浅析函数概念发展的几个阶段

摘 要：自17世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学的核心位置。它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。本文简单介绍函数概念的产生、发展、完善、成熟四个阶段。我们希望通过研究函数概念，帮助我们领悟数学概念对数学发展的推动作用，学会用函数思想去分析和解决实际问题。

关键词：函数概念；历史；发展；阶段

一、函数概念产生的历史背景

在公元17世纪之前，数学上占统治地位的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物。从17世纪开始，自然科学开始大踏步地前进，天文、航海和科学技术的发展，向数学提出了一系列必须从运动变化和发展的观点来研究事物的新问题。这些问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物变化规律作出判断。社会多方面的实践需要人们对各种“运动”进行研究，函数概念正是从运动的研究中引出的一个数学概念。正是在这样的历史背景下，促使了函数概念的逐步形成和发展。

二、函数概念的形成与发展

从历史角度看，函数概念发展可以划分为四个阶段：产生阶段、发展阶段、完善阶段、成熟阶段。主要包括：17世纪几何观念下的变量说，18世纪代数观念下的解析式说，19世纪对应关系下的变量对应说，20世纪后集合论下的集合对应说。

（一）函数概念的产生阶段

17世纪几何观念下的变量说。在17世纪早期，意大利物理学家及数学家伽俐略在《两门新科学》中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念。他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”这是早期关于变量或函数概念的描述，也可以说是函数概念的起源。

1637年法国数学家笛卡尔发现了量的变化与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想。他在《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系。这便是函数概念的几何概念，也为函数概念的产生奠定了思想基础。可惜的是笛卡尔没有意识到要提炼函数概念。

1673年，莱布尼兹在《有关切线的逆方法即函数》中首次使用“function”（函数）表示任一个随着曲线上的点变动的量，并指出：“曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，所有与曲线上的点有关的量称为函数。”总之，17世纪出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。

（二）函数概念的发展阶段

18世纪代数观念下的解析式说。1718年，约翰·伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他把变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

1748年，瑞士数学家欧拉在其著名的《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数。1755年，他又给出了“依赖性”的函数定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”欧拉最大的进步就是把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，这是便是科学函数定义的雏形。

（三）函数概念的完善阶段

19世纪对应关系下的变量对应说。1821年，法国数学家柯西在《分析学讲义》中给出了函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”他认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1837年，德国数学家狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵。这就是人们常说的经典函数定义。并且他还构造一个以他自己名字命名的狄利克雷函数：

总之，从18世纪前后开始，经过许多数学家的不断探索和研究函数概念有了长足的发展。但至少到19世纪前半期，关于函数概念的叙述仍是不一致的，因此函数的概念仍需进一步完善。

（四）函数概念的成熟阶段

20世纪后集合论下的对应说。20世纪初，德国数学家康托尔创立了集合论。到了20世纪后半叶，集合论得到迅速发展，从集合论角度定义函数概念就更一般化了。最终给出完善的现代函数定义的是法国的布尔巴基学派，定义如下：设A和B是两个非空集合，A中的一个变元x和B中的变元y之问的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈A，都存在唯一的y∈B，它满足与x的给定关系。我们称这样的运算为函数。我们当今高中课本的函数定义也是根据这一定义简化而成的。

总的来说，函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果。纵观300年来函数概念的发展，经历了无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程，众多数学家从几何、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想。

通过研究函数概念，我们发现函数思想能深刻反映客观世界的运动和实际的量之间的依赖关系，是培养高中生分析、解决实际问题的有力工具。所谓函数思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。许多问题如果能用函数的观点去认识和处理，那么我们就容易找到解决问题的办法和途径。因此加强函数的教学及函数思想的渗透，使高中生树立函数思想，具有重大的现实意义。

参考文献：

[1]杜石然.函数概念的历史发展[J].数学通报，1961（3）.

[2]徐品方.函数概念的产生与发展[J].数学教师，1994（1）.

作者简介：周理园，深圳市光明新区高级中学。