基于代理模型的高速列车齿轮箱裂纹识别

王清波 宁静 叶运广 陈春俊

摘要：为建立裂纹结构动力响应与裂纹参数之间的解析关系从而对齿轮箱裂纹进行有效识别，提出一种可替代原有高精度分析模型的计算量小且计算精度较高的基于代理模型的裂纹识别方法。利用初始样本通过有限元与插值算法建立裂纹结构参数与动力响应之间的Kriging代理模型对应关系，从而代替原有的物理参数模型与结构响应关系，有效减少有限元计算次数，并通过随机粒子群优化方法对建立的代理模型进行全局裂纹参数寻优。通过一个悬臂梁结构的数值算例，对所提方法进行有效验证，并将该方法应用到某高速列车齿轮箱的裂纹识别中，结果表明该方法能够有效地对结构裂纹进行识别。

关键词：高速列车齿轮箱；裂纹识别；Kriging代理模型；随机粒子群优化算法

0引言

作为高速列车核心部件之一的齿轮箱，其结构复杂，箱体呈非对称、非均匀结构，安装在列车转向架上，受多方面的约束，其动力学振动特征主要受轮轨耦合激扰影响。在高速列车运行过程中，由于轮轨问的非线性耦合，导致齿轮箱承受复杂的交变应力，极有可能产生异常振动，从而出现局部损伤，危及高速列车运行的安全性和可靠性。我国某高速动车组在实际运行20～30万公里后，在某齿轮箱箱体上出现了裂纹故障，严重威胁到高速动车组的运营安全。裂纹作为一种重要的结构损伤形式，如何对裂纹的产生进行及时有效的判断和识别，并对其进行实时监测，对保证齿轮箱的正常運作具有重要意义。

高速列车齿轮箱产生裂纹后会改变其动力学特性，通过基于有限元模型修正的结构损伤识别方法分析齿轮箱模态参数的变化，明确模态参数随裂纹参数的变化规律，可以有效识别裂纹所在位置。Fan等对基于模态分析的裂纹识别方式进行了详细总结。

由于基于有限元模型修正的结构损伤识别方法对齿轮箱单一裂纹位置、长度等参数识别时，需要基于较为精确的初始有限元模型并进行大量的样本训练和长时间的计算模拟，再加上有限元计算过程中隐含的大量计算和分析误差及不确定性，导致识别效率很低。

代理模型作为一种对离散数据利用近似技术进行回归或插值的数学模型，其主要以拟合精度或预测能力为约束，且通过已知样本点直接构造齿轮箱裂纹参数和箱体动态响应之间的对应关系，从而代替复杂、费时的有限元计算过程。

近年来，代理模型在工程实践中被越来越广泛地应用，Wangt$、Forrester和Simpson等较为全面地介绍了代理模型技术及其在工程中的应用；Gorissen详细研究了计算机辅助建模中的代理模型技术，开发了能够用于Matlab下的工具箱，为该技术在工程中的应用提供了开发工具。根据响应逼近函数形式的不同，代理模型建模方法主要包括Kriging函数法、多项式响应面法、径向基函数法和神经网络法等。

由于Kriging代理模型能够充分考虑样本点在空间中的相关特性，能够以少量的样本点结合模型本身所具有的全局和局部的统计特性，预测出未知样本点的趋势和信息，使其在解决非线性程度较高的问题时，Kriging代理模型能够取得较好的拟合效果。Noel阐述了Kriging技术类似于一种半参数化的插值技术，利用相关函数作用，模拟出高维空间，且无需建立特定的数学模型，应用就比多项式响应面法更加的灵活和方便。Kaymaz提出Kriging代理模型样本点的获取方式，可以对结构可靠性问题较常用的基于最小二乘法的响应面法获得更好的结果。Kleijnen阐述了如何预测Kriging模型的真实方差，并通过Kriging模型进行灵敏度分析和仿真模型优化。Nobari等针对刹车系统的啸叫问题，提出通过构造代理模型来量化不稳定啸叫的不确定性，并通过代理模型对刹车系统进行设计、可靠性分析与优化。然而，目前Kriging代理模型在裂纹识别领域，尤其是在实际工程应用中的研究还很少。

基于此，本文将Kriging代理模型应用到高速列车齿轮箱的裂纹识别中，通过代理模型代替原有的有限元模拟仿真，简化复杂冗长的有限元计算过程，有效提高裂纹识别效率。

1 Kriging代理模型

代理模型主要由取样策略和近似方法两部分组成，其中取样策略用于选取构造模型的样本点；近似方法作为代理模型的主体，主要用于数据拟合和预测模型的建立。

1.1参数化有限元模型及抽样设计

本文使用有限元方法来模拟裂纹系统结构。在不考虑裂纹扩展的情况下，首先根据设计需要确定设计变量，用以表征裂纹结构中裂纹位置与深度，再根据其变化范围构建设计空间，在设计空间中进行抽样设计，生成合理数量级的规范化样本参数值，并将其转化成相应的实际设计变量参数值。然后根据抽样样本构建模型并进行有限元仿真计算，根据需要确定响应变量，从而建立设计变量与结构响应之间的对应关系，以此用以构建Kriging代理模型。

抽样设计采用拉丁超立方体抽样法选取样本点。拉丁超立方体抽样的本质是一种多维分层抽样方法。作为一种与均匀设计类似的抽样方法，其样本点均匀且随机，能够充满整个设计空间，适用于影响因素较多的情况，广泛应用于计算机仿真实验设计，可显著减少实验规模。

拉丁超立方体抽样在抽样效果上作为一种蒙特卡罗方法的改进，其主要原理是根据各输入变量及其定义域范围，采用等概率分层抽样产生各变量的随机数样本。假设抽样实验中有n个变量，需抽取m个样本，即要在n维向量空间中抽取m个样本，其抽样步骤为：将每一维空间分割成独立的m个等概率区间，整个设计空间被分割成m个独立区间：在生成的每个区间中随机抽取一个点，产生nXm的矩阵M，且M的每一列均为{1，2，…，n}的随机全排列；在每一维中随机抽取矩阵M的列向量中的一个样本点，将它们组成1xm的向量q，即产生m个样本点。

1.2 Kriging代理模型运算

Kriging代理模型是一种以已知样本信息的相关性为基础，根据方差最小准则，对未知样本信息进行预测的插值技术。模型主要由全局回归模型和随机相关函数组成。设样本点组X=[X₁X₂，…X_n]对应的响应值为Y=[y（x₁），y（x₂），…，y（x_n）}，则Kriging代理模型关于某一未知点x的响应值和自变量之间的关系式为

因此，确定某一未知点x的裂纹参数后，可通过Kriging代理模型预测其对应响应值为

2基于Kriging代理模型的裂纹识别步骤

结构体出现裂纹损伤后会减小结构局部刚度，改变其动力学特性，使结构固有频率下降。一般通过分析其模态参数的变化可以识别裂纹所在位置，模态参数主要包括频率、振型和阻尼。

在每一次设置裂纹参数后，都要对新的裂纹模型进行有限元分析。一般为了精确描述裂纹结构的动力学特性，需要进行大量的裂纹有限元重构，因此直接建立反映裂纹参数与裂纹动态响应之间关系的Kriging代理模型用来代替复杂费时的有限元计算很有必要。

建立裂纹结构Kriging代理模型后，裂纹识别可转化为目标寻优问题，即在已知实际动力响应的情况下，寻求其在代理模型中所对应的一组满足目标函数的裂纹参数，从而达到裂纹识别的目的。寻优算法主要通过随机粒子群优化算法来实现。目标函数表示为

因此，裂纹识别作为结构动力学的逆问题，就转化为Kriging代理模型和随机粒子群算法的有机结合，即在代理模型所构建的响应面内根据结构参数与动力响应之间的对应关系，搜寻实测响应所对应的裂纹参数，从而达到识别目的。

基于Kriging代理模型的裂纹识别具体步骤为

1）根据裂纹特性，选取能够描述裂纹位置的参数，将其作为设计变量并确定设计空间。

2）通过拉丁超立方体抽样选取样本点，利用三维软件生成不同样本点所对应裂纹结构模型，并通过有限元仿真计算出相应裂纹状况下的结构动力响应。

3）应用这些样本点和所对应的响应值构建Kriging代理模型，得到裂纹参数与结构动力响应之间的对应关系。

4）另选取少量样本点对比其实际计算结构响应与Kriging代理模型计算结果之间的误差，验证Kriging代理模型的计算精度。若不满足精度要求，通过加点准则对代理模型进行修正。

5）将待识别裂纹结构的实测动力响应带人Kriging代理模型，利用随机粒子群优化算法在约束区域内搜寻最优解，从而求得实测动力响应所对应的裂纹参数。

为验证此裂纹识别方法的有效性，先通过一个数值算例进行验证，然后将该方法应用到某高速列车齿轮箱的裂纹识别研究中。3数值算例

悬臂梁结构示意图如图1所示，其长度为0.5m，高度为0.02m，材料密度为7 850kg/m3，弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。由于模型较为简单，直接通过Abaqus建立有限元模型。

假设悬臂梁上有一裂纹，参数a=VL和β=h/H分别代表裂纹在梁上的无量纲位置和深度，即確定设计变量a和β，其取值范围分别为0

采用拉丁超立方体抽样在设计空间中抽取20组裂纹参数作为样本点，并通过建立裂纹有限元模型计算相应样本点所对应的裂纹结构响应，裂纹的结构响应主要为结构的模态频率与模态振型。

利用抽样所得的20组裂纹样本和其所对应的前4阶模态频率构建裂纹参数与结构响应之间的Kriging代理模型，代理模型响应面如图2所示。

为验证Kriging代理模型识别裂纹的有效性，假定4种裂纹工况，通过有限元计算各自对应结构响应，将其作为裂纹工况结构动力响应实测值。使用随机粒子群优化算法对目标函数进行寻优，从而得到预测响应以及其所对应的裂纹参数。各裂纹工况的真实值与识别结果如表1所示。

从表中可以看出.4种工况中识别结果和真实值误差较小，K6ging代理模型能够在较为理想化的悬臂梁数值算例中较好地实现裂纹识别。因此，该数值算例证明了Kriging代理模型在裂纹识别中的有效性，能够将其应用到高速列车齿轮箱的裂纹识别中。

4高速列车齿轮箱裂纹识别

某高速列车齿轮箱有限元模型如图3所示，箱体材料为铸造铝合金，材料密度为2.7x10kg/m3，弹性模量为75 GPa，泊松比为0.3。

假设箱体表面有一裂纹，且裂纹平面与轴心在同一平面上，参数a、和β'分别表示裂纹在轴心所在圆上的方位、横向宽度和纵向深度。结合大量线路振动和动力学实验，某高速列车齿轮箱箱体端部容易出现裂纹故障，考虑齿轮箱结构与有限元计算的复杂程度，假设裂纹只在箱体端部出现，且裂纹尖端位置在横向上不超过箱体输出轴轴孔，裂纹纵向深度不超过箱体厚度的一半，则其取值范围分别为（244°<0<345°）、（0

在构建的变量设计空间中，通过拉丁超立方体抽样抽取22组样本，利用Abaqus分别建立齿轮箱裂纹模型，进行有限元计算，得到各裂纹样本所对应的结构响应，基于此建立齿轮箱裂纹参数与第9～12阶模态频率（各裂纹模型前8阶模态频率变化很小）之间的Kriging代理模型。

由于实验条件的限制，无法在高速列车齿轮箱箱体上设置真实裂纹来进行裂纹识别。因此在不断改进和模拟箱体模型使之达到近似高精度模型且与其有相同模态频率的的基础上，在此箱体模型上设置4种裂纹工况，将其假设为真实裂纹。

通过对4种裂纹工况模型进行有限元计算，获得各自所对应的裂纹结构动态响应，将其假设为高速列车齿轮箱箱体上真实存在裂纹所对应的结构动态响应。然后将此动态响应带入建立的Kriging代理模型中，使用随机粒子群优化算法进行优化识别，从而识别出此动态响应在Kriging代理模型中所对应的裂纹参数。通过对比识别出的裂纹参数和原始的真实裂纹参数之间的差异，从而确定Kriging代理模型的裂纹识别精度。裂纹参数真实值与识别结果如表2所示。

可以看出，随裂纹横向宽度和纵向深度的变化，裂纹越小，识别精度越低，且最大识别误差有达到10%左右。但考虑到高速列车齿轮箱结构非对称、非均匀、高度复杂的情况，以及裂纹识别中样本选取和有限元计算中各种误差的干扰，且大部分识别误差都保持在5%以下，因此Kriging代理模型对高速列车齿轮箱裂纹识别依然有很好的指导作用。

5结束语

针对高速列车齿轮箱在列车运行状态下容易发生异常振动，很有可能出现局部损伤，本文从裂纹识别的角度出发，通过建立高速列车齿轮箱箱体裂纹的Kriging代理模型来对箱体裂纹进行识别。结论如下：

1）使用Kriging代理模型建立裂纹参数与结构动力响应之间的关系，可以代替原有的各种裂纹参数与其结构动力响应之间的对应关系，大量减少有限元计算，提高裂纹识别效率。

2）Kriging代理模型能够对高速列车齿轮箱箱体裂纹进行有效识别，且具有较高的识别精度，具有较高的工程应用价值。

由于实验条件的限制，本文只能在仿真模型的基础上对高速列车齿轮箱进行裂纹识别的分析，对于Kriging代理模型在列车实际运行和多裂纹情况下的齿轮箱裂纹识别还需进一步研究。