结合波利亚解题思想拟定解题方案

宁鹰

[摘 要] 波利亚将解题过程分为四个阶段，即理解题目、拟定方案、执行方案、回顾。其中拟定方案是难点所在，波利亚认为，方案的拟定和过去已经掌握的知识经验密切相关，他曾经将拟定方案比喻成建造一栋房子，而已有的知识经验就是房子的建筑材料，这个比喻是极为恰当的。结合波利亚的数学思想，以解“鸡兔同笼”问题为例对拟定方案的思路进行反思，将拟定方案分三步走，总结拟定方案的经验。

[关 键 词] 波利亚数学思想；拟定方案；鸡兔同笼

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）23-0128-01

理解题目是波利亚解题的第一个阶段，这个阶段主要是把握已知量与未知量，学生在解题中，这个阶段一般都可以较好地完成。最令学生困惑的其实就是第二个阶段，也就是拟定方案。学生如果能拟定出正确的解题方案，一般是可以解决问题的。在拟定方案的解题表中，波利亚给出了很多提示性的问题，如：你以前见过它吗？你知道一道与它有关的问题吗？等等。这些提示性问题其实就是为了让学生脑海中能够闪现一个好的“点子”，一个好“点子”也许会产生好的解题思路，从而推进方案的拟定。

为了让学生更好地想出“点子”，我们可以进一步思考解题过程中是如何获得这些“点子”的，然后把获得“点子”的思路进行归纳总结。基于大量教学经验，结合波利亚的解题思想，我们可以将拟定方案分三步走：第一，已经处理过的问题可以直接用已有的方案处理；第二，类似的问题尽量找到联系以促进方案的拟定；第三，新的问题可以变换题目，以促进方案的拟定。

一、已经处理过的问题

问题1：小林买了10支笔，共14元，其中水芯笔2元，铅笔5角。问小林水芯笔和铅笔各买了多少支？

思路分析：

首先判断是否处理过这样的问题，答案是肯定的。我们可以找到“鸡兔同笼”问题，如：“鸡和兔子关在同一只笼子里，上面看共10个头，下面看有32只脚。问鸡和兔子各有多少只？”

然后我们回顾“鸡兔同笼”的解题方案：假设全是兔子，那么就有10×4=40只脚，这就比已知的32只脚多出了40-32=8只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，由此即可求得鸡的只数为8÷2=4只，进而求得兔的只数为10-4=6只。

最后可以直接用已有方案，如：假设全是水芯笔，那么就花了10×2=20元，这就比已经花的14元多6元，因为一支水芯笔比一支铅笔多2-0.5=1.5元，由此可以求得铅笔的支数为6÷1.5=4支，进而求得水芯笔的支数是10-4=6支。

反思：通过这个例题以及分析我们可以发现，有许多问题实质是一样的，只是情境不一样。面对这样的问题，我们可以采用已有的处理方法拟定解题方案。

二、类似的问题

问题2：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？

思路分析：这个问题和我们常见的“鸡兔同笼”问题不一样，不能用已有方案解决。但是我们发现其未知量相同，并且已知量有一样的地方，那就是一只鸡比一只兔少两只脚。题中鸡比兔多10只的情况下，鸡脚还比兔脚少60只，那假如雞和兔子一样多，那么鸡脚比兔脚少10×2+60=80只，由此可求得兔子为80÷2=40只，鸡为40+10=50只。

反思：有些问题和我们已经处理过的问题类似，已知量和未知量相同或者相似，我们可以利用相似点寻找问题解决的突破口，拟定出方案。

三、新的问题

问题3：在我校举行的“师范杯”数学奥林匹克竞赛中，总共15道题，每做对一道题得8分，不做、做错一道题倒扣4分，李亚同学把15道题全做了，共得了72分，她做错了多少道题？

思路分析：这个问题的难点在于条件“不做、做错一道题倒扣4分”。那么我们尝试将这个条件改变，变成“不做、做错一道题得4分”，如果这样我们就将这个问题变成了“鸡兔同笼”类型的问题了。那解题思路是：假设全部做对，那么就有15×8=120分，这就比已知的72分多出了120-72=48分，因为做对1道题比不做或做错1道题多8-4=4分，由此即可求得不做或做错的题数为48÷4=12道，进而求得做对的题数为15-12=3道。

在改变条件后的问题分析中，我们可以发现“假设全对多出的分数÷做对1道题比不做或做错1道题多的分数=做错题的数量”这个常识。那么根据“每做对一道得8分，不做错一道题扣4分，”可以得出做对1道题比不做或做错1道题多的分数为8+4=12分。由此，可以得到做错的题数位48÷12=4道，进而求得做对的题数为15-4=11道。

反思：新的问题可以变换题目以激发出解题的思路，这种变换可以改变已知量，也可以改变未知量。在尝试把问题变得可以解决后，再一步步探求问题间的联系，拟定出解决问题的方案。

以上三个问题的解决都用到了假设法，这种方法是对未知量进行假设，然后按照条件推算，而推算的结果常常与已知量不相符，最后适当调整就可以得出正确答案。当我们掌握了以上三种题型，我们就可以把这三种题型归结为“鸡兔同笼”类型问题，而再次遇到这种问题，我们就可以用已有的方法拟定方案了。由此，我们也可以看出，波利亚的数学解题思想是把新的问题最终都变成已经处理过的问题。

参考文献：

[1][美]G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海科技教育出版社，2007-05.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2016-08.