解压轴题：等号与否 预测路径

许银伙 杨苍洲

(1.福建省泉州外国语中学 362000;2.福建省泉州第五中学 362000)

压轴题中经常出现不等式证明或由不等式求参数范围问题，它通常化为函数最值问题，然后综合运用函数或方程知识加以解决.但到底是化为一个函数还是化为两个函数呢？本篇介绍的方法是：由不等式是否含等号进行预测，如果含等号，通常可以构造不等式两边差的函数，直接由导数求最值解决；如果不含等号，通常变形，分别求不等式两边函数的最值，借助两边不同时取最值来得到原不等式成立，或者构造不等式两边差的函数，运用常用结论lnx≤x-1,ex≥x+1进行放缩，然后对放缩后的新函数式求最值.

例题1 (2014湛江质检)已知函数f(x)=sinx(x≥0)，g(x)=ax(x≥0).

(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围;

分析与解(1) 实数a的取值范围为[1,+∞).

(2)由已知得：

由(1)得：

h′(x)=x-sinx≥0对x≥0恒成立.

又因为φ′(0)=0，

∴φ′(x)>0对x>0恒成立，函数φ(x)对x≥0单调递增.

又∵φ(0)=0，∴φ(x)≥0对x≥0恒成立，所以问题得证.

反思与评注

1.问题(2)的不等式含有等号，因此考虑构造不等式两边差的函数，直接求导解决.

2.x-sinx≥0对x≥0恒成立(当且仅当x=0时取等号)是常用结论，但解答时还需证明.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

分析与解

∴只需g(x)≤e对x∈(1,+∞)恒成立.

方法一直接讨论法

∴φ(x)对x∈(1,+∞)单调递增.

又φ(e)=e，

∴1

综上得：所求实数a的取值范围为(0,e].

方法二分离参数法

反思与评注1.问题(2) 对于任意x1,x2∈(1,+∞)，总有f(x1)≥g(x2)成立，等价于x∈(1,+∞)时，f(x)min≥g(x)max.∵f(x)不含参数，通常先求出f(x)min；g(x)含参数，问题解决通常转化为采用分类讨论或分离参数方法.

例题3 已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R)，其中e为自然对数的底数.

(1)若f(x)≥0对任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围；

分析与解(1)实数a的取值范围为(-∞,1].

当x∈(0,1)时，h′(x)<0，

∴h(x)在区间(0,1]单调递减；

当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，

∴h(x)在区间[1,+∞)单调递增.

h(x)在(0,+∞)最小值为h(1)=0，

∴h(x)≥0得lnx≤x-1对x≥0恒成立.

问题得证.

反思与评注1.问题(2)是求和型不等式，且不含等号，因此考虑各项放缩后再求和.放缩的方向通常有两个：化为等比数列或化成可裂项相消的数列.

2. 问题(2)的解决借助了常用结论： lnx≤x-1对x≥0恒成立.

(1)求证:曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线不过点(2,0);

(2)若在区间(0,1]中存在x0,使得f′(x0)=0,求k的取值范围;

分析与解(1) 略.

(2)k的取值范围为[1,+∞).

由f′(1)=0得k=1.

当x∈(0,e-2)时，h1′(x)>0，

∴h1(x)在区间(0,e-2]单调递增；

当x∈(e-2,+∞)时，h1′(x)<0，

∴h1(x)在区间[e-2,+∞)单调递减.

∴h1(x)在(0,+∞)最大值为h1(e-2)=1+e-2.

∴h2(x)在区间(0,+∞)单调递增.

又h2(0)=e-2+1,则x>0时，h2(x)>h2(0)=h1(e-2)≥h1(x).问题得证.

反思与评注1.问题(3)要证明的不等式两端函数式都不含参数，且不含等号，通常不能左右两边相减构造新函数，利用导数直接求出最值解决，而是要变形，化为左右边两个函数，通过分别求它们的最值或值域解决问题.如果两边函数都能求出最值，通常不会同时取得最值.

参考文献：

[1] 许银伙．意念引领攻克难题[J]．福建中学数学，2015(8)：40-42.

[2]雷波. 函数结构任繁杂巧妙转化变通达[J].数学通报，2106(6)：42-46.