积分上限函数的研究与应用

高吉　贾文太

摘要：积分上限函数是高等数学中的一个重要概念，本文通过推导给出几类积分上限函数的导数，并通过例子说明其应用。

关键词：积分上限函数；导数；应用

在一元函数积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。下面我们在给出积分上限函数的基础上，讨论它的应用。

一、积分上限函数的定义

定义：设函数f（x）在区间[a，b]可积，则对于每一个取定的x∈[a，b]，对应唯一一个积分值，即Φ（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]称为函数f（x）的积分上限函数。积分上限函数有明显的几何意义：设x∈[a，b]有f（x）0，则积分上限函数Φx=∫xaftdt是区间a，x上的区边梯形的面积。

二、积分上限函数在求导数中的应用

定理1如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数 φ（x）=∫xaf（t）dt在[a，b]上具有导数，且它的導数是φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）（a≤x≤b）.

证给自变量x以增量Δx，且使x+Δx在连续区间内，则

φ（x+Δx）=∫x+Δxaf（t）dt，函数φ（x）在x处的增量为Δφ（x），则

Δφ（x）=φ（x+Δx）-φ（x）

=∫x+Δxaf（t）dt-∫xaf（t）dt

=∫x+Δxxf（t）dt.

应用积分中值定理，Δφ（x）=f（ξ）·Δx（ξ在x与x+Δx之间），所以Δφ（x）Δx=f（ξ）（Δx≠0）.

令Δx→0，由于f（x）是连续函数，因此，当Δx→0时，ξ→x，则limΔx→0Δφ（x）Δx=limξ→xf（ξ）=f（x）.

即φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

定理2 ddx∫g（x）af（t）dt=f[g（x）]·g′（x），其中g（x）是可导函数.

例1求ddx∫πxsint2dt.

解∫πxsint2dt=-∫xπsint2dt，

ddx∫πxsint2dt=-ddx∫xπsint2dt=-sinx2.

例2求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函数关系，定积分∫x20sintdt是上限x2的函数，而上限x2又是x的函数，因此，对x求导要按复合函数的求导法则进行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

三、 积分上限函数在极限中的应用

例3求limx→1∫x1（t2-1）dtln2x.

解limx→1∫x1（t2-1）dtln2x=00limx→1x2-12lnx·1x=limx→1x（x2-1）2lnx

=limx→1x3-x2lnx=00limx→13x2-12x=1.

例3求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函数关系，定积分∫x20sintdt是上限x2的函数，而上限x2又是x的函数，因此，对x求导要按复合函数的求导法则进行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

四、积分上限函数在单调性的应用

例4.设f（x）∈（0，+ 并且x∈[0，+

SymboleB@ ）时，f（x）0，

证明：函数F（x）=∫x0tf（t）dt∫x0f（t）dt在（0，+

内有定义（∵f（x）>0，x>0∫x0tf（t）dt>0）

由定理1.4得，当x>0时

ddx∫x0tf（t）dt=xf（x）；ddx∫x0f（t）dt=f（x）.

故F′（x）=xf（x）∫x0f（t）dt-f（x）∫x0tf（t）dt（∫x0f（t）dt）2=f（x）∫x0（x-t）f（t）dt（∫x0f（t）dt）2

∵f（x）>0，t∈（0，x），（x-t）>0

∴ f（x）∫x0（x-t）f（t）dt>0，即F′（x）>0

从而F（x）在（0，+内为增函数。

作者简介：高吉（1985），2007年参加工作，现包头职业技术学院数学教师；贾文太（1985），2007年参加工作，现任职北方重工业集团公司。