错误再探究 准确找错因

田锁勤

四边形尤其是特殊的四边形是初中阶段重要的基本图形，其性质与判定的综合应用为证明线段或角的关系提供了丰富的途径.但各种特殊四边形之间的关系错综复雜，其与三角形的相关知识又密不可分，所以同学们在遇到四边形的相关问题时常常会手忙脚乱，出现错误也在所难免.本文旨在帮助同学们对四边形有关的知识进行“纠错”，相信你认真读完一定会受益匪浅.

一、基本定理认识不清

例1 下列命题中正确的有 （填序号）.

①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.

②对角线互相垂直的四边形是菱形.

③如果一个四边形的中点四边形是菱形，那么这个四边形一定是矩形.

④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

【错解】②③.

【剖析】本题考查的是特殊四边形的有关性质和判定.同学们要保持清醒的头脑，看清实质，依据平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的区别与联系进行判断.想当然或是一知半解的同学就会做出上述错误判断.

①虽然不是能直接判定平行四边形的方法，但可以证明结论是正确的.②中的条件都不能识别其为平行四边形，那就更不可能是菱形了.③矩形的中点四边形一定是菱形，但反之不一定.中点四边形首先必是平行四边形，其次其邻边的关系与原四边形对角线的特殊关系相呼应，所以本项只需这个四边形的对角线相等即可.④中包括识别这个四边形为平行四边形、矩形、菱形的条件，故正确.

【正解】①④.

二、图形对称性重视不够

例2 在平面内找一点P，使其与正方形ABCD的四个顶点均能构成等腰三角形，这样的点P有 个.

【错解】1.

【剖析】本题没有图，很多同学仅靠想象去寻找点P，认为对角线的交点即为点P所在的位置.实际上根据正方形的对称性，点P在CD的垂直平分线l上时，必能构成两个等腰三角形，即△PCD和△PAB，从而问题转化成只需△PAD为等腰三角形即可.当PA=PD时，点P在AD的垂直平分线上；当PA=AD时，点P在以点A为圆心，AD长为半径的圆上；当PD=AD时，点P在以点D为圆心，AD长为半径的圆上，如图1，共有5个这样的点.同理在AD的垂直平分线上也存在这样的5个点（其中一个点与P3重合），因此满足条件的点P共有9个.

【正解】9.

例3 如图2，正方形ABCD的边长为2.△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）.

A.2 B.[22] C.[2] D.6

【错解】B.

【剖析】没有认识到正方形的对称性的同学可能会认为点P在AC的中点时，PD+PE取得最小值，想当然地选择了B（事实上，此时PD+PE=[2+3-1]）.还有一些同学会认为当点P、D、E在一条直线上时，PD+PE取得最小值，但又苦于求不出.其实根据正方形的对称性可知，点D关于AC对称的点即为点B，连接BE交AC于点P，此时PD+PE取得最小值，即BE的长，由题意得BE=AB=2，故选A.

【正解】A.

三、分类讨论考虑不周

例4 若?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P为对角线BD上一点，过点P作EF∥AC，交?ABCD相邻两边于点E、F，AC=3，BD=8，设BP=x，EF=y，则y与x之间的函数关系是 .

【错解】y=[34]x.

【剖析】本题没有图，很多同学在根据题意画图求解时画出图3的情形，而实际上点P为对角线BD上一点，点P还有可能在OD上，所以应分两种情况讨论求解，即当0≤x≤4时和当4

【正解】当0≤x≤4时，y=[34]x；当4

1.下列命题中正确的是（ ）.

A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

2.将五个边长都为1cm的正方形按如图4所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是 cm2.

3.如图5，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 .

4.若平行四边形一内角的平分线分其一边为3cm和4cm两个部分，则该平行四边形的周长是 .

（作者单位：江苏省泰州市九龙实验学校）