基于同步压缩小波变换的滚动轴承故障诊断

刘义亚 李 可 陈 鹏

1.江南大学江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡，214122 2.江南大学机械工程学院，无锡，214122 3.三重大学,三重，日本，514-8507

0 引言

在传统的信号提取处理方法中，傅里叶变换是最重要的工具之一，但对于非平稳、非线性信号，傅里叶变换却不适用，其原因是傅里叶变换缺乏时间、频率的定位功能，在非平稳信号分析中有很大局限性。时频分析技术在一定程度上解决了该问题，但现有的时频分析方法都有一定的局限性。如短时傅里叶变换(short time Fourier transform，STFT)方法，其时间窗的大小、形状都是固定的，与频率无关，无法同时获得精准的时刻和频率。连续小波变换(continuous wavelet transform ,CWT)在低频处能够具有很高的频率分辨率，而在高频处，CWT又能够拥有较高的时间分辨率，它能够在时频领域很好地处理非平稳信号的突变部分。但是，CWT的变化结果与小波基以及阈值的选取有着紧密联系，在实际处理中很难找到合适的小波基以及阈值，而且CWT得到的小波系数谱会发生能量泄漏，使得瞬时频率能量分布被模糊化，同时时间和频率分辨率无法同时达到最优[1]。DAUBECHIES等[2]提出了同步压缩变换(synchrosqueezing transform，SST)方法,该方法通过对小波变换结果进行重组，利用小波变换后信号频域中相位不受尺度变换影响的特性求取各尺度下对应的频率，再将同一频率下的尺度相加，从而将相同频率附近的值压缩至该频率中，使得时频谱中各频率曲线显现更为清晰和精确，从而提高时频分辨率，减少小波能量扩散带来的时频谱模糊的现象。LI等[3]对该方法进行研究，提出广义同步压缩方法并将该方法应用于齿轮箱故障诊断中。GAURAV等[4]将该方法运用到古气候研究中，取得令人满意的效果。WU等[5]深度研究了该方法并将其运用到心电图谱研究中。HERRERA等[6]将该方法应用于地震波的分析监测中，使得提取的波形特征更为清晰。此外，人们在其他多个领域也都对此方法展开了研究[7]。

基于以上分析，针对滚动轴承故障信号随机性非线性的特点，本文研究了同步压缩变换故障信号提取方法,同时将其与小波变换结合，形成同步压缩小波变换(synchrosqueezing wavelet transform，SWT)方法。SWT方法以小波变换为基础，通过压缩频率域上所有的频率成分，从而提高频率分辨率，消除交叉项，同时在尺度域上减少能量扩散，提高时频分布的聚集程度，更为清晰地显示时频分析结果，而且能够高精度地重构信号分量。本文研究了同步压缩变换与小波变换相结合的基本原理，利用合成的噪声信号模型进行模拟验证，然后搭建试验平台采集实际滚动轴承故障信号数据进行处理验证，结果表明该方法能够很好地提高时频分辨率。

1 同步压缩小波变换基本原理

SWT以CWT为基础，利用小波变换后信号频域中相位不受尺度变换影响的特性求取各尺度下对应的频率，再将同一频率下的尺度相加，即重新分配小波变换得到的小波系数并对其进行压缩，从而将相同频率附近的值压缩至该频率中，改善了尺度方向的模糊现象，提高了时频分辨率。主要包括以下几个步骤。

1.1 小波变换

对信号x(t)进行连续小波变换，定义为

(1)

函数族ψa,b(t)由基本小波函数ψ(t)通过平移和伸缩产生：

(2)

a,b∈R

小波变换过程中的尺度因子选择32或者64为最优。在实际中所采集的工程信号通常包含各种噪声或其他一些因素，当小波变换得到的系数|Wx(a,b;ψ)|≈0时，计算其相会相对不稳定，通常设定阈值γ将该部分滤除，即令|Wx(a,b;ψ)|>γ，可自适应地估算最优阈值：

(3)

1.2 同步压缩

利用小波变换得到的小波系数Wx(a,b;ψ) (|Wx(a,b;ψ)|>γ)求取瞬时频率ωx(a,b)，定义

(4)

(5)

式中，ak为离散的尺度；k为尺度个数。

当信号处于离散状态时，式(5)中尺度坐标Δak为

Δak=ak-ak-1

(6)

频率坐标Δω为

Δω=ωl-ωl-1

(7)

同步压缩小波变换是可逆的，其逆变换(ISWT)可表示为

(8)

(9)

式中，Cφ取有限值；ψ*(ξ)为基本dξ小波函数共轭傅里叶变换。

通过式(8)即可无损地重构信号了。

1.3 自适应阈值去噪

阈值的选取决定了自适应阈值去噪的结果。小波自适应阈值去噪法是近几年来发展起来的一种新理论,可以同时具有正交性、对称性、高阶消失矩、短支撑性等多种特性。

自适应阈值根据小波系数的噪声层次不同可用能量比来确定。小波系数的能量谱可定义为

(10)

小波系数的能量比定义为

(11)

根据小波系数的噪声层次不同，每一层小波系数的阈值可由下式自适应地获得：

(12)

(13)

式中，M为小波系数的中位数绝对值；n为信号长度。

综上所述，基于同步压缩小波变换的滚动轴承故障信号提取的实现步骤如下：

(1)首先对滚动轴承故障信号x(t)进行小波变换得到小波变换系数Wx(a,b;ψ)。

(2)再对小波变换系数(|Wx(a,b;ψ)|>γ)进行同步压缩得到同步压缩系数Tx(ωl,b)。

(3)使用小波自适应阈值去噪法对同步压缩系数进行自适应阈值去噪。

(4)在有效信号频带范围内对同步压缩变换系数进行积分抽取。

(5)利用抽取的有效信号进行同步压缩变换重构，从而实现滚动轴承故障信号提取。

2 仿真分析

为了验证基于同步压缩小波变换滚动轴承故障信号提取方法的可行性，本文构造了一个合成信号f(t)进行分析。该信号采样点数为2000，采样间隔为5 ms，信号由三种不同信号分量合成：

f(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(14)

x1(t)=[1+0.5cos(2.5t)]cos[2π(5t+2t1.3)]

x2(t)=2e-0.1tsin(30πt)

x3(t)=(1+0.5cost)cos(4πt)

对信号加入信噪比(SNR)为1.5的高斯白噪声，使用SWT处理加噪信号。

图1所示为模拟的噪声信号及SWT结果。对含噪混合信号进行SWT处理，观察图1c，图中三种频率成分清晰可见，说明SWT能够很好地压制随机噪声，提取出特征频率。SWT是一种可逆变换，对变换结果进行自适应阈值降噪后重构，观察图1d～图1g中不同频率成分重构结果，除边缘部分外，重构信号与原信号具有较高的重合度，反映出SWT具有良好的重构能力，能够很好地提取和重构信号。

(a)模拟的原信号

(b)含噪混合信号

(c)含噪信号SWT结果

(d) x1(t)原信号和SWT重构信号的对比

(e) x2(t)原信号和SWT重构信号的对比

(f) x3(t)原信号和SWT重构信号的对比

(g)原合成信号和SWT重构信号的对比图1 模拟信号处理结果Fig.1 Processing results of simulation test

不断改变信噪比并计算重构信号与原信号的相关系数，结果如表1所示。

表1 SWT重构信号与原信号相关系数

由表1可以看出，随着信噪比不断减小，SWT重构信号与原信号的相关系数虽然不断减小，但都高于0.96，由此可以看出SWT重构信号与原信号相关性很高，证明SWT具有较高的信号提取精度和良好的降噪能力。

综上所述，我们可以看出SWT具有较高的抗噪能力，能够很好地提高时频分辨率，同时能够较好地还原信号信息，高精度地提取并重构信号的不同频率成分。

3 试验和验证

3.1 试验平台

试测数据来自图2所示风机试验平台中滚动轴承故障信号。滚动轴承常见的故障类型为外圈故障和内圈故障，如图3所示，其故障特征频率计算公式如下：

图2 滚动轴承故障诊断试验平台Fig.2 Experimental platform of roller bearingfault diagnosis

(a)外圈故障 (b)内圈故障图3 轴承故障类型Fig.3 The type of bearing fault

内圈故障特征频率

(15)

外圈故障特征频率

(16)

式中，fr为转频；d为滚珠直径；D为节圆直径(滚动体中心所在圆的直径)；∂为接触角；Z为滚珠数。

风机试验平台采用输出带宽为5 Hz到60 kHz且灵敏度为10 mV/g的加速度传感器(PCB MA352A60)采集垂直方向的振动信号数据，将传感器用螺丝固定在轴承座上，采集的信号包括滚动轴承正常振动信号、外圈故障信号和内圈故障信号，风机试验滚动轴承具体参数见表2。信号经过传感器信号调节器(PCB ICP Model 480C02)放大后传输至信号记录仪(Scope Coder DL750)。在恒定转速(1000 r/min)下进行试验数据采集，采样频率f为50 kHz。通过线切割加工技术，在风机试验台滚动轴承外圈加工0.3 mm×0.15 mm(宽×深)微小凹痕(图3a)以模拟外圈故障在内圈加工0.5 mm×0.15 mm(宽×深)微小凹痕(图3b)以模拟内圈故障。由式(15)、式(16)求得其外圈和内圈的故障特征频率分别为88.64 Hz和128.03 Hz。

表2 轴承参数

3.2 信号处理及分析

对信号进行处理，图4为滚动轴承正常振动信号、外圈故障振动信号和内圈故障振动信号的波形图。

本文提出了在小波变换基础上利用同步压缩变换方法对信号进行处理，以减小小波变换带来的能量扩散，提高小波变换之后的能量聚集程度，使得各频率特征能够较为清晰地呈现在时频谱中，从而能够对机械运转状态进行准确判断。

本文选择bump小波对故障信号进行小波变换，针对外圈故障信号，图5a为滤波后的故障信号短时傅里叶谱，从图中无法找出任何频率特征。对滤波后的故障信号进行小波变换处理，图5b给出了小波变换时频谱，显然，小波变换的效果不是特别理想，由于能量泄漏严重，致使小波变换时频谱不仅无法看出特征频率，而且低频部分仍残留很大噪声。使用同步压缩对小波变换后的小波系数进行处理，并进行自适应阈值降噪，结果如图5c所示。图5c清晰地反映出该方法不仅滤除了绝大部分噪声，而且时频谱中88.34 Hz、177 Hz以及267 Hz处都出现了清晰的能量集中带，与外圈的故障特征频率88.64 Hz及其2倍频177.28 Hz、3倍频265.92 Hz十分接近，由此可以判断轴承的外圈出现了故障，与实际情况相符。

(a)正常振动信号

(b)外圈故障振动信号

(c)内圈故障振动信号图4 轴承振动信号Fig.4 The bearing vibration signal

针对内圈故障信号，图6a给出了滤波后的内圈故障信号短时傅里叶谱，同样无法找出任何特征。对滤波后的内圈故障信号作小波变换，图6b给出了小波变换时频谱，同样，由于小波变换带来的严重的能量泄漏，时频谱中无法看出故障特征频率，且仍有很大噪声残留。使用同步压缩变换方法对小波变换后的小波系数进行处理并进行自适应阈值去噪，结果如图6c所示。从时频谱中可以清晰地反映出在128.03 Hz、256 Hz、386 Hz处都出现了较为清晰的能量集中带，与内圈故障特征频率128.03 Hz及其2倍频256.06 Hz、3倍频384.09 Hz十分接近，由此判断出轴承的内圈出现了故障，与实际情况相符。

(a)外圈故障振动信号STFT变换结果

(b)外圈故障振动信号CWT变换结果

(c)外圈故障振动信号自适应阈值去噪后SWT变换结果图5 外圈故障振动信号处理结果Fig.5 The processing results of an experimental bearing with outer ring fault signal

(a)内圈故障振动信号STFT变换结果

(b)内圈故障振动信号CWT变换结果

(c)内圈故障振动信号自适应阈值去噪后SWT变换结果图6 内圈故障振动信号处理结果Fig.6 The processing results of an experimental bearing with inner ring fault signal

试验结果表明，SWT通过利用小波变换后信号频域中相位不受尺度变换影响的特点求取各尺度下所对应的频率，再将同一频率对应的尺度相加，使同一频率附近的值压缩至该频率中，不仅能够提高时频分辨率，而且能够在尺度域上减少能量扩散，提高时频分布的聚集程度，更为清晰地显示时频分析结果，能够取得令人满意的效果，处理效果优于CWT，而且能够从时频谱中精确地提取出特征频率，从而判断滚动轴承的运转状况。

4 结论

(1)本文介绍了SWT的理论方法。首先用CWT对信号进行处理，自适应地选择合适阈值，滤除影响相变换的系数，再对满足|Wx(a,b;ψ)|>γ的小波变换系数进行同步压缩。

(2)构建模拟信号并用SWT进行处理并重构，证明SWT能够高精度地刻画时频分辨率，而且具有较高的信号提取精度，可以提取并重构出不同频率成分。

(3)搭建试验平台采集滚动轴承故障信号的实际监测数据。选择合适小波基分别对外圈故障信号和内圈故障信号进行CWT及SWT处理，比较后得出，SWT处理结果更佳，证明与CWT相比，SWT对噪声具有更好的鲁棒性，能够有效抑制噪声，精确提取故障特征频率，优势明显。

本文所用数据来自滚动轴承故障试验平台实测数据，所有故障均模拟工程实际故障状态，未来会将此方法应用到工程实际中以验证该方法的工程实际应用效果。

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