数学学习任务整体设计的意义与路径

章 飞

（江苏第二师范学院课程与教学研究所，江苏 南京 210013）

在关注学生全面发展、注重核心素养养成的当下，很多学者重视单元教学设计，希望不再局限于具体课时中细节性知识技能的学习，而能整体上进行内容设计。但作为一线教师如何开展整体设计，其意义、可行性以及具体实施策略，还有待进一步研讨。为此，笔者以数学学科为例，谈谈自己个人的一些思考。

一、学习任务整体设计的意义

（一）学习内容本就是一个整体

学习内容本就是一个整体，因此，本就应该整体设计。事实上，学科知识已经通过相互关系而联结形成一个系统。课程标准中内容安排也具有鲜明的整体性。[1]教科书本身也是整体设计的产物，学习是学习者自身知识的一个生长过程。教科书作为学生学习的一个重要素材，自然需要贴合学生的学习历程。因此，基于教学的需要，教科书设计者只能依据学科知识发展的历史和当前学生的认知状况，将作为整体的学科知识分解成若干有序的部分，从而便于学生学习。因此，从外在形式上看，教科书上呈现的知识看似是一个个独立的部分；但实际上，教科书设计者在设计教科书时就已经十分重视整体设计了。笔者所在的课程标准实验教科书编写团队，在教科书编写中讨论最多的就是整体设计。如，同一个重要的知识如何循序渐进地展开，从而在不同的章节有不同的定位；如，某一单元内部知识相互之间是什么关系，顺序如何安排更为自然流畅等。也就是说，教科书设计时已经关注了整体设计，教科书中知识是按照某种逻辑链条连接在一起的，但由于教科书容量限制等原因，难能完全在教科书中外显出各部分之间的联系，因而，这样的整体性成为内隐的，学习者因为意识和能力的限制，没有感受到整体性。高明的教学者应引领学生感知前后知识之间的内在联系，使之成为一个有机的整体。

（二）学习者有感知整体的内在愿望和可能性

学习者有感知全局的内在愿望和心理需要。也许老师们有一种疑惑，“相对于局部而言，整体不是更为复杂吗，感知整体的难度不是更大吗？”自然一次性深入地感知到整体的方方面面，相较于感知局部的某些性质，难度更大。但这里所谓整体感知，并不是一次性将事物感知到位，而是指在对整体有一个概貌性了解的基础上，再行具体研究局部性的问题，即先有“森林”再见树木。[2]即使在解决一个个局部问题的时候，也要具有全局的视野，在全局视野的指导下了解感知事物的路线图，时时明白当下的位置。生活中比较一下儿童俯视纸面走出迷宫与埋头实物迷宫中误打误撞的难易，也不难理解这一点。实际上，著名心理学家奥苏泊尔从理论上已经论述了这一点。他认为，当人们在接触一个完全不熟悉的知识领域时，从已知的较一般的整体中分化细节，要比从已知的细节中概括整体容易一些。[3]再者，实践中也有不少成功的实践案例。例如，十年前符永平老师探索了章前导学课《一元二次方程》，带领学生共同建构了一元二次方程这一章的整体结构，并聚焦第一课时解决了一元二次方程的有关概念。[4]再如，笔者在高中立体几何体积单元的教学中，首先引领学生类比面积的学习脉络自主建构了高中体积单元的学习脉络图，以后各个课时直接根据该图明确当天研究的节点，思考如何将现在的问题转化为图中先前研究过的问题。[5]

（三）整体感知也是重要的学习任务

教学的目的是“不教而教”，教会学生自主地学习，成为优秀的学习者。优秀的学习者，都善于思考“为什么学”“学什么”“怎么学”“不同内容之间什么关系、什么顺序”等本质性问题，而在这些本质性思考中形成对问题的整体把握。即使他们埋首于具体问题的解决中，也会不时跳出具体的问题，登高而望，从而了解当今的进展、未来的目标以及前路可能遇到的困难。学科大家往往是整体感知的高手，做着开疆辟土的工作。而生活中，优秀的领导者，相比常人，更具开阔的视野、全局的思维，善于“站在全局谋局部”。总之，整体认知成为优秀学习者的重要思维品质。而这种思维品质的养成，除了个体因素之外，教育教学也功不可没。因此，学科教学中也应注意渗透、外化这样的全局思维，将整体感知作为重要的学习任务。

（四）核心素养的养成呼吁整体感知

近年来，世界各国都十分重视核心素养的养成。2014年3月，《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确提出制定学生发展核心素养体系的要求。2016年，北京师范大学举行了中国学生发展核心素养研究成果发布会，从文化基础、自主发展和社会参与三个方面，对学生发展的核心素养做出了描述。虽然关于核心素养的名称以及具体内容，还存在一定的争议，但教育需要关注对于学生未来发展起着重要作用的关键性能力，这样的认识是一致的。在这样的背景下，围绕核心素养的养成和关键能力的培养，要求教学不再仅仅局限于具体课时中细节性知识技能的培养，需要上位地思考外化于知识的学生核心素养的养成。这一要求的提出，要求教学工作者从整体上思考教学内容，适度进行课程的重整，如不同学科课程的重整，同一学科课程内部的重整。正是在这样的背景下，单元教学的整体设计成为研究的热点，组织了全国性的基于核心素养的单元教学设计专题研讨[6]，也有部分学校进行了相应的教改实践。总之，核心素养的养成呼吁整体感知。

二、学习任务整体设计的现实选择

学习任务整体设计，在有条件的学校，固然可以在专家的指导下，通过团队的分工合作开展学科课程之间或者学科课程内部的重整工作，在这样的过程中，促进学生整体意识的提升，同时也提高一线教师的课程设计能力。但对多数学校的教师而言，由于专家资源匮乏，兼之教师课程理解与开发能力的不足，自主进行课程重整并不现实。另外，缺乏专家指导的课程重整，质量难能保证，易于造成教科书资源的浪费甚至形成教学资源使用的乱象，危害国家课程的目标达成。毕竟教科书是依据国家课程标准经过专业人士审定过的教学资源，具有很好的规范性、科学性。因此，对绝大多数一线教师而言，可行的做法是：深入研究课程标准和教科书，尝试挖掘并适时地外显教科书内隐的整体意识，使得学习者恒有全局感，但同时又基本保障教学课时的独立，做到能力目标与技能要求的恰当分解，让学习者常存获得感。当然，在自身课程设计能力得到很大提升之后，也可以适度进行课程的重整工作，特别是没有教科书可以参考的阶段（如复习阶段）。因此，对普通教师而言，学习任务整体设计的现实路径如下：

（一）在教科书内隐体系的揭示中，让学习者恒有全局感

正如前面所分析的，教科书设计中已经注重了整体设计，作为教师，需要深入揭示教科书内隐的整体设计，在基本遵循教科书体系的基础上，适时外显整体设计思路，使得学生兼具获得感和全局感。当然，基于学习任务的不同，外显教科书整体设计思路的方法可能是多样的。

1.基于先前经验的类比，自主建构新知学习系统

学习活动中，很多知识与先前学习的知识具有类似的学习内容和结构，因此，学生完全可能基于先前学习经验回顾的基础上自主建构新的学习系统，进而在感知了整个知识系统的基础上聚焦于其中某些起始性问题展开学习。例如，在学习《一元二次方程》这一章之前，学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等相关内容，这些章节内容基本都是按照“概念—解法—应用”的顺序展开的，概念中“元”“次”的概念也具有前后一致性，学习解法时，也都是遵循从简单到复杂的顺序，采用逐步化归的方法解决问题，这些都为学生自主建构一元二次方程这一章的知识奠定了很好的基础，因此完全可以引领学生自主建构知识系统。类似的，分式、二次函数等章均可以采用这样的方式。当然，根据学生的学力状况，一定的引导也是必需的，但这样的引导应是通用的、普适的、指向知识建构能力发展的。例如，可以依次提出这样几个问题：（1）看到章名“一元二次方程”，你想到什么？（2）以前学习过哪些方程？在相关方程学习的章节中，大致学习了哪些内容？大致顺序是什么？（3）你能估计出本章的学习内容和顺序吗？请画出相应的结构图，并与同伴交流；（4）今天开始我们自然就需要细化一元二次方程学习的具体内容，就从其中第一个学习内容“概念”开始吧，你认为什么是一元二次方程，能借助以前学习一元一次方程、二元一次方程的经验给出相应的概念和具体的例子吗？……后面若干课时中，都可以以这节课上生成的章结构图为线索，再逐步细化各个环节的内容。

这种类比并不局限于整章的类比，在具体节、课时的设计中，同样可以关注类比，自主建构本节、本课时的学习系统。此外，类比后学生建构的章、节、课时的具体顺序，也未必完全与教科书一致，可能出现偏差，需要认真分析偏差的合理性，在此基础上思考是否顺应学生的思路进行教学调整。例如，在类比全等三角形判定定理的基础上，探索相似三角形的判定定理时，学生得到的往往并不是一个判定定理，而可能是几个判定定理，而且顺序也未必和教科书中一样，也就是说，学生可能已经获得了关于相似有关定理的整体结构，但为了确认这些定理，自然还需要一个一个地证明，这可能就构成了几个课时的任务。到底先从哪一个开始呢？实际上，没有一定之规。作为静态的教科书，为了方便表述，只能选择某个顺序。但作为动态的教学，可以引导学生不妨按照教科书中的顺序展开，也可以顺应学生的思路展开，但不管采用哪个顺序，学生都经历了整体感知基础上的细化研究过程，形成全局感。

2.基于现实问题的解决，逐步生成新知学习系统

有些学习内容，先前并没有多少类似的经验，类比建构知识系统的可能性很小。面对这些全新的学习内容，建议选择某个现实的问题情境，在现实问题的解决过程中，自然地暴露出研究对象的各个方面，再适当地穿针引线，不难整体感知本章的学习结构。

例如，《数据分析》这一章，主要研究两个问题：数据的平均水平和数据的波动状况，实际上，这是刻画数据的两个不同视角，对于每个视角又有不同的统计量，如刻画数据平均水平的统计量一般有平均数、中位数、众数等，因此，教科书又细分成好几节。教学中，如果直接从第一课时《平均数》开始教学，学生就难能获得对数据的整体感。为此，教学中建议，首先呈现一个原始的现实问题，在这样的问题中直观地展现几组不同的数据，要求学生根据现实需要做出选择，这时学生根据数据的图形直观，可以感受到某组数据“高”一些，某组数据“低”一些，有的数据“摆动”剧烈，有的数据相对“平缓”，这就引出了刻画数据的两个视角：平均水平和波动水平，实际问题也需要研究这两个水平，这样自然搭建了本章的知识系统，下面聚焦于其中某个方面（如平均水平）就顺理成章了。

再如，《变量之间的关系》分为三节，分别聚焦于变量之间关系的三种不同的表示方式：表格、关系式和图像。但对初一学生而言，这是一个新事物，学生不了解为什么有这三种表示方式、相互之间什么关系。因此，可以选择一个情境，其中蕴含着很多变量，学生从这个背景中发现很多变量和常量，思考：哪些量之间有关系？关系大致会是怎样？如何表示？在如何表示的思考中，学生不难从中发现，相对较为简单的，可以用代数式表示；相对复杂一些的，学生暂时还不能严格地描述，但根据实际情境可能感受到一些变化的趋势之类的，有一些直觉，具体如何验证这样的直觉呢，这时自然就会用具体的数值代入，通过具体数值加以体会，这就是表格法；当然，将表格数据直观地反映到图上就形成了图像法。这样，从一个情境问题出发，通过一系列的问题串，层层引导，让学生感受到变量之间关系的丰富性，同时自然地生成了变量之间关系的三种表示方法以及三种表示方式之间的关系，形成了全章的结构。

3.基于本质问题的追问，探究知识系统的内在缘由

上述两种方式，系统建构都比较自然，学生自主建构也好，教师引导建构也罢，相对难度较小。当然，也有一些内容的学习顺序，并非那么自然，对学生而言，在没有外人帮助的情况下，未必能够建构合理的顺序，这时就需要教师层层深入的诱导，以揭示知识系统建构的内在原因。例如，整式的乘除这一章节，学生看到章名，自然想到先学习乘法后学习除法，但教科书在学习乘法之前还有同底数幂的乘法、幂的乘方等内容。实际上，这些都是整式乘法的基础知识，但作为学生，不免疑惑，为什么要学习这些内容呢？为此不妨暴露学生的疑虑，揭示出系统建构的原因。具体的诱导过程大致如下：（1）上学期我们学习了整式的加减运算，今天开始学习整式的乘除，当然先从简单的乘法运算开始了，不妨先写几个整式，并试着写出它们相乘的形式；（2）这么多乘积的形式，你认为哪些比较简单，哪些比较复杂，试着分分类好吗；（3）看来，最简单的就是单项式乘以单项式了，上面的单项式乘以单项式中，你认为应该怎样计算，遇到什么问题？（4）实际上，单项式乘以单项式，可能遇到等问题，这些乘法中两个对象的底数相同，这就是所谓同底数幂的乘法。基于上述交流，学生不难理解教科书的结构（如图1）及内在道理。

类似地，可以引领学生思考，为什么先学习分式的基本性质、分式的乘除，再学习分式的加减。再如，二次函数的图像，教科书一般设计了4—5个课时，为什么设计这几个课时，为什么是这样的顺序，都可以设法引导学生思考。

当然，这样的揭示，最好在学习之前，通过问题引领，让学生首先建立整体感、全局感。如果班级学生学力确实不允许，至少应在学习之后，引领学生思考为什么学习这些内容，为什么选择这个顺序，从而让学生感知到学习系统构成的过程。

（二）在知识体系的重组中，让学生形成全局感

图1

教科书是面向全国所有同龄学生设计的，难能完全贴合自己班级学生的实际。作为优秀教师，自然应该根据自己学生的特点，创造性地使用教科书，甚至也可以打乱教科书体系，重整知识系统。这方面，最为典型的是，全国著名数学特级教师孙维刚的结构教学法。当然，作为普通教师未必有这样的课程驾驭能力、课程开发能力。但应有这样的意识，在自己的能力范围内尽可能进行知识系统的重构，将一些相近的内容进行适当的整合与重构。例如，为了保证普通学生相关知识技能的达成，初中数学教科书中方程的有关知识，被分成一元一次方程、二元一次方程、分式方程以及一元二次方程等不同的章节，每一部分都按照概念、解法、应用这样的顺序展开，但学习过这四章之后的复习阶段，再完全按照章节顺序进行复习，可能就显得重复了，同时也难能揭示其中更为上位的能力要求。实际上，不管哪一类方程，其学习的目的都是解决现实问题。在解决现实问题中，离不开列方程和解方程两个技能，而列方程中内蕴着建模能力，解方程中除了关注解方程的技能外更需关注内蕴的化归思想，为此，可以从另一个维度进行知识统整，如可以分为模型建构、方程求解两个部分进行系统再建构，模型建构关注现实问题的抽象以及数学模型的建构，方程求解关注蕴含其中的化归思想的揭示，实际上，这样的教学更为聚焦于学科核心素养和关键能力。

总之，全人教育的发展要求呼吁学习任务的整体设计，多数一线教师的现实选择是外显教科书内隐的体系。由于学科、年龄、学生等多方面的差异，具体做法自是各异的。本文仅仅抛砖引玉，给出了一些思路与案例，与同行共研。

参考文献：

[1]李晓东.把握主题，整体设计——例说初中数学单元教学设计的基本策略[J].数学教学研究，2016（10）：18-26.

[2]薛红霞，赵学昌，赵国鲜，等.“整体学习”思想下的单元教学设计——以“3.3直线的交点坐标与距离公式”为例[J].中小学数学（高中版），2013（Z1）：6-13.

[3]贾豁然.信息技术环境下中学生数学概念学习的教学策略设计[D].长春：东北师范大学，2006：5-6.

[4]符永平.“一元二次方程章头图导学”课例与互动点评[J].中学数学教学参考，2008（11）：16-39.

[5]马复，章飞.初中数学教学法[M].长春：东北师范大学出版社，2004：106-108.

[6]张肇丰.基于核心素养的单元教学设计[J].上海教育科研，2016（2）：18-21.