立体几何解题策略的再探究

朱小扣 周 园

(1.安徽省无为县牛埠中学 238351；2.安徽省舒城县万佛湖镇中心学校 231360)

立体几何题是高考的重要考点之一，每年高考题中都会出现，约为20分左右.而学生在解答中，容易失误失分，经常会出现“会儿不对，对而不全”的现象，为此笔者现对其答题策略做如下探讨.

一、补形法

补形法虽类似于三视图中的模型法，但用法有区别，补形法更注重局部和整体的联系,特别是在做立体几何的大题时，不补形的话，犹如在“云里雾里”，有时补形后，答案一目了然.

(Ⅰ)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求平面MDF将几何体ADE—BCF分成的较小部分与较大部

分的体积比．

图1

解析(Ⅰ)当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，证明如下：

连结CE交DF于N，连结MN.由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC.

所以AC∥平面MDF.

图2

二、颠倒法

在数学解题中经常会要求变换角度，颠倒法就是其中一种，通过颠倒可以将不熟悉的图形转化成熟悉的图形,这是对知识能力的深度考察.虽然颠倒法简单，但绝不应被忽视.

例2 (2016山东理17改编)在如图3所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.

解析可以将图3颠倒成图4.

(1)证明：设FC的中点为I，连接GI,HI，在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI=I，OB∩BC=B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.

图3 图4

上述两大策略是对文[1]的策略的应用举隅，除此之外，还有如下策略：

三、分割法

分割法是一种求体积的方法，往往是把一个不规则的几何体通过分割，划分成锥体与柱体的组合体.实际上命题者想通过分割，对学生掌握体积公式知识的考查，以及对化归能力的一种提升.

图5

例3 (景德镇市2017届高三上学期期末考试)斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓都”或“壍堵”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离(高)为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是( )

A.6 B.10 C.16 D.20

解析如图6所示，过点A作AM⊥EF，垂足为M，连接MD．

过点B作BN⊥EF，垂足为N，连接NC．

则三棱柱ADM-BCN为直三棱柱，三棱锥E-ADM与三棱锥F-BCN全等．

图6

点评像例3中，不仅对中国古代数学文化考察，又考察了分割法，要在短时间内准确地对图形做出分割，实属不易.“分割路不易，且行且谨慎”.

四、模型法

模型法一直是三视图中的一种重要的方法，可以弥补部分同学的空间想象能力的不足，利用模型可以解决线段，角度，体积等问题.

图7

点评像例4，不用长方体模型的话，几乎很难做出来，有人形容三视图问题是“横看成岭侧成峰”，但我们只要站在长方体的“肩膀”上，就会“一览众山小”.

总结遇到立体几何问题时，原则上可以用上面的策略解决.五种策略的运用能很好地锻炼学生的思维.立体几何题目千变万化，但只要掌握其本质，就能一招制敌.同样学生在做题时，必须具有一题多解，多题一解的能力，这样才能在做题时，多角度，多思维的去考虑，才能在做题中达到自身水平的提高.

参考文献：

[1]朱小扣.解决立体几何的三种方法[J].数理化解题研究,2016(28).