半立方抛物线形断面收缩水深简化计算

2018-05-02孙少江

水科学与工程技术 2018年2期

沈刚，彭凯，王洁，沈洲，孙少江

（1．溧阳市水利局，江苏溧阳 213300；2．扬州大学水利与能源动力工程学院，江苏扬州 225009；3．广东省水文局江门水文分局，广东江门 529030）

明渠特征水深计算在水利工程设计中，由于抛物线类断面明渠的水力学特性较优，且断面稳定性好，在渠道工程中得到较为广泛的运用［1-2］。赵延风［3］和滕凯［4］等分别提出了一套可适用于各类抛物线形断面收缩水深的计算公式，赵延风的公式形式复杂，且需要通过迭代法提高计算精度，而滕凯的公式须查表确定参数，两者的计算过程均不够简便；代述兵等［5］提出的初值公式精度较低，运用迭代计算可提高精度，但增加了计算的复杂程度；陈诚等［6］将牛顿迭代法算法引入立方抛物线形断面收缩水深的计算，迭代计算收敛速度快但公式形式略显复杂不便于记忆；陈诚等［7-8］首次提出高次方程求解的迭代逼近—逐次优化拟合方法，并先后将其应用于立方和半立方抛物线形断面收缩水深的计算，其计算精度较高但公式略显复杂，本文借鉴该方法拟建立一套精度高且形式简捷的直接计算公式，便于工程设计人员直接应用。

1 无量纲收缩水深基本方程

半立方抛物线形断面曲线方程：

式中 a为半立方抛物线形断面的形状参数（m-1/2）。

收缩水深的基本方程为

式中 E0为以收缩断面底部为基准面的过水建筑物上游总水头（m）；hc为收缩断面处的水深（m）；Q为过水流量（m3/s）；g为重力加速度，通常取9.81（m/s2）；φ为流速系数，一般取0.80～1.00；Ac为收缩断面处的过水断面面积（m2）。

引入无量纲收缩水深x和无量纲参数k，即：

由式（1）～（4）可得半立方抛物线形断面无量纲收缩水深x的基本方程：

式（5）为x的高次方程，实际工程中可通过已知参数根据式（4）求得k值，但无法由式（5）直接解得x。

2 无量纲收缩水深简化计算公式

对式（5）进行简单的数学变换，得到迭代公式：

设迭代初值为x0，兼顾公式的精确性和简捷性，将其带入式（6）连续迭代3次，得：

式中x∈［0.01，0.50］［3-4］，经过反复试算与分析比较，发现当迭代初值x0取0.25时，得：

此时计算公式精度较高，且形式较为简捷。

3 误差分析与精度评价

3.1 误差分析

为验证式（8）的精确性，在［0.01，0.50］区间内以一定步长选取不同的x*，以此作为无量纲收缩水深的精确值，将其代入式（5）得k值，并将k作为已知参数代入式（8），可求得无量纲收缩水深的近似值x，及相对误差，可知hc与x的相对误差相同，计算结果如表1。

表1 新建公式相对误差

计算结果表明，在工程适用范围内，式（8）的相对误差呈先上升后下降的趋势，其最大相对误差绝对值仅为0.296%。当x∈［0.01，0.4661］时，相对误差为正值，最大误差值为0.296%；当x∈（0.4661，0.50］时，相对误差为负值，最大误差值为-0.244%。

3.2 精度评价

表2为在x∈［0.01，0.50］工程适用范围内，由近年来提出的各种半立方抛物线形断面收缩水深直接计算方法求得的最大相对误差及评价。各式中n为断面方程幂函数的指数，对于半立方抛物线形断面n=3/2；B，γ分别为与n有关的系数。结果显示，当x∈［0.01，0.50］时，现有各类迭代初值计算公式最大相对误差绝对值从0.583%至5.439%不等，均须通过迭代计算提高精度，且公式形式较为复杂；而本文公式的最大相对误差绝对值仅0.296%，且形式简捷。所提出的直接计算公式不需要借助于迭代过程提高计算精度，通过较小计算量即可较精确地计算出半立方抛物线形断面的收缩水深，在工程实际计算中具有较为显著的优越性，可供工程设计人员参考使用。