角和差的正余弦公式和正切公式打好基础；

2. 过程与方法

在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力，并体会数形结合的数学思想；

3. .情感态度

通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活又应用于生活，激发学生的学习积极性.

【重难点】

重点：两角差的余弦公式的探索和推导过程及简单应用。

难点：两角差的余弦公式探索过程中的组织和适当引导。

【教学过程】

阅读课本第124页.

（一）创设情境，引入课题

一年之计在于春，同学们有没有自己的计划？相信很多同学已经在心里暗下决心，要在万物复苏，充满希望的春天里努力学习达到预期的学习目标，为之后迈向理想的大学铺路！不过，身体要保持健康强壮是前提，生活在泰山脚下，课件播放泰山景点图片.有没有经常爬个山坡锻炼一下呢？爬山的时候有没有时刻体会到数学呢？我们取一段山坡，如果山坡长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们爬完山坡后，在水平方向上前进了多少米？

设前进量为 米，则 米

提问：当山坡坡度为45度时，其他不变， 等于多少？

答： 米

提问：当山坡坡度为15度时，此时 又等于多少？

答： 米

问题1： 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？

【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，基于人的由低到高的认知规律，把新内容的起点定得越低，学生越易入门，所以我将教材中的例子做了修改，从而培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣.

（二）自学探究，提出猜想

问题2：对任意的 ， 是否成立？

1. 思考： 能否用特殊角表示？

预案1：

问： 是否成立？为什么？

【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系.

2. 探究： 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？

提示：利用单位圆、向量知识，插入微课复习旧知.

其实我们之前已经接触过两角差的余弦，想想在哪里接触过呢？

【设计意图】从新旧知识之间的联系入手，通过插入微课复习旧知，让学生对新知不陌生，让学生发现 与 的值都有关系，为最终公式的得出做铺垫.

（三）合作解疑，证明猜想

【设计意图】这个推导过程对于学生来说，比较繁琐.所以我制成动画课件把探索过程逐步展示出来.

问题3：以上结果是在 都是锐角且 的情况下得到的，对一般情况下的角是否成立？

探究：证明对任意的 都有 .

方案2：利用单位圆、向量知识.

【设计意图】作为第一个和差公式，通过趣味性的记忆，加深学生印象.

（四）精讲点拨，巩固训练

例1：利用差角余弦公式求 的值.

【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力.

例2：已知 是第三象限角，求 的值.

解：由 可得

【设计意图】训练学生思维的有序性、思维过程表述的准确性与简洁性，这些都是三角恒等变换能力所不能忽视的；注意角 、 的象限，也就是符号问题.

变式2：若将例2中的條件 去掉，对结果和求解过程会有什么影响？

【设计意图】将例2作此延伸，体现讨论的数学思想.

练习：1、 的值为

2、化简 =

3、已知 则 的值为

4、已知 是第三象限角，求 的值.

【设计意图】1、2题考察公式的逆用，3题考察特殊角与非特殊角在两角差的余弦公式中的结合；4题强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。

（五）课堂小结，回顾反思

1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？

①学习了差角余弦公式；

②假设猜想—反证否定—用向量、三角函数线探究公式—证明结论—公式应用

2.学习与应用过程中，你有什么体会？

①证明一个假设不成立，只需举出反例即可.

②探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一般情况.

③公式应用中，可以有不同的解题方法.

【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的.

（六）当堂达标

【设计意图】考察公式的逆用，特殊角与非特殊角在两角差的余弦公式中的结合，强调解决三角变换问题的基本要求，从而加强巩固本节课的知识.

（七）布置作业

课本第127页练习2、3、4题.

【设计意图】课下巩固练习。