数学例题教学中培养学生思维能力的策略

方良京

广东省新课程标准明确提出要进一步培养学生的思维能力，运算能力，空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决问题的能力。因此，如何通过数学的例题教学来培养学生的思维能力，是例题教学的关键问题，对此，本人结合自己的教学实践，谈一谈例题教

学的一些做法与看法。

一、例题教学中注重数学直觉思维能力的培养

布鲁纳认为：“直觉思维是突如其来的领悟和理解，往往是在百思不得其解之后产生的”。但其前提是对基础知识及其结构的掌握，以及对问题提出合理的猜测和假设，这样一个人才得以放过个别细节而从突然领悟的方式中得到结果。

例1：计算

直觉告诉我们本例的结果可能也是一个含有阶乘的表达式，而且是比n大的数的阶乘。计算当 1、2、3、4时表达式的值分别为1、5、23、119。这使我们发现，它们恰是2！-1，3！-1，4！-1，5！-1，于是，我们可作出猜想，前n项之和为（n+1）！-1，这一猜想是正确的，要加以证明也是不困难的。

二、例题教学中注重数学发散思维能力的培养

发散思维是根据所给问题的条件，从多个方面分析、探索，以求得大量新颖思维结果的一种思维方式。在例题教学中，若仅满足正确的求解，浅尝辄止，例题的潜在功能就可能被淹没，学生的求知意识也会引起泯灭。在教学中，可通过典型的一题多解、一题多变、一题多用来培养学生的发散性求异思维机制。从而使学生的发散思维能力得到提高。

例2：一条直线经过点 ，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。

解析：解法一：设直线在 轴上的截距分别是 ，

（1）当 时，设所求直线为 ，由已知得 ，解得： ，

此时直线方程为 .

（2）当 中有一个是0时，直线方程分别为 ，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的截距和是6”，因而舍去.

故所求的直线方程为 .

解法二：若所求直线的斜率存在且不为0，设直线斜率为 ，在 轴上的截距为 ，

直线方程为 ，由题知： ，

解之得： ，

此时直线方程为 .

当 或 不存在时，不合题意.

故所求的直线方程为 .

解法三：由题知直线经过点 ，且在两坐标轴上的截距和是6，显然斜率存在，设直线方程为 ，不难求得该直线在 轴上的截距分别为 ，以下求解基本同解法二。

三、例题教学中注重数学逆向思维能力的培养

在數学问题解决过程中，如果单纯用一种思维方式去思考，有时会陷入困难境。在例题教学中，要善于引导学生学会从不同的角度，不同方向思考问题，顺推不行时考虑逆推；直接解决不行时考虑间接解决。在解决问题遇到障碍时，迅速转变思维方向，寻找解决问题的其他途径，促使问题得以解决。

例3：求证方程 无实根。

本题若用求根公式来讨论，则运算量大；若运用逆向思维，考虑用反证法，则易如反掌。

证明：设原方程的两根分别为 ，其中至少有一个整数根，不妨设 为整数根，由韦达定理得：

由①知 也是整数，由②知 必定都是奇数，而两个奇数之和是偶数与①矛盾。故 不可能为整数，而原方程无整数根。

四、例题教学中注重数学创新思维能力的培养

荷兰著名学者弗来登尔说过，学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生自己去发现或创造出需要学习的东西。教师在例题教学中若能应用探索性问题不断加深问题的层面，善于创设各种问题情境，引导学生进行创造性的思考，则有益于发展学生的创新能力。

例5：水池有甲、乙、丙、丁四根进水管，若甲、乙、丙三管同时打开，12分钟可注满水池；若乙、丙、丁三管同时打开，15分钟可注满水池；若甲、丁两管同时打开，20分钟可注满水池；如果四管同时打开，需要多少时间可注满水池？

对于本例，常规的想法是设未知数，列出方程组去解题。但是这样的解法比较传统，并且学生解方程组也容易出错。此时，若教师引导学生探索、发现：两个甲管、两个乙管、两个丙管、两个丁管同时打开一分钟可注满水池的 ，所以甲、乙、丙、丁同时打开可注满水池的 ，通过这样的引导，学生很快发现注满水池只需要10分钟，问题得到解决。

这个解法跳出了常规的列方程解应用题的模式，根据题中的隐含条件，使解题过程简捷、流畅、易懂，经过这样的分析，有助于创新思维能力的形成。

总之，培养学生思维能力是一个复杂、漫长的过程。教师应潜心钻研例题的特点与解法，通过有效的途径加以引导，从而达到培养学生思维能力的目的。