数列从“三角”到“矩阵”的特殊构思

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

“杨辉三角”是我国古代数学家的一个伟大成就，现在很多命题者都利用此结构进行命题.而“矩阵”是高等代数中的一个重要知识点，其定义为由m×n个数排成m行n列,并括以方括弧(或圆括弧)的数称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵，通常用大写字母表示，如记作A，如表明它的行数和列数，可记作Am×n,有时也可记作A=[aij]m×n其中aij称为矩阵第i行j列的元素，特别地，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵 (或n阶方阵) ，也同样被大多数命题者所相中.而数列的考查在这两个的命题上尤为突出，下面以几例来予以解析.

例1 (1)设{an}是集合{2t+2s|0≤s

将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

(ⅰ)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

(ⅱ)求a100.

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

(2)设{bn}是集合{2r+2t+2s|0≤r

分析此题从其性质上看不象我们所见的杨辉三角，但考查意图是围绕杨辉三角进行设计.主要是让学生找出其规律，并找出最终解决问题的办法.

解(1)由于0≤s

第一行为：t=1,s=0,

第二行为：t=2,s=0t=2,s=1

第三行为：t=3,s=0t=3,s=1t=3,s=2

由此规律可发现：

第四行为：t=4,s=0t=4,s=1t=4,s=2t=4,s=3

即：第四行四个数为： 17 18 20 24

第五行为：t=5,s=0t=5,s=1t=5,s=2t=5,s=3t=5,s=4

即：第五行五个数为： 33 34 36 40 48

(2)由于a100表示这个三角形中的第100个数，根据上述规律可得：

(3)bk=1160=210+27+23,

因M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210

现在求M的元素个数：{c∈B|c<210}={2r+2s+2t|0≤r

a1

a2a3a4

a5a6a7a8a9

a10a11a12a13a14a15a16

分析根据上述观察可发现后一行比前一行的个数多两个，故每行项数构成等差数列.

解A(10，8)所对应的项应是前9行的个数加上第10行的第8个即为所求.

变形2：已知一个数列{an}的各项是1或3,首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．

(1)试问第2004个1为该数列的第几项？

(2)求a2004；(3)求S2004；

(4)是否存在正整数m，使得Sm=2004？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由.

分析：此题将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即

(1，3)为第1对，共1+1=2项；

(1，3，3，3)为第2对，共1+(2×2-1)=4项；

故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1).如将上述看成一个杨辉三角的形式，那么解决问题可能就比较简单了.

解(1)第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013(项).

(2)由于44×45=1980，45×46=2070，故第2004项必夹在第45对内，且不是它的第1项，故其值必为3，即a2004=3.

(3)由(2)可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+3×1959=5922.

(4)前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．

易知，S25(25+1)=1900,S26(26+1)=2054，而S651=1901，且从第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．

例2 下表给出一个“等差数阵”：

47( )( )( )…a1j…712( )( )( )…a2j…( )( )( )( )( )…a3j…( )( )( )( )( )…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.

(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式.

分析根据题目可知：每一个等差数列都是知道首项与第2项，故都确定.

解(1)显然：a45=49.

(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，故a1j=4+3(j-1).

同理：第二行为a2j=7+5(j-1)故第i行是首项为4+3(j-1)，公差为2i+1的等差数列，因此：aij=4+3(j-1)+(2i+1)(j-1)=i(2j+1)+j.

变形1：已知右边是一数阵，且a11=1，每行、每列都构成以-2为公比的等比数列(其中n是大于10自然数).aij表示位于第i行第j列的数.

(1)若aij=256，求在此数阵中值为256的共有多少个？并求i+j的值；

(2)求aij的下标满足j+i≤n+1的项共有多少项？并求所有满足上述条件的aij之和S.

分析由于每行、每列都构成等比数列，因此每一项都是确定的.

解(1)根据题意：

第一行依次为：1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

第二行依次为：-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

从中可发现规律：后一行是前一行去掉第一项即可，且i,j一个增大，一个缩小，但其和值不变.

因此在这个数阵中值为256的个数为9个，且i+j=10.

(2)S=a11+a21+a22+a31+…+a1n根据第一小题的结论可知：

S=a11+2a12+3a13+…+na1n,而a1n=(-2)n-1.

此时恰好构成等差与等比乘积的前n项和，采用错项相消法.

-2S=-2a11+(-2)2a12+(-2)3a13+…+(-2)na1n

两式相减得：

故所求得和

从上述几个题目的解答可看出解决问题的关键是如何正确把握其变化的规律,平时的教学应当培养学生的创新精神和创造能力，让学生自主探究知识，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力.作为数列在这两个特殊环境——三角、矩阵中得以灵活的表现，将试题发挥的淋漓尽致.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准试验教科书( 必修) 数学5(A版)[M]. 北京:人民教育出版社，2014.