高中函数零点问题的求法探析

江智如

福建省南平市高级中学 (353000)

1.问题提出

函数的零点问题是近些年高考的热点，因其涵盖知识广，综合性强，不仅可以考查高中学生的运算能力和化归思想素养，也能很好地体现试卷的区分度，因此零点问题成为各类综合试卷与练习的常客．但它也是高中学生比较畏惧的难点之一，许多考生对这类问题束手无策，往往只能放弃，甚为可惜．基于此，本文从提高高中学生的学习效率和做题质量，培养高中学生逻辑推理和数学运算素养的角度出发，探析解决零点问题的有效方法．

2.概念界定

对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x称为函数y=f(x)的零点．即函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，二者是等价的．在日常的教学过程中可“结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系”．

3.方法探析

在课标课程中，常见的函数零点问题有两类：(Ⅰ)函数零点(方程根)的求解与判定问题；(Ⅱ)以函数零点(方程根)为载体的参数求解问题．

3.1 函数的零点(方程的根)的求解与判定问题

3.1.1 判断函数的零点(方程的根)的个数

若函数表达式能够因式分解，一般采用直接求零点的方法，即：令f(x)=0，通过因式进行求解，有几个解就是有几个零点．这类问题主要考查高中学生的运算能力，也就是多项式分解的能力，大部分的高中学生都能解决．

分析：本题考查高中学生对函数概念及分段函数的理解与掌握．因为f(x)是一次和二次的解析式，问题可转化为直接求方程f(2-x)=3的解．先求得f(2-x)的解析式，再进行求解，最终得到y=g(x)的零点个数为1．

点评：对于由初等函数简单组合的函数或方程，一般通过直接求解的方式进行解决，这类问题主要考查高中学生的因式分解与运算能力，得分率较高，学生的完成情况较好．

3.1.2 函数的零点所在区间的判定

对于无法直接求解的函数，可从函数零点存在性定理(介值定理)着手．求解步骤为：(Ⅰ)函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线；(Ⅱ)f(a)·f(b)<0；(Ⅲ)结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性)确定函数的零点个数．

例2 (2013重庆理6)若a

A．(a,b)和(b,c)B．(-∞,a)和(a,b)

C．(b,c)和(c,+∞)D．(-∞,a)和(c,+∞)

分析：本题是零点问题的概念题，考查定理的理解和方程的运算能力．根据题意分别求解f(x)在a,b,c三处的函数值，判断正负关系，得到结果为A．

如同课程中所讲，沟通问题会激发强烈的情绪。在尝试解决沟通问题时，首先要明确表达自己的情绪，坦承自己感受有助于缓和个人情绪。在控制情绪的基础上，做到中立的评估事实，然后进行有效的沟通而不是对峙。使用非对抗性的语言清楚的表达自己的意思是有效的手段。而我在初次和项目长沟通受到质疑时，并没有正确的分析问题，尝试有效的沟通。后来在与项目其他成员沟通时没有控制住自己的个人情绪，陷入了对峙的状态，采用了对抗性的语言，并把对方置于自己的对立面，最后冲突也无法得到有效的解决。

点评：对于判定零点区间的问题，一般利用连续函数的零点存在性定理判断函数值的正负情况，结合函数的单调性进行求解，考查高中学生运算求解和推理论证能力．

3.1.3 函数的零点、方程的根与函数图像的交点三者之间的互相转化

利用函数图像的交点来求解零点个数的问题．首先把方程转化为初等函数等式，然后分别画出等式两边初等函数的图像．判断其是否相交，若相交，交点的个数有几个，则相应的交点横坐标就有几个不同的值，函数就有几个不同的零点，从而得到原方程的实数根的个数；若不相交，则函数没有零点，亦即方程无实数根．

例3 (2017江苏14)设f(x)是定义在上且周期为1的函数，在区间[0,1)上,其中集合则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 ．

分析：本题考查数论的相关知识，难度较大，考查高中学生的逻辑推理和运算能力．因为D是有理数集的子集，且D⊆[0,1)，同时在区间[0,1)上,f(x)∈[0,1)，故lgx=f(x)∈[0,1)，因此可以考虑1≤x<10的情况．利用f(x)的周期性与y=lgx的单调性，结合二者的图像得到方程解的个数为8．

点评：本题的设计，让考生体会到有理数集与无理数集之间紧密关系的思想与方法，这不仅能提高高中学生的逻辑推理能力，也能有效地培养高中学生的数学素养．

3.2 以函数零点(方程根)为载体的参数求解问题

以函数零点(方程根)为载体的参数问题，考查高中学生对问题的理解及综合地应用知识分析、解决问题所需要的抽象概括能力和推理论证能力，考查创新意识，常用3种方法求解．

3.2.1 直接法：根据已知条件构建关于参数的不等式(组)，通过求解不等式(组)确定参数

点评：本题考查了分类讨论和化归的数学思想．通过函数的单调性和y截距的定义，利用两个函数的图像关系，得到不等式组进行求解，使问题变得直观、简单，体现了数形结合思想的有效性．

3.2.2 分离参数法：根据解析式将参数分离，转化成函数值域问题加以解决

点评：分离参数法是解决零点问题的有效方法，考查高中学生的化归思想和数据运算能力，高中学生理解和掌握情况较好，但困难在于方程的化简和运算上，在日常的练习中可加以训练．

3.2.3 数形结合法：将解析式变形，画出相应函数的图像，利用数形结合的方法加以解决

分析：本题可从图像入手，利用数形结合的方法，转化为函数y=f(x)与y=b的交点个数问题．因为y=x3与y=x2的交点为(0,0)和(1,1)．由幂函数的图像可求得，当a<0或a>1时，满足条件，故a的取值范围是(-,0)∪(1,+)．

点评：数形结合是零点问题中常用的思想方法，运用数形结合思想，可以使抽象的零点问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握零点问题的本质，发现解题思路，能避免复杂的计算与推理，简化解题过程．

4.方法总结

函数零点是综合性的问题，其解决方法不是单一绝对的，常需要以上多种思想与方法的结合才能解决，它能够培养高中学生函数与方程化归的思想、数形结合的应用意识．因此，在具体的教学实践过程中，可从“结合初等函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断方程根的存在性及根的个数”的角度进行思考与探究．