默会知识的激活与数学核心素养的培养

张胜黎

浙江省杭州市艮山中学 (310003)

20世纪有影响的科学家和哲学家迈克尔·波兰尼在1958年发表的全面体现其哲学思想的著作《个人知识》中，对传统的主客观分离的知识观进行了无情的批判. 他认为知识是客观性与个人性的结合，具有默会的成分，在一定程度上是不可言传的，由此产生了“默会知识论”.相较于能言传的，可以用文字等来表述的明确知识，默会知识是指不能表述的那部分知识，且有着不同于明确知识的显著特征：

(1)默会知识是镶嵌于实践活动之中的，是情境性和个体化的，常常是不可言传的；

(2)默会知识是不能以正规形式加以传递的；

(3)默会知识是不能被加以批判性反思的.

虽然默会知识有着不同于明确知识的显著特征，但并不表示两者是对立的，两者的关系可以用下图的冰山模型来表示：

“知识的冰山模型”反映在数学上，说明了数学事实和原理知识的学习只是数学学习的冰山一角，还包含数学活动过程中数学能力的发展，也即默会知识的“激活”，而这种数学活动过程主要体现在用数学的眼光观察问题、用数学知识与方法构建模型、通过由此及彼的联想感悟事物的本质，这是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

1．学会观察，激活默会知识

任何联系实际的科学研究都开始于观察，抽象的数学也不例外，数学中的许多公理来源于对实际的观察.通过观察，使隐性知识转化为显性知识，从而激活默会知识.

例1 比较下列各数的大小：

图1

图2

本题通过观察函数图像的变化特征，对一些表面上似乎不同的事物，能迅速地找出它们之间的相互联系，透过表象抓住本质，这直觉判断的背后体现了科学的洞察力.直观想象也是数学的核心素养，它借助几何直观去感知事物的形态与变化，并利用图形理解和解决数学问题.

2．实践体验，激活默会知识

数学家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式严谨的科学，从这方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性归纳科学.”数学实验使学生在创设的问题情境中探索，在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证以及数学知识的应用，让学生养成参与实践、自主探索、合作交流等积极主动的学习习惯.通过数学实验，使原来较隐蔽的关系浮出水面，从而激活默会知识.

例2 下列两个判断是否正确：

(1)如果一个二面角所在的两个半平面分别与另一个二面角所在的两个半平面垂直，那么这两个二面角的大小相等或互补.

(2)若∠BPC与平面α交于B,C两点，点P在平面α外，点P在平面α内的射影为A，则∠BPC<∠BAC(即空间角小于射影角).

模型1：对于(1)，很多学生受平面几何中“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角的大小相等或互补”的启发，用纸张做出了如图3、图4两个模型，其中γ⊥α,δ⊥β，得出了“命题正确”的判断.

模型2：部分学生考虑到从平面到空间不能作简单的类比，而是以批判的眼光，作更深层次的思考.学生类比教室的门口,做出了如图5的模型，当门转动时，γ与δ组成的二面角的大小是变化的，但它始终能保证γ⊥α,δ⊥β的关系成立，从而得出了“命题错误”的判断.

图3 图4 图5

模型3：对于(2)，多数学生做出了如图6的模型，并得出了“命题正确”的判断.

进一步分析发现，如图7，在ΔPBC中，使PA⊥BC，BA>CA，当PC以PA为旋转轴转动，在点C运动到点C′的过程中，∠CAB由180°逐渐变化到0°，∠CPB也逐渐变化到∠C′PB，容易观察到∠CAB与∠CPB的大小经历了由大于、等于到小于的渐变过程，从而得到了∠CAB与∠CPB的大小关系不确定的正确判断.

图6 图7

本例通过操作实验，以批判的眼光，作出了正确的判断.对于图5和图7的模型，只要我们把问题的真相揭示出来了，学生就能作出正确的判断.这就是说，两个模型在真相没有揭示之前，相对于学生来说是默会知识，通过操作确认，把默会知识激活了，就转化为了明确知识.

作为数学教学的重要方式，数学实验与物理、化学实验相比，不仅需要动手，更需要动脑，学生通过数学实验操作去得到一些猜想或假设，经历了数学结论的发现过程.在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验，学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，并逐渐养成一般性思考问题的习惯.

3．联想发散，激活默会知识

想象以客观的资料为依据，但又不拘泥于实际而有极高的抽象性，它是直觉的深化与外延的拓展，人们凭着想象来猜测研究对象的性质及其变化.客观实际好比空气，想象力好比翅膀，只有两方面紧密结合，才能飞得高、飞得快、飞得远.在分析观察时，由于某事物的启发，联想到其他事物，导致新的发现，是激活默会知识的有效途径.

图8

例3 (2003年全国高中数学联赛一试15题)一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a.折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条折痕.当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.

这个结果显然是正确的，但这个结果肯定有违命题者的初衷，因为它没有说明轨迹的形状及区域范围.那么怎样来得到轨迹的显性表示呢？

揭示本质：在高考模拟训练中，常研究折痕与OA′交点P的轨迹，由对称性可知，PO+PA=OA′=R，即点P的轨迹是以O、A为焦点，R为长轴长的椭圆.设M为折痕上任一点，则MO+MA≥OA′=R，即点M的轨迹是上述椭圆的外部及边界.容易证明OP,AP与折痕的夹角相等，由椭圆的光学性质知，折痕所在直线与椭圆的边界相切.

图9

本例通过联想发散，揭示了折纸模型背后的数量关系，激活了默会知识，得到一般化的数学结论.在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题，理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养了学生的数学创新能力.

无数实践证明：“科学的创新根源于默会的力量”，社会和经济发展的信息化和全球化的趋势，对人的创新精神培养和创造型人才的成长，提出了前所未有的紧迫要求.研究性学习提倡把知识放到一定的情境中，使书本知识重新被“激活”，使知识恢复到鲜活的状态，只有这样的知识，才能激活、唤起学生的内在需要、兴趣和信心，才能提升他们主动探求的欲望.由此可见，默会知识的激活对学生的数学学习不可或缺.

[1]王梓坤，科学发现纵横谈[M].北京师范大学出版社，1993年10月第1版.

[2]叶立军，中学数学教学设计[M].高等教育出版社，2015年6月第1版.

[3]史宁中，数学基本思想18讲[M].北京师范大学出版社，2016年10月第1版.