数学拓展课程

夏小林 胡慧良

一、故事导入，明确规则

（一）讲故事，激兴趣

传说，在古老的吉帕特王国，住着一位智慧而好客的国王，经常有人慕名来拜访他。他拥有60座城堡，当有人来拜访他时，国王会拿出一块写满数字的石板，上面是个数阵，来访者按照国王的要求，圈出4个数字，加起来和是几，就可以住进几号城堡。当然最尊贵的客人，国王会在他居住的33号城堡以国礼隆重接见！国王拥有一种“超能力”——看一眼就知道是好人还是坏人！如果是坏人，国王总有办法让他住进那间待着毒蛇的城堡，让他被毒蛇吃掉。

一天，又有人来拜访国王，国王看了他一眼，照旧拿出一块石板——你面前，就是这块石板。游戏规则是这样的：（师示范）任意圈一个数，比如圈5，去掉（“X”掉）这个数所在的行、这个数所在的列中的其他六个数。（板书规则：每列、每行只留一个数）；请你再从剩下的数中任意圈一个数，然后同样“X”掉同一列、同一行的其他数，数数还剩几个数？（4个）；游戏继续，（再来一次）现在还剩几个数？（1个）把剩下的数也圈起来，一共圈了几个数，请你把圈的数加起来！和等于几，就住进几号城堡。

反馈，结果是28，我们一起来看，28号城堡住着——毒蛇（PPT显示），说明这个人是——坏人。对，这块石板是国王专门给坏人准备的！

（二）引發好奇，产生疑问

为什么我们圈的数不一样，结果却都是28。说明这个数阵隐藏着秘密（揭题：神秘的数阵）。观察这个数阵中的数，你有什么发现？

（设计意图：在听故事的过程中，明确规则。以故事的形式，让学生进入设置的情境中，在操作体验的基础上，引发好奇，产生疑问：为什么我们圈的数不一样，结果却都是28？激发学生强烈的探究欲望，最大限度激活学生的思维。数学故事中原来呈现的材料是每一行都是连续自然数的“5×5”的数阵，我们认为这对初次接触数阵的学生来说挑战性太大，所以调整成“4×4”的数阵来降低难度。另外，通过实践发现每一行都是连续自然数的“有序”呈现方式，对学生干扰极大，会形成强刺激误导学生观察本质规律。我们及时调整成相对“无序”的数阵，这样的变化，收到了预期的效果，“逼着”学生从已有经验一串数比较不能发现规律，走向新经验两串数比较发现规律，习得观察数阵的方法。笔者对故事背景进行了改编，赋予了国王“正能量”。）

二、观察抽象，探索规律

（一）交流反馈，引导突破

生：对角线上的各个数的和是28——（师引导观察方法：斜看）

师：生活中，除了斜看，我们还可以……（ 引导：可以横着看，可以斜着看，还可以……）

生：相差1，3，5。

师：能说得更具体吗？（观察到同一行）

生：竖着看，都相差1。

师：你上来指给大家看行吗？

师：（板书：竖着）列与列比，其他几列呢，谁也能像他这样比？（同桌说）

生：第1列和第2列也相差……

师：为了方便观察，我们规定把最小的那一列（6，5，0，8）叫作标准列。如果以第3列为标准，第4列的每个数字都比第4列对应的数大1。（节奏放缓，保证每一个孩子都有体验）

师：谁还能说？（师动作引导，请生模仿说。板书：1，3，5）

（设计意图：以学生已有的观察经验为认知基础，当学生观察数阵有所得时，教师适时引导到观察方法上，从斜看想到横看、竖看。观察方法有了，但学生发现凭借已有的经验还是不能发现秘密，因为此前学生只接触过数列，即通过观察或计算发现一串数的“线性”规律，而数阵观察的是“面”，从“线”到“面”是质的飞跃。如何突破呢？在学生尝试的基础上，教师引导：老师看一列找不到规律，那还能再怎么看？引导实现从一串数比较到两串数比较，数阵的本质规律逐步清晰。）

（二）提供支架，发现本质

（1）尝试用字母表示数：老师给你们准备了秘密武器，保证让我们发现的规律一目了然！

引导：如果我们把标准列设为a，b，c，d，那它右边的第4列数该怎么表示？请你写下来！（反馈）第1列，第2列呢？（投影课件整体核对）

（2）感悟，生成：我们刚才发现的规律，在字母数阵中看得出吗，在哪？（生：指认，再练说）看着字母数阵，现在你有什么新发现？（等待，引思）

（3）验证：看来这个问题有难度，请按照刚才的方法，圈一圈，算一算。完成后可以和同桌先交流一下。看看和你的猜想一样吗？

（预设：每一组算出来的结果整理后，只有唯一的结果：a+b+c+d+1+3+5）

追问：你能分别从数阵中找到它们吗？a，b，c，d分别是谁？1，3，5呢？它们的和是（ ）？板书：28=22+6 标准列和+列差和

（4）小结：同学们，看着和的结果，现在知道为什么一定进入28号城堡？

预设：因为a，b，c，d（标准列）的和等于19（固定），列差的和也固定为9，这两部分加起来，就只会等于28了。

（板书：a+b+c+d下划线等于19，1+3+5下划线等于9）

师：国王牛不牛？你们也很牛！

（设计意图：如果说数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀的话，那么学生观察与思考，也需要行走在“直观”与“抽象”之间。当我们发现了规律，想到用字母去表征，本身就是数学素养的体现；退一步讲，如果学会用字母描述发现的规律，也是重要的经验积累，学生能进一步感受到数学的神奇与魅力。本环节分两个层次：一是能正确用字母表达数阵，使数阵的规律显性化；二是能通过观察字母数阵，提出猜想，并加以验证，最终解开故事的谜团。）

（三）设计数阵，方法内化

师：标准列的和与列差和共同决定了进入城堡的秘密！那我们就把这串数，叫作这个数阵的“密码”。（板书：编阵密码）如果我们一起“穿越”到吉帕特王国，你希望国王在哪座城堡会见你？

生：33号。（故事里有伏笔，这是国王接见最尊贵的客人）

师：如果请你设计一个一定进入（33号）城堡的数阵，编阵的密码打算怎么编？（先思，后动）

生尝试设计一定进入33号城堡的数阵。

师生反馈交流：结合学生作品，解读编阵密码。

层次一：标准列的和是24（改变），列差和是9（不变）。（适时板书）或者标准列的和改变 ，列差和不变。

层次二：标准列的和与列差和，同时改变。

师：这样的数阵也一定进入33号城堡，虽然两部分都改变了，但和不变。

师：还可以怎么变？（整行交换，整列交换）

（设计意图：模仿是人与生俱来的能力，无论是在儿童阶段还是在成年阶段，人都会有意识无意识地进行模仿，通过模仿达到“会”，再往前走一步就是“创”。要实现这个飞跃，学生需要有丰富的积淀，深刻的感悟。从“重知识”到“重方法”的转变，促成的是学生对数阵模型的结构化理解，对数阵规律的本质把握。）

三、沟通聯系，迁移方法

师：刚才，我们是通过竖着观察，列与列上的每一个数进行比较，学会了研究神秘的数阵方法。课的开始就有同学提到横着观察，其实这个数阵也可以横着比较，横看，就是——行与行比，你会用今天学到的方法研究数阵吗？

四、总结梳理，拓展延伸

师：今天我们学习了神秘的数阵，你学会了用什么方法来观察数阵？希望同学们学好数学，成为吉帕特国王这样的“智者”！

在数学拓展性课程的实践与探索的道路上，我们且行且思。笔者认为在拓展材料的选择上，力求体现趣味性，牢牢吸引住学生，激发他们的学习欲望；拓展课的实施，体现活动性，给学生创造足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，让“做”与“思”结合，激发学生思维（创造性）；当然，数学是思维的体操，数学拓展课不可或缺的当然是思维性，教学目标指向于基本思想和基本活动经验。让我们共同期待：学生对数学的学习兴趣越来越浓厚；学生会用数学眼光去观察生活，用数学方法去分析周围的现象；学生的数学核心素养不断提升。

（浙江省嘉兴市实验小学 314000 浙江省嘉兴市南湖区教师研训中心 314000）