路面谱函数对车桥耦合随机振动敏感性分析*

桂水荣， 陈水生， 万 水

(1.华东交通大学土木建筑学院 南昌，330013) (2.东南大学交通学院 南京，210096)

引 言

路面不平顺一直被广大学者认为是影响车桥耦合振动的一个主要因素，国内外学者针对这一影响因素展开广泛研究。Chatterjee等[1]根据10个桥面随机不平顺激励样本，考虑路面不平顺激励影响，认为车桥耦合共振响应很大程度上依赖于车辆速度和桥梁频率。Li等[2]认为桥面不平顺样本的峰值位置对冲击系数有很大影响。Calcada等[3]分析了各种因素对桥面板的冲击，认为桥面不平顺是影响车辆对桥梁冲击效应的最主要因素。Claude等[4]分析不同等级路面对桥面板的局部冲击，路面不平顺对桥梁振动响应起主要作用，且对不同点位冲击作用不同。对车桥耦合进行理论研究时，国内外学者纷纷采用不同的路面谱函数进行分析。Li等[5]采用Wang 1993谱[6]分析桥面不平顺对车桥耦合振动的影响。韩万水等[7]采用Dodds谱函数[8]分析路面非一致激励对车桥耦合振动的影响。叶茂等[9]采用GB7031-86谱[10]分析高架桥汽车荷载对地面作用力。许海亮等[11]研究车路耦合效应基本采用GB7031-86谱。张立军等[12]研究认为Wigner-Ville谱能很好反映路面波形特征。但研究多轮车非平稳随机路面激励相干模型[13]均采用GB7031-1986谱，研究车辆振动特性[14-15]主要采用余志生[16]实测谱和GB7031-86谱。钟阳等[17]对比中国和美国200多条道路的路面平整度指标，认为中国路面平整状况远远差于美国。国内外学者采用不同的路面谱函数研究车辆振动、车桥耦合振动响应、车路耦合振动响应，各国规范和学者所采用的路面谱函数对车桥耦合振动响应的影响未曾比对，研究路面谱函数对其影响，就显得尤为必要。本研究将车辆简化为两自由度的四分之一车模型，桥梁离散为梁单元，以路面随机谱激励函数作为输入，基于虚拟激励法建立车桥耦合随机振动模型，研究GB7031谱、Wang谱及国际标准化组织(international standardization orgnization,简称ISO)谱三种路面谱函数对简支梁桥及车辆振动响应的影响。

1 车-桥耦合系统计算模型

1.1 车辆模型

根据车辆振动特性，作用在桥梁上的车辆荷载，可以简化成四分之一车模型，将车体质量集中到m1，悬架弹簧刚度及阻尼等效为k1和c1，轮轴质量集中到m2，车轮刚度及阻尼等效为k2和c2的弹簧-质量-阻尼系统。假设简支梁桥静止时为平衡位置，车辆以速度v行驶，簧载质量m1的动位移为z1，轮轴动位移为z2，车轮始终与梁体保持接触不脱离，与所在位置梁的挠度y(x,t)保持一致，如图1所示。根据达朗贝尔原理，四分之一车模型振动方程可写成

(1)

k1z1+(k1+k2)z2=0

(2)

其中：d(x,t)=y(x,t)+w(x,t)；w(x,t)为路面不平顺样本幅值。

图1 四分之一车-桥耦合振动模型Fig.1 A simple beam bridge subjected to two degree of freedom system

1.2 桥梁模型

将桥梁进行有限元离散，桥梁振动方程为

(3)

为减少计算工作量，引入模态综合叠加技术，使用Rayleigh阻尼，取r阶模态，根据振型分解法，式(3)可以改写为

(4)

其中：I，X，Ω为对角质量、阻尼及刚度矩阵；Φ为桥梁r阶模态向量矩阵，Φ=[φ1,φ2,…,φr]；φr为第r阶频率对应各节点模态向量。

1.3 车桥耦合振动模型

根据车轮与桥梁接触处的位移协调和相互作用力平衡关系，车桥耦合振动过程中，作用于桥梁上的荷载可以表示为

Fbv=NT[(m1+m2)g+k2(z2-NΦq-w)+

(5)

其中：N为插值函数；N’x为插值函数对x的导数。

将式(5)代入式(4)并进行模态正交分解，可得

(6)

将式(1),(2)与式(6)联立建立车桥耦合振动方程

(7)

其中：Mbv，Cbv，Kbv为广义质量、阻尼及刚度矩阵；u为广义坐标列阵，u={q1,q2,…,qr,z1,z2}T。

式(7)中外荷载包括自重产生的确定性激励荷载Fg和路面不平顺产生的随机激励荷载Fw，Fg引起的车桥耦合确定性振动响应uid，可由Newmark-β法或PIM迭代求解；Fw引起的车桥耦合随机振动响应uir，可由虚拟激励法进行求解。

(8)

其中：Mvs，Cvs，Kvs分别为车辆模型的质量、阻尼及刚度矩阵；Q，S，A1，A2，B1，B2分别为车桥耦合振动引起的阻尼及刚度矩阵的修改系数矩阵。

1.4 车桥耦合虚拟激励模型

(9)

虚拟激励法适用于求解随机激励作用下时变系统，由式(9)可知，路面不平顺激励引起的随机荷载Fw中包含了路面不平顺时间序列的竖向位移项和速度项。根据式(9)可构造虚拟激励荷载

(10)

其中：Srr(ω) 为频域下路面不平顺功率谱密度。

则式(10)的虚拟激励荷载作用下车桥耦合振动虚拟响应必为

(11)

对式(11)求响应功率谱密度为

(12)

由位移功率谱密度与加速度功率谱密度的转换关系可得系统加速度功率谱密度矩阵为

(13)

2 路面不平顺谱激励模型

当车辆以一定速度v通过，根据时间频率f与空间频率n的关系f=vn，将空间频率(n1,n2)内的路面位移谱密度Gq(n)转换为时间频率(f1,f2)内的路面位移谱密度Gq(f)，有

(14)

由时间频率f与圆频率ω的关系ω=f/2π，时间频域内的功率谱密度函数可转化成圆频率域内的功率谱密度函数

(15)

各国规范及学者对路面位移谱密度函数Gq(n)有不同表达式及分类标准。

2.1 GB 7031谱

国内学者[11]研究车路耦合引起的车辆振动或对路面的振动响应，采用GB 7031-05[10]建议路面功率谱表达式(以下简称GB7031谱)为

(16)

其中：n0=0.1 m-1，为空间参考频率；Gq(n0)空间频率为n0时路面功率谱密度，与路面等级有关，分A～F级(常用路面等级为A～D级，对应参数分别取GqA(n0) =16×10-6，GqB(n0) =64×10-6，Gq C(n0) =256×10-6，GqD(n0) =1 024×10-6m2/m-1)；w为频率指数，决定路面谱的频率结构，一般取w=2；n表示有效频带中某一空间频率，其带宽为(n1,n2)，n1和n2为有效频带的上限和下限，频带宽需包括路面不平顺引起车辆振动的主要固有频率。

2.2 Wang 1993谱

美国各学者研究路面不平顺激励对桥梁的冲击效应影响[5]，均采用Wangl等[6]1993的路面不平度功率谱密度表达式(以下简称Wang 1993谱)

S(ω)=Ar(ω/ω0)-w

(17)

其中：S(ω)为功率谱密度；ω为空间圆频率；ω0为参考空间频率，取1/2π；w为双对数谱密度曲线斜率，决定路面功率谱密度频率结构，简化计算可以取2；Ar为路面不平度系数，分4个等级，Ar1=5×10-6，Ar2=20×10-6，Ar3=80×10-6，Ar4=260×10-6m2/m-1分别对应平顺、良好、一般、不平顺4种路面状况。

2.3 ISO 1972 谱

1972年国际标准协会采纳英国MIRA推荐以功率谱进行道路分类的标准ISO SC2/WG4(以下简称ISO 1972谱)。该标准将路面不平顺功率谱Sq(n0)用分段函数[18]表示

(18)

其中：n为空间频率，单位为m-1；n0为标准空间频率，n0=1/2π=0.16 m-1，它是路面谱低频和高频范围的分界；w1，w2分别为低、高频两段频率指数；Sq(n0)为标准空间频率n0所对应的功率谱密度，表示路面不平的程度。

ISO SC2/WG4标准将道路分为5类：A极好、B好、C一般、D坏、E极坏，对应Sq(n0)的几何平均值分别为(4,16,64,256,1024) ×10-6m2/m-1，w1和w2分别取2和1.5。

结合各国规范及学者提出的路面谱表达式及文献[19]的实测路面不平顺资料，不同等级路面谱的主要区别在于路面粗糙程度。文献[19]指出，空间频率趋于零时，路面输入振幅将趋向无穷大，这与实际不符，在极低频段内有些频率长波信号已低于最小空间频率，对于汽车悬架，极低波段信号成分没有研究意义。统计分析的路面谱空间频率范围在0.011～2.83 m-1之间，取常用车速10～36 m/s，可以保证时间频率范围0.33～28.3 Hz，这个时间频率范围可以覆盖典型车辆的车身共振频率(1～1.5 Hz)、座椅上乘客的频率(4～5 Hz)和车轮跳动频率(10～12 Hz)[13]。

3 算例分析

以一辆32 t载重汽车为例，车辆以不同速度行驶在不同路面谱激励的简支梁桥上。简支梁桥结构动力特性参数为：L=30 m，ρ=2 600 kg/m3，A=1.062 2 m2，I=0.509 2 m4，E=3.5×1010N/m2，车辆参数取m1=32 025 kg，m2=2 382 kg，k1=1.9×105N/m，c1=5×103N·s/m，k2=1.21×106N/m，c2=3×103N·s/m。运用Beam4梁单元建立桥梁结构有限元模型，提取前10阶自振频率及振型进行数值分析。

3.1 路面谱函数对桥梁竖向响应敏感性分析

路面不平顺激励可以看作高斯平稳随机过程，各国规范和学者均提出了不同的函数表达式，并根据路面粗糙度不同，对路面等级进行分类。目前国内高速公路以GB7031谱的A，B，C级为主，尤以B级最多，该等级路面与Wang 1993谱的良好等级路面状况接近。图2，3分别给出了车辆以25 m/s速度行驶在GB7031谱B级路面、ISO 1972谱等级为“好”的路面及Wang 1993谱等级为“良好”路面的跨中位移均方根及加速度功率谱曲线。车辆未驶入跨中前，三种路面谱函数引起的桥梁跨中位移均方根响应接近；车辆驶过桥梁跨中，Wang 1993谱引起的跨中位移均方根曲线减小的速率明显较ISO 1972谱小；GB7031谱和Wang 1993谱引起的跨中位移均方根随车辆行驶位置的变化斜率相同，但GB7031谱引起的桥梁竖向均方根响应较Wang 1993谱大。三种谱函数作用下，加速度功率谱密度的共振频率峰值相同，均在4和34 Hz处出现共振峰值，且桥梁基频4 Hz处的功率谱峰值明显大于34 Hz频率峰值。路面不平顺引起的桥梁竖向加速度响应，主要由桥梁基频决定，路面不平顺谱函数形式对车桥耦合共振频率影响较小，但谱函数粗糙度G0(路面等级)直接影响车桥耦合振动响应大小。

3.2 路面谱函数对车速的敏感性分析

分别将空间频域内的GB7031谱函数、ISO 1972谱函数及Wang 1993谱函数转化为时间频域内谱函数，选取“B级”、“好”或“良好”等级路面，分析车速对桥跨不同点竖向位移均方根的影响。图4给出了跨中和L/4位置的最大位移均方根随车速变化曲线。ISO 1972谱函数对桥梁动位移响应随车速变化敏感性较其他两种谱函数明显； GB7031谱和Wang 1993谱引起的桥梁竖向动位移响应随车速增加而增大，当车速位于10～25 m/s区间时，跨中及L/4位置竖向位移响应随车速增加较快；车速大于30 m/s时，跨中及L/4位置由GB7031谱和Wang1993谱引起的桥梁动位移响应随车速变化缓慢。ISO 1972谱引起的跨中及L/4位置动位移均方根响应，当车速在5～30 m/s区间时，随车速增加处于高值且变化较小；车速达到30 m/s时竖向位移出现最小峰值；当车速大于30 m/s时，随车速增加，竖向动位移响应随车速增加变化缓慢。

图2 路面谱函数对跨中位移均方根影响Fig.2 The RMS curves of displacement at the bridge midpoint with different road roughness spectrum function

图3 路面谱函数对跨中加速度功率谱影响Fig.3 The RMS curves of acceleration at the bridge midpoint with different road roughness spectrum function

图4 位移最大均方根随车速变化Fig.4 The maximum RMS of displacement based on different speed

3.3 路面谱函数对车辆振动敏感性分析

为研究路面谱函数对车辆振动响应的敏感性，设车辆以25 m/s速度匀速通过简支梁桥，车辆驶出桥跨后，忽略路面不平顺激励作用，但车辆仍以相同速度行驶在光滑地面上。图5和图6给出车辆悬架位移和车体加速度随车辆行驶位置变化曲线。从图5可以看出，车辆驶入桥跨后，悬架位移迅速达到最大值，车辆驶出桥跨后，悬架位移逐渐减小。从图6的车体加速度均方根响应曲线可以看出，车辆驶入桥跨后，车体加速度迅速增大，但并未立即达到最大值，当车辆行驶至桥跨20 m位置后，车体加速度达到最大值，车辆驶出桥跨后，悬架位移迅速减小，随着车辆在路面上继续向前行驶，车体加速度仍有最大和最小峰值出现。这说明车桥耦合共振对悬架位移影响远大于车路耦合共振，车辆在光滑路面上行驶，车体加速度未像悬架位移一样迅速回零。

图5 车辆悬架位移均方根响应 Fig.5 The RMS of displacement of suspension

图7 车辆加速度功率谱密度Fig.7 The power spectrum of truck acceleration

图7给出了三种路面谱与车桥耦合共同作用时，车辆悬架和车体的加速度功率谱密度曲线。对桥梁和车辆动力特性分析，该简支梁桥一阶竖向自振频率为4.422 Hz，车辆自振频率为1.65 Hz。三种路面谱激励与车桥耦合的共振频率、悬架加速度和车体加速度均在简支梁桥一阶频率附近出现共振频率峰值。与车路耦合作用不同，路面不平顺激励与车桥耦合共振，主要由路面激励的低阶频率引起，桥梁基频对共振频率起决定作用。路面谱对桥梁和车辆振动响应的影响，GB7031谱对车辆悬架位移和车体竖向加速度谱密度的影响均较Wang 1993谱大。ISO 1972谱引起的桥梁跨中竖向位移功率谱响应较大，车辆悬架竖向位移和车体竖向加速度功率谱最小。

图8给出了车辆悬架位移和车体加速度最大值随车速变化关系。GB7031谱和Wang 1993谱引起的车辆悬架位移和车体加速度随车速增加而逐渐增大。ISO 1972谱随车速变化缓慢，车速小于22 m/s时，悬架位移和车体加速度随着车速有增加趋势；车速大于26 m/s时，悬架位移随车速略有增大，但车体加速度随车速变化平缓。路面不平顺激励与车桥耦合共同作用，由ISO 1972谱引起的车辆振动响应对车速的敏感性较GB7031谱和Wang 1993谱弱。

图8 车辆最大竖向动响应随车速变化Fig.8 The maximum dynamic response of vehicle with different speed

4 结 论

1) 三种路面谱函数引起的桥梁跨中竖向位移均方根曲线形状相似。

2) 三种路面谱函数引起的桥梁跨中、车体及悬架动响应的共振频率均出现在桥梁一阶频率处，ISO 1972谱引起的桥梁振动能量最大，而GB7031谱引起车辆振动能量最大。

3) 由ISO谱引起的车辆振动响应随车速变化较小，GB7031谱和Wang 1993谱引起的车辆和桥梁振动响应均随车速增加而增大。

4) 研究车桥耦合随机振动响应，路面不平顺输入激励可以采用GB7031谱和Wang 1993谱函数，两种路面谱函数计算结果接近。

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