一类特殊受控混沌系统的电路仿真实验

贾乐乐 刘爱民 黄亚杰 黄燮桢 白聿北

摘 要：混沌电路仿真与实现是非线性混沌研究中的一项重要内容。基于具有一对位置对称、稳定性态相反平衡点的混沌系统，文章通过混合控制得到一个新的混沌系统。运用混沌电路理论，设计出实现新混沌吸引子的电路信号源，并通过Multisim软件进行实验仿真。实验结果和分析结果一致。

关键词：混沌系统；Multisim；电路实验；数值仿真

中图分类号：O415.5 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）12-0029-04

Abstract： The simulation and realization of chaotic circuits is an important part of nonlinear chaos research. In this paper， a new chaotic system is obtained by hybrid control. Using the chaotic circuit theory， the circuit signal source to realize the new chaotic attractor is designed， and the experimental simulation is carried out by Multisim software. The experimental results are consistent with the analysis results.

Keywords： chaotic system； Multisim； circuit experiment； numerical simulation

1 概述

混沌及其相关研究是当今非线性科学研究的热点问题，自上世纪Lorenz混沌吸引子发现以来[1]，对混沌系统研究得到了学者们的极度关注[2，3]。实践表明，混沌系统在各个领域有普遍的应用价值。在混沌理论及应用研究中，混沌电路是一项非常重要的内容，混沌电路实验是这项内容的基础部分。

电路中混沌现象的研究始于1927年，荷兰物理学家Van der Pol在氖气灯物理电路实验中发现了“不规则噪声”，即我们后面所说的混沌现象。美国科学家Linsay[4]利用电子电路于1981年验证了Feigenbaum常数。其后，美国科学家蔡少棠提出第一个混沌电路实验。2002年，Zhong等[5]也用电路设计实现了Chen系统。其后，混沌电路得到了普遍关注[6，7]。

混沌系统的建模也是混沌理论研究的一项重要内容 [8-15]。早期的混沌系统中，大多数系统有1个平衡点或者2个对称平衡点或者3个平衡点，甚至更多个平衡点，它们共同的特征是所有平衡点不稳定[16]。在2008年，Yang和Chen[17]提出了一个具有一个鞍点和两个稳定结焦点的混沌系统[18]。Wei和Yang在文献[19]介绍了一类仅有两个稳定平衡点的混沌系统。引起注意的是，上述混沌系统有一个相同的特点，那就是两个对称的平衡点总是具有相同的稳定性。最近，Liu等[20]提出了一个新的三维混沌系统，该系统与上述提到的系统不同，它的右边只有2个二次项，形式简单，但局部动力学行为复杂有趣，有一对位置对称但稳定性总是相反的平衡点。文献[20]中对该三维混沌系统的平衡点结构及其稳定性、Hopf分岔、奇异异宿轨道、混沌电路实现等内容进行了详细分析。

本文将在文献[20]的基础上，运用混合控制技术，构造一个三维受控系统。在对系统局部性质初步分析的基础上，基于混沌电路理论，设计出实现新混沌吸引子的电路信号源，并利用Multisim软件进行实验仿真，检验数值分析结果。

2 混沌模型

在文獻[20]中Liu等人提出的三维混沌系统由如下方程刻画，

=a（y-x）=-c+xz=b-y2 （1）

在系统（1）中，a，b，c∈R是实参数，x，y，z是系统状态变量。显然，当c=0时，系统（1）在变换T（x，y，z）→T（-x，-y，-z）下是不变的。这意味着，任何非自身不变的轨道，在T变换的意义上，都会有它的“孪生”轨道。当c≠0，b<0或b=0时，系统（1）没有平衡点；当b2+c2=0时，系统有非孤立平衡点Oz（0，0，z）；当b>0时，系统有两个非零平衡点E+（，，）和E-（-，-，-），且稳定性总是相反[21]。

本文研究的是上述三维混沌系统的受控系统：

=a（y-x）=-c+xz+m（x-y）=b-y2 （2）

当m=0时，受控系统（2）回归到原系统。我们可以发现，受控系统（2）与原系统的平衡点结构是保持一致的。通过数值仿真，我们进一步得到，当a=1.5，b=1.7，c=0.05，m=-1.56时，系统李雅普诺夫指数为0.0046，-0.0180和-0.0250。系统（2）具有混沌吸引子，如图1所示，在x-y平面上的相轨迹平面图如图2所示。

3 电路设计与实现

混沌系统最简单的实现就是进行设计电路，大量混沌系统的动力学行为都是采用设计非线性电路的实现来得到验证。混沌电路设计流程如下：

首先考虑变量比例的变换压缩。

如果变值器件的取值范围没有超过电源器件的最值范围，就不需要更换取值，反之就要进行比例变换。

其次选择便于调节以及有利于计算的电路。

反相加法器或反相运算放大器相对于同相加法或减法运算的电路中各输入信号源相互独立，比例运算系数调节灵活，便于调节。

所以，反相加法器活加法运算放大器更适合混沌电路的设计。如图3-5所示。

最后，通过积分反馈放大器将混沌系统转化为电路方程。

根据系统（2），可设计电路以及电路方程（3），如图5所示。通过理论实验设计画出实物图，图中U1-U8的运算放大器采用的型号为NE5532AI，采用了型号为MULTIPLIER模拟乘法器，电路图如图6所示。

此电路的电路方程

c1=-Uc1+Uc2c2=-Uc2 +Uc1Uc3+Uc1c3=-U（3）

电路方程与系统（2）的方程形式一致，因此，Uc1=x，Uc2=y，Uc3=z，V=5V

即：

=-x+y=-y +xZ+x=-y2 （4）

为了实现与系统（2）相符合，我们必须选择合适的元件参数。因此，取R1=R2=R3/0.15，R8=R10=R9/0.1，R=R11R16，R13=R12/1.56，R19=R21=R20/1.69。同时取R3=R4=R5=R6=R9=R14=R15=R16=R20=R22=R23=10kΩ，则R1=R2=66.67kΩ，R8=R10=1kΩ，R12=10MΩ，R13=6.41MΩ，R11=4.11TΩ，除此之外，取C1=C2=C3=100nF，波形的振荡频率约为1KHz，通过示波器才能得到的波形图是完整并稳定，图7所示的图像是通过示波器来观察到的。

4 结束语

在非线性科学的研究中少不了混沌电路，本文对一个新的三维混沌系统的受控系统的混沌吸引子进行电路设计，运用Multisim软件对该受控系统的电路进行实验仿真。最后，选择精确的实验电路硬件，实现了混沌系统仿真结果，并给出了完整的电路实现图。

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