基于动力学分析的定点投篮命中条件的研究

摘 要：本文通过对定点投篮中篮球的动力学分析，得到了篮球空心进入篮筐的理论条件。首先，确定了球心经过篮筐中心时出手速度与出手角度满足的条件；其次，考虑篮筐对篮球的阻拦作用，将篮球入框问题转化为求篮球的大圆和篮筐的等效入射截面的位置关系的问题，从而得到篮球进入篮筐的入射角度和速度应满足的条件；接下来，考虑了投篮时出手角度的横向偏差，分析出手的角度的横向偏差与命中的关系；最后，给出了篮球出手速度、角度所容许的误差。

关键词：定点投篮；出手角度；出手速度；入射角；入射速度

1 绪论

篮球运动是我们生活中最流行的体育项目之一，而提高投篮的准确性是我们都期待的。根据观看大量的篮球比赛视频以及自己投篮时的感悟，我们发现投篮的准确程度与篮球进入篮筐的角度和速度有关。本文对定点投篮过程建立动力学模型，旨在从理论上探究篮球空心入框的条件，用以提高篮球运动中的投篮准确率。

篮球从出手到空心入框的过程可划分为两个运动过程：篮球从出手到即将进入篮筐的运动过程和篮球从即将进入篮筐到命中的运动过程。在前一个运动过程中，无需考虑篮球的形状，可将篮球视为质点，此时篮球的运动过程可以看作斜抛运动。在后一个运动过程中，运动过程很短，可将其近似地视为匀速直线运动，而由于篮筐大小的限制，需考虑篮球实际的形状对入框的影响。因此，首先将篮球视为质点，建立篮球球心轨迹模型，在不考虑篮筐大小的前提下，得到篮球球心经过篮筐中心的条件。在此基础上，分析篮球即将入框时，使篮球不擦碰篮筐顺利投入篮筐时，入射角应满足的条件。最后，分析给出了出手的角度（横向的偏角）和速度大小允许的偏差。

2 球心经过筐心的条件

2.1 篮球运动轨迹经过筐心的条件

首先考虑篮球球心正好命中篮筐中心的情况。此时无需考虑篮筐的阻拦，可将篮球视为一个质点。由斜抛运动的知识，可将投篮出手速度沿水平和垂直方向分解，求出篮球在水平方向和垂直方向的运动学方程，进而建立篮球球心的运动轨迹模型。由于篮筐中心的位置在篮球的运动轨迹上，将篮筐中心的坐标代入篮球的轨迹方程，即可得到出手速度与角度的函数关系。

假设投篮时出手速度与篮筐中心在一个平面内，无横向偏角，相当于篮球只在球心、篮筐中心与出手速度三者所确定的平面内运动。不考虑篮球的旋转，将篮球的运动看作二维的斜抛运动。于是，将坐标原点定在篮球出手时的球心，水平方向设为x轴方向，竖直方向设为y轴方向，建立如图2.1所示的平面直角坐标系。

只考虑重力的作用，设篮球从刚出手时的球心O为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v0和出手角度θ投出。根据牛顿第二定律可得水平方向与竖直方向上的动力学方程分别为：

于是，对于一定的投篮高度h，使式（2.4）等号成立的初速度即为最小出手速度vmin。显然，vmin是h的减函数，即出手高度越大，最小出手速度越小，这与日常生活经验相符。

（2.5）式所确定的出手角度有两个。根据国际篮联的规定，篮筐高度的统一标准是H=3.05m，三分线距离篮筐中心的水平距离L=6.75m，重力加速度g取9.8m/s2，出手高度h=2.2m（下文同）。使用MATLAB进行仿真，仿真结果如图2.2所示。

综上所述，将篮球视为质点，篮球中心经过篮筐中心时，出手角度θ与出手速度v0的关系为。

2.2 篮球入筐的条件

由于有篮筐的阻挡，在即将进入篮筐时，篮球不能被视为质点。根据三维投影的原理，当我们看桌面上的圆盘时，眼睛越接近圆盘所在的平面，看到的圆盘越“扁”，只有在圆盘正上方俯视时，圆盘才是圆的，面积也是最大的。在投篮时，斜飞过来的篮球，篮球的运动轨迹为抛物线，但当篮球靠近篮筐时，可以认为篮球是以匀速直线运动进入篮筐的，因为是在很小的范围内，并且入筐时抛物线是凸的，所以这样的简化是合理的。通过类比三维投影的原理可知，对于斜飞来的篮球，篮筐并不是圆形的，我们称它的实际效果面为入射截面，它是篮筐的圆形在垂直于篮球入射速度方向上的投影，是一个椭圆形。[1]记篮筐的直径为D，根据图2.3侧视图的投影可知，该椭圆的长半轴为a=D/2，短半轴为b=Dsinβ/2。

3 篮球出手的最大横向偏角

当篮球命中球心时，将篮筐投影到与入射方向垂直且过篮筐前沿的平面，则篮筐为如图的椭圆。容易知道当篮球的大圆圆心偏离椭圆中心最远时，大圆圆心一定在椭圆的长轴AB上，此时为左右偏移能取得最大的状态，最大偏移时篮球与该投影椭圆相切。因此只需要考虑当篮球球心命中椭圆长轴AB上的情况，建立椭圆与篮球大圆的方程，算出椭圆中心与大圆圆心的最大偏离距离，用最大偏移距离除以出手点到篮筐中心的距离OO即为横向偏角的正切值。由于最大横向偏角很小，可以该角度近似等于该角度的正切，由此便可求出最大横向偏角。建立的坐标系如图3.1所示。

4 篮球出手时容许偏差分析

尽管本文通过精确的理论计算得出了理想的投篮出手角度和出手速度，但是当我们按照理想的出手速度和出手角度进行投篮时，难免会和理想的情况有一定的角度和速度偏差，不同的情况下偏差影响程度和允许的偏差又会有差别，本文通过微分近似确定了出手速度和角度所容许的偏差。[4]

4.1 出手速度与角度的容差

首先寻找出手角度偏差和落点偏差的关系。对篮球运动轨迹方程：

5 结语

本文的研究结果具有理论与实际应用意义，可将结果推广至篮球运动员投篮训练中，比如以何种出手速度、出手角度可增大投篮命中率，何种角度出手可以减小速度节省体力，何种入射角可以有最大的出手误差范围等。将理论推广至实际训练中，使用某些科学手段，将篮球出手角度和出手力度控制在一定范围进行训练，久而久之形成动力定型，有利于提高命中率。运动员在准备投篮时根据当时所处位置和情况灵活运用本文的科学原理，快速做出反应，在提高命中率的前提下节省体力，从而以更为轻松的姿态赢得比赛的胜利。

参考文献：

[1]段然.篮球投篮运动轨迹与命中率的物理模型[J].科技创新导报，2009（20）：242-243.

[2]梁双凤，李保荣，梁林.椭圆内切圆与曲率圆的方程及图像研究[J].玉溪师范学院学报，2010，26（8）：8-13.

[3]劉强.关于等价无穷小量[J].高等数学研究，2011，14（1）：22-23.

[4]高秀明，苏永福.用变分方法研究篮球投篮最佳出手角[J].数学的实践与认识，2008，38（6）：143-150.

作者简介：李明龙（2000-），男，汉族，山东省泰安市东平县人，东平县高级中学高三理科班学生。