一种特殊摆的研究

王艳海 魏江南 孟义昌 张玉 马乾伟 摆永强

摘 要：为了解决交通运输和工业行业中移动重物的起重机动臂和支撑点不稳定的摆动幅度问题，采用一个悬挂点在水平面内做圆周运动的摆球系统模型来模拟这一问题的动力学过程。应用拉格朗日方程推导了摆球运动的微分方程，采用四阶龙格-库塔算法进行了数值求解，得到了给定悬挂点圆周运动半径、频率和摆长的条件下，摆球做稳定圆周运动的摆角，计算了摆球的稳定运动轨迹，并将计算结果与实验进行了对比，理论计算和实验结果精确吻合。研究内容在科研和工程技术领域有着广泛的应用，研究结果对起重机的机械吊臂设计有重要的参考价值。同时，文中所用到的理论建模、计算机编程、数值计算、实验设计等也可以作为一个非常好的教学案例，培养学生应用所学理论解决实际问题的能力。

关键词：理论力学；圆周运动；拉格朗日方程；四阶龙格-库塔算法

中图分类号：O311.3 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）03-0238-05

在一个力学摆的系统中，如果摆球的悬挂点在水平面内做圆周运动，在某些给定的初始条件下，摆球将会做半径更小的稳定的圆周运动，这一研究题目来自第二十九届国际青年物理学家锦标赛IYPT第二题：滞后的摆。对该问题的研究，无论在科研、工程技术领域和教学中都有着广泛的应用，有助于对起重机吊臂的设计[1-3]，也可以作为理论力学教学的补充，增强学生对理论力学相关理论知识的理解，提高学生将物理理论应用到实际问题中去的能力[4-6]。

1 理论模型

一根长为R的硬质杆，杆的一端固定在o点，另一端s绕o点作水平圆周运动，并在硬质杆的s端连接一根长度为l的细绳，细绳的下端悬挂一个金属摆球，绳子的伸缩和质量不计。s端开始运动后，小球开始摆动，如图1所示（摆球的三维坐标系，xoy平面为水平面）。给定不同的初始条件，小球会呈现出不同的运动轨迹，研究摆球做半径小于R的稳定的圆周运动的条件。该系统所受的约束是完整约束，可以应用拉格朗日方程进行求解[1-2，7-14]。

3 实验验证

实验器材包括：交流变压器（0～300 V，可调），风扇（55 W），单摆小球，转速测量仪，米尺，视频拍摄仪，细绳。

实验过程如下：在风扇叶片上距离转轴15 cm处钻一个小孔，把半径为1 cm的摆球用细绳系在风扇小孔处，把风扇转动面放置为水平并固定好，调节交流变压器电压控制风扇转速，用转速测速仪测量风扇的实际转速，用视频拍摄仪拍摄小球的运动轨迹。根据数值模拟部分设定的初始条件进行实验，采用运动轨迹分析软件Tracker恢复摆球的轨迹，将实验结果与计算结果进行对比，如图5所示。实线为实验数据，摆球轨迹非常接近于圆（离心率很小的椭圆）。偏离圆轨迹的原因有二：其一是由于在实验中初始条件非常难以控制，很难达到其理想值；其二是拍摄的角度稍微偏离了竖直方向（这是为了避开风扇叶片对摆球的遮挡），导致用Tracker软件恢复摆球轨迹时带来误差。图5中虚线為初始条件θ=11.6°，其他值与数值模拟计算部分相同时的摆球的理论计算轨迹，从图中可以看出数值模拟计算的轨迹与实验轨迹符合的很好。摆球做圆周运动时摆线与竖直方向平均夹角的实验值为11.02°，与理论值的平均夹角（11.6°）的相对误差约为6.2%，误差很小，理论计算与实验结果吻合的很好。悬挂点和摆球的运动步调如图6所示，图中实线和虚线分别表示悬挂点和摆球的运动步调。两点的运动步调刚好相反，说明摆球的运动步调滞后于悬挂点，滞后的相位为π，实验中也确实如此。

4 结 语

本文研究了悬挂点在水平面内做匀速圆周运动时摆球的运动规律，应用保守力系的拉格朗日方程推导了摆球运动的微分方程，并采用python语言进行数值模拟计算，理论计算结果与实验结果精确吻合。研究表明当满足一定的初始条件时，小球也将在水平面内做稳定的半径更小的匀速圆周运动，而且相位滞后悬挂点为π，该运动对初值非常敏感，如果偏离特定的初始条件，摆球的运动轨迹将变得混乱，其紧邻的轨道是多个自由度简谐振动的叠加。研究结果可以作为理论力学教学的一个极佳的案例，将物理学原理应用到具体的实际问题中去，涉及到理论推导、计算机编程模拟计算和实验验证，将单纯枯燥的理论与计算和实验相结合，有助于激发学生的学习兴趣，提高学生的学术研究能力。同时，本文的理论结果和数值模拟程序也可以应用到起重机的吊臂设计等相关机械设计的实际问题当中[18-20]。

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