数学课堂教学引入部分的关联与化归——以圆的概念引入为例

□朱培培

（杭州市余杭区仁和中学，浙江杭州 311107）

数学核心素养是指学生通过数学学习之后，除去数学知识之外所应该具备的数学能力和解决问题的数学态度.数学教学并非是一味地进行数学知识的传授，数学素养的养成才是学生发展的长远之道.

一堂有深度的数学课，应该有思想的渗透，培养学生拥有思考问题的方法和解决问题的能力，使学生在遇到问题时，能够关联已有的知识、方法或思想，将其融会贯通.一旦找到问题之间的关联点，问题就会随之解决.

一、关联与化归

刘堤仿教授在指导省名师工作室活动时指出，数学素养是人的数学学科潜能，其核心表象是关联与化归.化归好比是心脏的收缩功能，关联好比心脏的舒张功能.因此，我们所追求的数学课堂，应该渗透数学思想，培养数学素养，为学生全面终身发展打下基础.

宇宙万物都存在内在的联系，不是孤立的.当然数学的教学和学习也是如此，数学知识和内容也不是孤立存在的，有着一定的关联.数学中的关联是指能够将碰到的新知识与原有的知识结构体系相联系，达到知识的迁移与构建.从心理学上来讲，关联是一种“学习迁移”，是一种学习对另一种学习的影响和关联.

教学目标引领着整堂课的教学，数学课程目标主要使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等表述[1]4.但是不管哪种水平实际核心是理解.了解是最初步的理解水平，掌握、应用则是进一步的理解.而理解就需要对整个知识体系结构产生关联.

对于理解水平的分类，比格斯提出了SOLO分类理论，主要分为五个层次，一是前结构层次，二是单点结构层次，三是多点结构层次，四是关联结构层次，最后是拓展抽象结构层次[2].关联结构是五个层次中最主要的，也就是在多元结构的基础上学生能够将线索和知识有机联系在一起，从整体来分析问题.形成一个有机的、相互联系的整体框架，从整体上来把握，并且拓展抽象层次是在关联的基础上的进一步理解和应用[3].

数学中的化归是将数学问题由未知化已知，由烦琐化简洁，由困难化容易.法国数学家笛卡尔曾提出：宇宙间所有的问题都可以转化为数学问题，而数学问题都可以转化为代数问题.匈牙利著名数学家Pozsa Peter指出：数学家们往往不是对问题进行正面解决，而是不断将它进行变形，最后直到把它转化为已经得到解决的问题[4].数学化归思想是在解决数学问题过程中一种重要的思想方法，几乎所有的解题都离不开数学的化归.

化归从字面意思上理解可分为转化和归纳，就是将比较复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题归纳为已知的、已经解决了的问题.化归能有效地帮助学生进行思考，培养学生分析问题、解决问题的能力，为将来终身学习打下基础.

数学教学中引入部分是一堂课的开端，也是核心素养培养的开始阶段，是掌握数学知识的前提，是学生进行数学思维的前提.一个好的开端犹如比赛时跑好第一步，对学生理解概念非常重要.因此，笔者针对浙教版九年级上册3.1圆这堂课的概念引入部分进行分析，探讨如何引入才能有效培养学生的数学素养.

二、典型案例

圆这堂课是圆的基本性质这一章的起始课，学生在小学已经积累了有关圆的一些经验，本节课主要是让学生能够理解圆的相关概念，了解点与圆的位置关系.圆是一种特殊的图形，它对培养学生的数学思维能力有着重要的价值.而一堂课好的引入也是学生思维发展的开始，因此下文主要针对圆的概念引入部分进行分析.

（一）单一关联引入

单一或单点的关联，即一种线性的关联.根据SOLO分类理论，这种层次在理解问题时不能融会贯通，只能是单方面或从一个角度来分析问题.只是理解了其中一个方面或只看到了表面现象，不能将各个信息进行关联，过于片面或单一，没有关注信息本身的内部联系.单一关联的引入，指教师在概念的建立过程中是直接开门见山地告知，没有在学生已有的知识体系的基础上进行适当的联系.

【案例1】

师：同学们，小学里我们对圆已经有了初步的认识，那什么是圆呢？（PPT展示圆如图1）来看一下屏幕，这是什么图形？

图1

生：圆.

师：你会画圆吗？我们可以借助什么工具？

生：可以用圆规画图.

师：很好，那请同学们用圆规画出一个圆.

（接下来学生动手作图）

师：那什么样的图形可以称之为圆呢？（紧接着教师边画边讲）以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形叫作圆.或是在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形.

【分析】本节课教学目标是理解圆的概念，对圆的概念是处于理解层次水平.这位教师对于圆的概念的引入是开门见山，直接给出.学生最多也只是停留在了解的层次.此时学生处于一种被动状态，如果长期如此，就会养成等待着老师来告知和灌输的习惯.在今后的学习中，学生在提取信息时也只能纯粹靠记忆来进行回忆，没有真正理解知识内在的关联.

（二）多元关联引入

多元或多向关联，即是一种多方面的关联.对于某个问题学生能找到多方面的线索之间的关联，进行有机地整合，将一些零散的珠子串联在一起.在数学教学中，学生能把已知的数学内容与已有的知识体系及生活经验建立起一定的联系.当碰到新问题产生认知冲突时，能够从原有知识库中提取相关联的信息帮助理解新的内容.

【案例2】

师：在网上帮父母购买过火车票的同学，想必都碰到过图2中的图像验证题.

图2

师：同学们能找找哪些图像与圆相关吗？

生：图片（3）、图片（4）、图片（5）、图片（6）、图片（8）．

师：很好，这些图像都与圆有关，小学里我们已经认识了圆，会用圆规画一个适当的小圆.那如果我们想在操场上画出半径为5m的圆，你会画吗？（接着引出圆的概念）

【案例3】

师：班会课上班主任组织同学们在操场上玩套圈的游戏，有5位同学呈一字排开（如图3）.你觉得这样的套圈游戏对每个学生公平吗？

图3

生：不公平.

师：为什么？

生：因为这5个同学到物体的距离不相等，因此每个同学套中的概率也不一样.

师：那你能帮助这位班主任老师设计出合理的套圈方案吗？

生：可以让这5个同学站成一个圆形.

师：如何画出这样的一个圆？

生：可以用一根棍子固定在放置物体的位置，量取3m长的绳子绕着棍子旋转一周就可以确定一个圆.（接着引出圆的概念）

【分析】两位教师都是从实实在在的生活中的问题引入新课，让学生体验生活与数学的联系.许多生活中的问题都可以转化为数学问题进行解决.课程标准指出，在数学课程中要注重发展学生的模型思想，即学生能将数学和外部世界进行联系[1]7.这两位教师都是从现实生活中抽象出数学问题，采用具体图像利用数形结合抽象出本质.案例2的教师利用外沿是圆形的实例，让学生直接体验圆这个图形的形象，增加对圆的感性认识，为抽象出圆的定义做好准备.这样的引入设计让学生的直觉思维、形象思维得以提升.案例3的教师通过游戏的设计，慢慢引导学生发现公平的游戏设计应该是每个学生到套圈物体的距离相等.通过关联圆的知识，将游戏公平性问题化归为圆的概念问题，从而为抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆”的概念做铺垫.

（三）拓展关联引入

拓展层次的关联是要求的最高层次，是在知识、方法上更深层次的，是超越教学跨越数学学科的关联.学生能综合各种信息来分析问题，能根据事物的特点抽象出问题的本质.此种关联的引入能很好地激发学生的抽象思维.

【案例4】

师：今天，老师带领大家领略一下老子的《道德经》，在第十一章中讲到：“三十辐共一毂，当其无，有车之用.埏埴以为器，当其无，有器之用.凿户牖以为室，当其无，有室之用.”

师：意思是三十根辐条凑到一个车毂上，正因为中间是空的，所以才有车的作用.黏土做成器具，正因为中间是空的，器具才有作用.凿了门窗盖成一个房子，正因为中间是空的，房子才有作用.此句话中也蕴含着数学知识，如我们所见的车轮都是什么样子的？

生：圆形的.

师：为什么是圆形的？方形的可以吗？

生：当然不可以了.

师：为什么不可以呢？今天我们继续来探讨有关圆的相关知识.（引出圆的相关概念，同时利用辐条以及车毂引出圆心和半径的概念）

【分析】案例4的教师是通过老子的《道德经》文化背景的引入，超越了数学学科到语文学科领域.学生通过文字语言形成图形语言，又从具体的形象抽象出圆的本质特征，让学生体验了更高层次的关联，最终化归为解决圆的问题，培养了学生的应用意识和创新意识.

三、教学反思

（一）实例和具体形象的选取及设计要注重关联

案例2中教师为了让学生对圆有一个初步的感知，设计了一系列的图像.如自行车车轮、铁环、水滴形成的圆、树的年轮、靶，这些图像都有圆的形象.设计的图像中水滴、年轮、飞镖的靶这些形象其实就是同心圆.这为后面学习同心圆的概念以及圆心角定理强调要在同圆或等圆中的反例做好了铺垫.在自行车这个图像中其实也关联了很多圆相关的知识.如图4，每一条辐条可以看成是圆的半径，车毂是圆的圆心，只有这些辐条都相等，即同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的车轮在行进过程中才不会出现颠簸.另外链条与链轮之间的关系可以抽象成是直线与圆相切的问题.在滚铁环的游戏中也有着切线的相关问题.如图5树木年轮呈现是通过工人在锯树木的过程中慢慢出现的.随着这一运动的进行，圆中相关弦、弧的概念以及直线与圆的位置关系也就可以顺理成章地引出.这是一种运动辩证发展的关联，对培养学生辩证思维以及了解知识的发生过程和知识间的内在联系有一定的促进作用.

图4

图5

因此，在教学引入部分的设计中要注重关联.这种关联可以涉及文化、科学、技术，有利于培养学生的思维以及解决问题的能力.设计的内容不能让学生被动地等待着教师的灌输，而是要能够让学生在课堂上体会到多方面的关联，化归为某一类型的问题，之后能够内化为自身的素养.使学生产生思考和质疑，在潜意识中渗透关联和化归思想，来提升学生的数学素养.

（二）让关联与化归形成血液循环系统

关联与化归的有机统一，让整个血液循环系统能够运转起来，才能使心脏跳动，血液流动.在解决某个问题时，通过关联能找到多方面的线索，能够发现各线索之间的联系，对线索进行有机地整合，把这些血脉连接到心脏.心脏在处理中使用一种手段，通过变化的方式将问题进行转化，将新问题转化为旧问题，从未知领域转到已知领域，最终得以有效解决问题.关联和化归是难舍难分的，心脏没有血液将难以跳动，血液没有心脏将无法流动，两者是相辅相成的.

有深度的课堂应该是培养学生的数学思维，促进学生全面发展，用数学眼光和数学头脑去解决问题和看待世界.数学核心素养是学生全面发展的根本目标和基础，也是数学教学的核心和灵魂.因此如何进行有深度的课堂教学，如何在课堂教学中培养数学思维和素养是我们值得探索的 .

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］蔡永红.SOLO分类理论及其在教学中的应用［J］.教师教育研究，2006（1）：34.

［3］朱培培.在认知水平下的初中数学教师课堂教学行为研究［D］.杭州：杭州师范大学，2015.

［4］孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略［J］.江苏教育（中学教学），2013（1）：38-40.