导弹滑行出箱过程中颤动现象的建模与分析*

商 霖， 周国峰， 卢 鑫

(中国运载火箭技术研究院 北京, 100076)

引 言

导弹在滑行出箱过程中其局部在某一时段内会出现振动的突然放大，即弹体的颤动现象[1]。导弹局部的颤动不仅影响其地面发射时的出箱安全性，还影响其后续飞行的初始姿态角，特别是滑行过程中表现出的强烈的振动还会影响弹上设备的工作性能，进而诱发飞行故障。因此，有必要研究导弹滑行出箱过程中出现的颤动现象，分析其形成机理，为武器系统工程提供理论支撑和设计指导。

笔者从信号分析处理试验数据的角度出发,对导弹滑行出箱过程中采集到的振动数据进行了时域波形和频域谱分析，采用频域积分的方法[2]得到了导弹局部的相轨迹图，论述了颤动现象的形成原因，给出了消除颤动现象的初步措施。然而，文献[1]未能提炼出用于分析颤动现象的数学模型，不能对系统是否发生颤动提前预示，不能对系统颤动发生的条件进行预估，因而也无法提出明确可操作的实施方案，因此有必要在此基础上开展进一步研究。

本研究首先从导弹出箱过程的实际情况出发，考虑其运动状态和边界条件，建立了研究导弹颤动现象的动力学模型，即质量块-传输带干摩擦模型。随后利用龙格-库塔数值方法编制动力学程序计算得到导弹滑行过程中响应局部的时域波形图、相平面图和庞加莱截面图，阐明了颤动现象从形成、保持到消失的过程。同时，通过平衡点稳定性分析法可知，导弹出箱速度较低时系统的静平衡状态容易失去渐进稳定特性，进而出现滑动形式的干摩擦自激振动。最后，结合数值计算和理论分析的结果，明确导弹滑动出箱过程中诱发颤动现象的影响因素，并给出了工程上切实可行的抑制颤动的具体措施，并在后续型号试验中得到了很好的验证。

1 动力学模型的建立

1.1 质量块-传输带模型

图1 导弹颤动分析的动力学模型Fig.1 The dynamic model for the chattering analysis of missile

导弹滑动出箱过程中其局部的振动放大是一种颤动现象，此时会有多个弹性模态被同时激发，且振动强度各不相同。为便于分析，现只考虑一个模态，为此选择响应最强的基频模态的惯性参数m和刚度系数k，建立单自由度振动模型，同时考虑地面发射时导弹在箱内滑行过程中的刚体运动状态和导轨的边界约束情况，从而构建分析导弹颤动现象的质量块-传输带动力学模型，如图1所示。以图1中的滑块(质量为m)和弹簧(系统整体刚度为k)为研究对象，建立如下运动微分方程

(1)

当滑块处于平衡状态时，有

(2)

将式(2)带入式(1)，找到平衡点位置

ue=-k-1f(-V)

(3)

以平衡位置ue作为新的坐标原点，引入新的变量

x=u-ue

(4)

将式(3)和式(4)代入式(1)中，得到

(5)

1.2 摩擦力模型

丁千等[3]介绍和评述了工程领域中常见的几类摩擦力模型。从中可以发现，过分简单的模型不能正确描述摩擦力的变化规律，而复杂的模型不能得到系统运动过程的解析结果，因此采用合理的模型是至关重要的。本研究利用某型导弹多次地面发射试验测量得到的惯组数据，采用四元数法[4]进行导航得到其刚体运动状态，在已知发动机推力曲线的前提下，根据刚体动力学方程得到了导弹滑动出箱过程中导弹与滑轨之间的滑动速度-摩擦力曲线，如图2所示。观察图2曲线，发现其变化趋势与摩擦系统动力学研究中最常用的Stribeck模型比较一致。因此，文中采用Stribeck模型，其一般形式为

(6)

其中：N为运动界面之间的法向压力；Vr为运动界面之间的相对速度；μ为运动界面之间的静摩擦系数；α和β为动摩擦因数(与运动界面间的表面粗糙度、接触状态等均有关)。

当α和β等于零时，上式即为Coulomb摩擦力，也称为理想干摩擦力。

图2 弹轨间的摩擦力变化曲线Fig.2 The friction force between the missile and the rail of launch box

文献[3,5-6]所示Stribeck摩擦力曲线和图2所示摩擦力曲线中克服静摩擦力后, 摩擦力在相对滑动速度较低的范围内随相对速度的增加反而下降，出现了负斜率摩擦现象。这里的负斜率部分就是负黏性阻尼项，这种阻尼机制在小的运动幅值时使系统的能量增加，而在大的运动幅值时使系统的能量减小，由此产生了不稳定的效果，进而引发纯滑或滞滑形式的干摩擦自激振动。虽然研究中可以根据某型导弹多次地面发射试验获取的摩擦力曲线借助最小二乘法拟合得到式(6)中的摩擦力系数，但是为了能较好地模拟这种类同于Van der pol振子的阻尼机制，实际仿真时在确定了静摩擦系数μ的基础上还需对动摩擦因数α和β作适当调整。

1.3 动力学方程

(7)

其中：Ve=-V。

将式(7)代入方程(5)，并令导弹基频频率ω2=k/m，可得

(8)

其中：g为重力加速度；θ为导弹发射倾角。

(9)

二维变量(x,y)称为状态变量，方程(9)称为状态方程。以x和y为坐标轴构成的二维状态空间(状态平面)称为相平面，该平面上的点表示系统的特定运动状态，称为相点。

2 稳定性分析

为了研究系统参数对导弹颤动现象的影响，采用平衡点稳定性分析法对式(9)系统进行分析。图1中，当导弹滑动出箱速度足够大时，滑块会在摩擦力和恢复力均衡作用下处于平衡状态。系统平衡点扰动方程的线性特征多项式为

λ2-gcosθ(α-3βV2)λ+ω2=0

(10)

根据Routh-Hurwitz准则，系统渐近稳定性条件为

gcosθ(α-3βV2)<0

(11)

显然，导弹发射倾角θ不会改变式(11)的性质，由此满足式(11)的条件是

(12)

由式(12)可见，动摩擦因数α和β的取值决定了临界速度Vcr的数值，表明它们是影响系统振动特性的一组重要参数。工程中，动摩擦因数α和β通常可通过试验来获取，因与接触材料、接触状态、界面粗糙度和结构形式及环境条件等多种因素均有关，其数值在一定范围内是变化的[8]。若动摩擦因数α和β同比变化，即α/β保持不变，则临界速度Vcr不变；若α/β增大，则临界速度Vcr变大，系统更容易失去渐进稳定特性；若α/β减小，则临界速度Vcr变小，系统保持渐进稳定特性的能力将会提高。

3 数值分析

根据式(9)微分方程组，采用4阶龙格-库塔算法编制动力学计算程序进行相平面分析。考虑到导弹出箱滑行过程中，其质量变化很小，基本可以忽略，因此和质量相关的所有参数均假定为常值。根据计算程序，设定已知值导弹基频ω=472 rad/s和重力加速度g=9.8 m/s2，设置参数值发射倾角θ=60°、动摩擦系数α=0.071和β=0.000 17，给定初始值滑块位移x0=0.01 m和滑块速度y0=0，由此得到导弹滑行过程中响应局部的时域波形图、相平面图和庞加莱截面图，分别见图3～图5所示。

图3 导弹局部振动的时域波形图Fig.3 Time domain waveform of local vibration of missile

图3导弹局部振动的时域波形图中，仿真和试验曲线都表征出了自激振动的特征[9]，即在振动过程中：当输入能量大于耗散能量时，振幅增加；当输入能量等于耗散能量时，振幅保持不变；当输入能量小于耗散能量时，振幅减小。图3中试验曲线相比仿真曲线来说，在整体变化形态上尚不理想：仿真曲线在t<0.5 s的上升段，其幅值渐进增加；在t>0.8 s的下降段，其幅值渐进减小。试验曲线在t<0.5 s的时段，其幅值有跳跃、变化无规律；在t>0.8 s的时段，其幅值有变化、未表现出明显渐进趋势。

文献[10]指出，真实的动力学系统要承受外界扰动，不稳定的周期运动不能保持，稳定的周期运动才能保持为稳定的极限环。由此表明，导弹滑行出箱过程中除了由弹轨间摩擦力提供的能量外，还包含了其它的外激励能量，如发动机燃气喷流噪声、发射箱内燃气绕流噪声和发射车底盘的振动激励等。其中，发射车底盘振动引起的基础激励为低频机械能，能量较强，且对颤动现象的形成、发展和消亡等过程最为直接；发动机产生的燃气喷流噪声和箱内燃气绕流噪声为高频声能，能量较弱，在一定程度上影响着颤动。在这些外界强扰动作用下,导弹滑行过程中不稳定的周期运动无法保持，如图3试验曲线中t<0.5 s时段和t>0.8 s时段。

此外，文献[11]认为，考虑可动边界后，自激振动的振幅将随边界运动速率的增加而减小，但其频率不受影响。为了便于研究弹轨间摩擦力效应引起的颤动现象，笔者简化了工程问题，将发射车底盘理想化为固定边界。实际发射时，导弹出箱过程中发射车底盘是处于不断变化的振动状态。结合图3仿真曲线和试验曲线的对比可以发现，二者的差异在某种程度上也吻合了文献[11]的结论。

图4为导弹局部振动的封闭相轨迹(即极限环)，相轨迹从图中左侧灰色方块出发，经箭头1，2，3返回图中右侧灰色方块，箭头1，2，3之间的曲线转折只是图示方便。图示表明，相平面的环形区域在内、外边界上的相轨迹均指向环域内，且环域内没有奇点(相轨迹的源)，表明这是一个稳定极限环。由此仿真证明，系统发生了自激，即导弹出箱过程中其局部出现了颤动现象。

图4 导弹局部振动的相平面图Fig.4 Phase plane diagram of local vibration of missile

图5为采用定相位庞加莱截面法获取的导弹局部振动的庞加莱截面图。通过观察图中庞加莱截面上截点的情况发现，庞加莱截面上是一条近似封闭的曲线，表明导弹滑行过程中的稳定运动是准周期运动，由此说明弹箱组成的颤动系统具有较强的非线性因素[10]和较大的阻尼特性[12]。由此可见，在外界强干扰作用下，导弹局部振动的时域波形图更接近于图3所示的试验曲线。

图5 导弹局部振动的庞加莱截面Fig.5 Poincare section of local vibration of missile

4 抑制颤动的措施

根据数值分析，导弹滑动出箱过程中会发生颤动现象，而这种情况是导弹地面发射时所不希望出现的。为此，结合上述分析，从工程的角度提出了抑制系统颤动的基本措施。

1) 提高导弹在箱内的滑动速度。

上文利用平衡点稳定性分析法研究得到了诱发系统自激振动的临界速度Vcr，并得出结论：当导弹出箱速度V大于临界速度Vcr时系统不会出现自激振动。众所周知，导弹在箱内的滑动速度V是一个由低到高的过程，而导弹颤动发生在低速阶段，如果能有效地规避低速段(小于临界速度Vcr)、实现高速段(大于临界速度Vcr)的长时滑行,则会在很大程度上避免自激振动。由此，工程上可以通过设计一种“单室双推力”发动机，导弹在箱内滑行段采用高燃速推进剂快速提高发动机的推力，以使导弹在尽可能短的时间内达到并超过临界速度Vcr，从而消除导弹颤动或将颤动的影响减少到最小。

2) 增大导弹发射倾角。

由式(11)可见，导弹发射倾角θ和系统颤动没有直接关系，而方程(8)则表明其数值影响着系统的黏性阻尼，进而影响了系统颤动的振幅。因此，导弹地面发射时，可以通过提高发射倾角的方法降低导弹局部的振幅。

3) 改变弹轨间的动摩擦因数。

前文所述，临界速度Vcr的大小取决于动摩擦因数α和β。若设计中通过降低动摩擦因数α、提高动摩擦因数β，则临界速度Vcr将会变小，进而降低系统颤动的可能性。文献[12]中，将动摩擦因数α和β表示为静摩擦因子μs、动摩擦因子μm和对应于最小动摩擦的速度vm等三者之间的关系。工程中，可以通过已有材料摩擦数据或试件摩擦试验数据预先设计满足要求的弹轨间的动摩擦因数。

4) 改变弹轨间的摩擦性质。

无论是提高导弹的滑行速度还是增大其发射倾角，亦或改变弹轨间的动摩擦因数，它们的根本出发点都是改变系统的黏性阻尼，而最为有效的措施就是改变导弹与滑轨之间的黏性滑动摩擦因数α和β。理论的指导是，补偿弹轨间摩擦力中的负阻尼分量，即施加足够的正阻尼力，抵消摩擦力中的负阻尼力的影响分量。工程的措施是，在导弹与导轨之间涂抹较厚的润滑剂或润滑油，由此变干摩擦为湿摩擦，变自激振动为黏性阻尼振动。

采取以上措施后，该型号导弹地面发射试验时再未发生弹体局部颤动的现象，保证了工程研制工作的顺利进行。

5 结束语

笔者研究了导弹滑行出箱过程中出现的颤动现象，通过弹轨间的摩擦、阻尼特性、自激振动机理等分析，建立了模拟弹轨关系的质量块-传输带干摩擦动力学模型。利用数值计算得到了导弹滑行过程中颤动现象从形成、保持到消失的全过程，绘制了稳定封闭的极限环和庞加莱截面图，论述了导弹发动机燃气喷流、发射箱内燃气绕流和发射车底盘振动等诸多干扰因素对不稳定周期运动的影响。同时，通过平衡点稳定性分析法得到导弹出箱的临界速度，当出箱速度低于临界速度时系统的静平衡状态将会失去渐进稳定特性，并由此出现滑动形式的干摩擦自激振动。最后，根据数值计算和理论分析的结果，论述了导弹滑动出箱过程中诱发颤动现象的影响因素，并据此给出了工程上切实可行的抑制颤动的具体措施。本工作不仅为导弹颤动现象的研究提供了一种可资借鉴的方法、填补了相关空白，而且为导弹颤动现象的抑制提供了简单有效的方法。

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