巧用零载法辅助几何构造分析

孙丽丽

平面体系几何构造分析一般会作为结构力学的开篇来讲解，通过这学习，学生建立对体系几何组成的认识，为静定结构及超静定结构的内力及位移计算打下基础。平面体系几何构造分析一般通过铰接三角形规律及零载法来实现，一方面基本组成规律从内容上讲浅显易懂，但是对于初学者来说，如何快速准确地选取刚片，并不容易；另一方面，零载法仅限于处理计算自由度等于零的体系，且需要经过复杂的力学计算，操作性不强。对于一些复杂题目，若只用简单的规则进行分析，那么对初学者选取刚片的能力就提出了很高的要求，但实际上一般初学者很难做到。有学者就刚片的灵活选取提出了有效的解决方法，如利用铰结三角形代换几何不变的局部，利用铰接三角形代换杆件[1]；将刚片做等效变换，约束等效置换等[2]。本文利用零载法，证明了三杆铰接体系（其中一根杆件为支杆与基础相连），在几何构造分析中可以等效为一个刚片，从而解决了复杂体系的刚片选取问题。

1 经典结构力学几何构造分析刚片法

铰接三角形规律提出了刚片的基本选取原则，即一般选取铰接三角形杆系为刚片，然后按照基本规律，确定其余刚片和约束的用途分配。如图1所示体系为几何不变体系且无多余约束，一般采用图2所示的刚片选取方式，两个铰接三角形分别为刚片I和II，基础为刚片III，3个刚片通过3个铰结点连接。

然而铰接三角形规律指导下的刚片选取方法有一定的局限性。对于图1所示体系，保持内部杆件连接方式不变，仅仅交换体系中左边支座和下边支座的位置，得到图3所示体系，则图2的刚片选取方法不再适用。图3的特点为体系与基础联系（约束）多于3个且体系内部杆件连接中有多个铰接三角形刚片，经典的几何构造分析解法一般不把与基础以固定铰形式相连的铰接三角形视为刚片，即在图4中杆件DF为刚片I，铰接三角形BCE为刚片II，基础为刚片III，读者可以自行找到三个铰结点的位置，故图3所示体系为几何不变体系且无多余约束。形如图3这类问题的刚片选取方法具有一定的适用性。如图5体系，先去掉二元体后，可以尝试利用图3的刚片选取方法确定体系的几何构造。但是对于有些题目，如图3所示刚片选取方法并不适用。

图1

图2

图3

图4

图5

2 零载法

零载法指出，对于计算自由度W=0的体系，如果是几何不变的，则在荷载为零的情况下，它的全部杆件内力应为零；反之，它的某些杆件内力可不为零[3]。如图6所示体系，计算自由度（结点法）W=2×10-20=0，符合零载法应用条件。体系简化后如图7，首先假设AD杆的轴力为X，由结点法求出各杆轴力，标注如图7，可见结构有自内力，故图6体系为几何可变体系。

零载法的局限性：其一，要求体系计算自由度等于零；其二，需要计算出荷载为零的情况下，杆件全部内力为零，计算复杂，稍有不慎，导致内力计算错误，会对几何组成性质做出错误的判断。

图6

图7

3 问题新解

基于平面几何构造分析中经典铰接三角形规律及零载法存在的问题，下面证明如图8所示三杆铰接体系（其中一根杆件为支杆与基础相连），在几何构造分析中等效为一个刚片，从而为平面几何构造分析中刚片的选取提供一个新的求解思路，是铰接三角形规律及零载法的重要补充。

为满足零载法关于体系计算自由度W=0的要求，将图8所示杆件体系作为一个整体与基础通过三根杆相连，形成图9所示体系，体系计算自由度W=2×3-6=0，容易证明图9所示体系在零荷载情况下无自内力，故图9所示体系为几何不变体系。对这一结论也可以利用两刚片法则解读为基础为一个刚片，图9所示阴影部分为一个刚片（即一个杆件），两个刚片通过铰杆相连。

基于零载法证明的结论，为几何构造分析刚片选取提供了新思路。对于图5所示体系，利用三杆铰接体系（其中一根杆件为支杆与基础相连）可以视为刚片的结论，如图10所示选取刚片，去掉二元体后，铰D处的三杆铰结点相当于一个刚片（即一根杆），即刚片I和刚片II通过铰杆相连，再和基础通过铰杆相连接。

图8

图9

图10

在文献[1]中提出了用铰接三角形代换杆件的方法解决图11（a）所示体系的几何构造分析，将体系化简为图11（b），刚片选取如图11（b），读者可以尝试自行找到3个铰结点的位置，该体系为几何不变体系，且无多余约束。如果利用三杆铰接体系可以视为一个刚片的结论，对于图11（a）采用如图12所示选取刚片，即依然选择铰接三角形为刚片I和II，图12中阴影部分相当于一根杆件，则利用两刚片法则将刚片I和刚片II通过铰杆连接，再和基础连接，同样可以得出几何不变体系且无多余约束的结论。可见，利用三杆铰接体系（其中一根杆件为支杆与基础相连）可以视为一个刚片的结论，刚片的选取更为简单直接，可以延续选取铰接三角形为刚片，对于初学者来说，掌握起来更容易，减少了刚片选取中过多的变换原则，使题目的分析更加简单易懂。读者可以尝试用上述方法分析图13的几何组成性质。

对于图14所示体系[4]，体系本身属于复杂桁架，几何构造分析难度较大，利用零载法的结论，将铰结点A处的两根水平杆（AB和AC）和A处支杆看成一个刚片（即一根杆），则铰接三角形BCD为一个刚片，向两侧依次增加二元体，即可形成扩大刚片，再和基础通过铰杆相连，所以为几何不变体系，无多余约束。

图11 （a）

图11 （b）

图12

图13

4 结束语

几何构造分析中刚片的选取具有极大的灵活性，一般初学者较难掌握。对于一些不能用简单的铰接三角形规律来选取刚片的体系，通过零载法证明的三杆铰接体系（其中一根杆件为支杆与基础相连），在几何构造分析中可以视为一个刚片（即一根杆件），使得铰接三角形杆系在几何构造分析中可以继续作为刚片使用，保持了刚片选取方法的一惯性，为初学者熟练掌握刚片的选取提供了重要帮助，也为复杂体系的刚片选取提供了有效解决方法，是平面几何构造分析中等效变换法的有效补充。

参考文献：

[1]于苏民.铰结三角形代换法作平面杆系几何组成分析[J].力学与实践,2005,27(2)：72-73.

[2]樊友景,樊大为.几何构造分析中的等效变换[J].力学与实践,2012,34(2)：77-78.

[3]龙驭球,包世华,袁驷.结构力学2,专题教程[M].北京：高等教育出版社,2012：4-5.

[4]龙驭球,包世华,袁驷.结构力学1,基础教程[M].北京：高等教育出版社,2012：45.