图像法在高中数学解题中的运用

陈怿尧 湖北省沙市中学

1 图像法简述

所谓图像法，即是指一种利用图像来表达各种数学问题内在的规律和过程，并对其进行分析，从而更好解答问题的方法。其是数学的一般方法，在不同的数学分支中有着不同的称呼，代数中称其为图像法，解析几何中称其为坐标法。相较于普通代数方法，图像法具有十分明显的直观性特征。因此在解答数学问题的时候，将其引入，就能更好地理解题意、寻找解题思路、避免繁冗运算，对于检验解题结果也很有好处。因此其被广泛运用在方程、不等式、函数等各类数学问题的解答之中。

2 图像法在高中数学解题中的应用

2.1 图像法在高中数学函数相关问题中的应用

图像法在高中数学函数相关问题中的应用主要表现在两个方面，即求函数定义域、值域的问题和函数问题。以下一一举例进行说明。

其一，函数是高中数学中一个十分重要的知识点，高中生对其的学习、理解和记忆就十分倚重于函数图像，因此运用图像法来解答求函数定义域、值域的问题就天然就具有可行性和方便性。

从已经给出的函数公式可以发现，其如果运用代数法进行求解，解题计算过程就会十分复杂繁琐。而且也可以发现，题中的函数公式一旦经过变化，就能够将其转变为斜率公式模式，从而将问题要转变为斜率问题，再通过对函数图像的分析就可以很快地得出最终答案。

由此公式可知，y其实就是A（-2，0）、P（sinx，consx）这两点连线的斜率。

又∵点P在单位圆上，且y≥0，∴当该点处在切点B的时候，斜率为，此时也是斜率最大之时。

图1

又由图可知，当点P在点C的时候，斜率为KAC=0，此时斜率最小。则可知，函数）的值域为

其二，借助图像法，能够很快地解决如求解函数递减区间之类的问题。

图2

由图像可知，函数U=-2x2-4x的递减区间为{x|-2＜x＜1}，又∵函数y= 为减函数，∴根据函数的单调性可知，函数的递减区间为{x|-2＜x＜1}。

2.2 图像法在高中数学求最值问题中的应用

最值问题不仅是高中数学中一个比较重要，高考基本上年年都会有的问题，也是一个综合性比较强、解答难度比较大的问题。其通常以函数、实际问题等形式出现，在解决的时候，就可以尝试引入图像法。

2.3 图像法在高中数学数列相关问题中的应用

数列中等差数列的一般通项公式为an=a1+（n-1）d，其可变形为an=d.n+（a1-d），其与一次函数的一个公式y=kx+b很一定的相似性。由此可知，等差数列的通项公式其实也是一个关于自变量n（n∈N）的函数，其中由于自变量的特殊性，（n，an）其实是一条直线上的点，这一函数的图像其实就是一个点集，其由这条直线上一群孤立的点构成，而这条直线则由一次函数y=d.x+（a1-d）确定。由此可知，等差数列中的公差d其实就是该条直线上前述那些孤立的点所构成的点集的斜率。假设该点集上有另外一点为（m，am），则有公式

3 结束语

图像法是高中数学中解答问题的一种重要方法，其不仅能够帮助高中生更好、更清晰地了解题意，也能帮助简化解题过程、提高解题效率和质量。因此在诸多的如函数、求最值、方程、数列等方面的高中数学问题的解答中有着十分广泛的运用。

[1]贺杰熙.分析函数图像,提升高中数学解题能力[J].文理导航旬刊,2017(2).

[2]姜黄飞,沈顺良.提炼基本图形 巧解最值问题[J].中学数学杂志,2015(4):57-59.

[3]陈莹.立足函数观点 观察数列问题——例谈用函数图像性质解决数列问题[J].中学教研(数学), 2013(9):15-17.