“通性通法”在高中数学解题中的应用

卢晓兰

数学是高中教育教学不可缺少的一部分，同时也在其中占据核心位置。高中生面临高考的压力，因此在实际对数学进行学习时必须针对题目进行灵活的解题。经过长期的实践与探究，我国数学教学工作取得显著的成就，但在实际中还是存在一定的不足与阻碍。本文主要针对“通性通法”在高中数学解题中的应用进行探究，这对我国教育教学事业的发展有极大的促进作用。

一、高考观点下的中学数学

从本质上来说是数学是一种科学，具有一定的形式性。数学也可作为形式化的方法或者形式化的语言为科学研究提供依据。通过对《数学课程标准》进行解读后发现，需要利用数学的思想与方法对活动材料进行组织与整理。在《数学课程标准中》我们可将数学学习内容的核心概念分为以下6种，分别为数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识以及推理能力。其中符号可作为重要的标志对人类的文明发展进行衡量，促使学生感受符号并实现对符号的灵活使用是数学课程的实质与目标。

方程、不等式、算式与以及函数式是高中数学的四种主要形式。我们也可以概括的将数学解题分为两个主要步骤，首先是促使问题进一步实现向形式化的转变，在此基础上对方程、不等式、算式或者函数式进行列举，最后在进行形式操作时必须符合数学的规范形式。下面我们记性举例说明。

假设1和根号2都在等差数列{a2}的涵盖范围之内，需要对{a2}中任意3项均不构成先等比数列进行证明。从解题本质角度来说，首先需要对形式符号进行利用，主要是对该数列中任意满足条件的三个选项进行充分表达，然后通过形式推理的方式证明结论是否成立，也可结合实际使用反证法。

这道题可以说是一种证明题，主要是在设定形势符号的基础上对任意3项数列进行表示，上述过程中大多数内容都是在算式的基础上对其进行推导，其中主要包含以下几个要点。首先是对成为主变量的几个量进行选择，然后在适当利用变量带换的基础上实现其过程的有效简化。在实际引出矛盾的过程中需要对有理数以及无理数的特殊性质进行利用，最终实现对其中蕴含代理的充分说明。

二、中学数学中的通性通法

通性通法最早是由美籍华人数学家项武义教授提出，最开始出现于同一套初中数数学实验教材中，后来这种提法得到广泛应用。多数人认为常用以及多用性质与方法就是指通性通法，因此我们首先需要做的就是对通性通法进行界定。

中学数学主要是由十多个系统领域共同组成，高中数学特别明显。我们可将上述领域中的内容主要分为两个部分，其中一部分是新学的是定义、性质以及方法，这对该领域有一定的针对性，上述内容在实际进行形式与体系变化过程中需要对一种常见的方法与技巧进行使用。另一部分是对通常使用的方法进行利用，这部分内容属于已经学习过的内容。在实际对公式进行变换与换算时就需要对通性通法进行使用，这也可在一定程度上证明通性通法存在的真实性。

多数数学问题需要通过方程求解；通常通过不等式求某变量的取值范围；通过算式求值；通过函数研究变量的变化规律。因此，中学数学的四大基本形式是：方程、不等式、算式与函数式。

三、从笛卡儿模式到高考数学解题的万能模式

1.约三百七十多年前，近代著名的法国哲学家、数学家笛卡儿曾试图要创造万能的方法，来解决数理上的一切问题。他的这个“万能方法设想”，画成模式图可以表示如下：

这样一个常用的统一处理数学问题的方式，著名数学家波利亚后来把它叫做笛卡儿模式。

2.通过分析大量的高考数学试题与高考模拟卷中的试题，发现高考数学解题中最常用的通法是：把问题的条件通过种种途径，化为4种基本形式（方程、不等式、算式和函数式）；然后，再对它们进行计算、变换、求解。

3.又注意到：从高考数学命题的指导思想与原则的一系列提法：“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能”，命题“坚持多角度、多层次的考查；注重对基础知识的考查；同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题设计的层次性，合理调控综合程度”。

四、对高考数学教学的指导意义

据此万能思路，教师在教学中重点是分析，并要让学生掌握常用的把条件转化为方程、不等式的办法；掌握常用的解方程、不等式组，变换推演算式、函数式的方法技巧；掌握常用的分解讨论、映射转换方法及其注意点。

因为学生的困难往往在于：某几个条件没法把握，从而列不出与它相关的方程或不等式；或是解方程、不等式组，变换某个算式的某些特殊方法技巧掌握得不太好，临场没想到。可以注意与预测到，创新试题主要就是情景創新与条件创新。方向可以预见，具体的内容很难猜测到。笔者深信，一些重点高中的名师，必有应对创新试题方面的不可轻易外传的指导经验。

（作者单位：甘肃省白银市会宁县第一中学）