基于小波变换图像放大原理与实现

季祥 刘哲 高超 王浩鑫 武凯璇

一、图像小波分解的原理

小波变换是一个强有力的图像处理工具，令f（x1， x2）

∈L2（R2）表示一个二维信号，x1、x2分别是横坐标和纵坐标，Ψ（x1， x2）表示二维基本小波，二维连续小波定义：

令Ψa，b1，b2（x1， x2）表示Ψ（x1， x2）的尺度伸缩和二维位移，那么：

（1.1）

则二维连续小波变换为：

（1.2）

式中因子

是为了保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一因子。

对二维正交小波变换有其快速算法——Mallat算法，它把小波变换的计算问题转化为小波变换后系数的计算问题：在实际操作中，给出M+1层上的离散采样值{fM+1（m，n）}数据，要计算M层上的小波变换系数，即分解算法的问题，设H={hn}，G={gn}分别对应分解时的小波低通以及高通滤波器，小波计算分解系数的过程为：

其中，cM（m，n）为M层时的小波系数，当M=0时，f（m，n）也是原始图像数据，而LLM+1（m，n）是M+1层的图像数据，是M层的图像数据cM（m，n）进行小波分解后的低频分量数据，{LLM+1（m，n）}是{cM（m，n）}的概况，是{cM（m，n）}的缩略表示，与{cM（m，n）}在轮廓上是相似的，而{LHM+1（m，n）}为{cM（m，n）}进行小波分解后在x方向的概貌和在y方向的高频细节信息，{HLM+1（m，n）}为{cM（m，n）}进行小波分解后在y方向的概貌和在x方向的高频细节信息，{HHM+1（m，n）}为{cM（m，n）}进行小波分解后在x方向和y方向的高频细节信息，它表明沿对角线方向的细节信号。

二、图像小波重构的原理

图像经过小波分解以后，得到它的低频以及高频分量，得到了每个方向上的系数，根据小波分解的第N层的低频系数和和经过修改的从第1层到第N层的各层高频系数，来计算二维信号的小波重构。

Hr和Hc分别代表低通滤波器对系数矩阵cM行和列作用的算子，Gr和Gc分别代表高通滤波器对系数矩阵cM行和列作用的算子，则重构算法为：

（1.5）

其中Hr*是Hr的共軛转置矩阵。

三、图像小波变换放大的原理

小波变换：它是一种新的变换分析的方法，它不仅继承短时傅里叶变换局部的思想，还对其进行了发展，与此同时它又克服了窗口大小不随频率变化等不足，提供了一个能够随频率改变而改变的窗口。它的主要特点就是能够通过变换来突出问题在某些方面的特征，能够完成对时间频率的局部化分析，通过一系列的伸缩以及平移运算，它能够完成对信号逐步实现多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任何细节。例如图像信号，其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差异的细节操作，产生新的像素值的平均值和细节系数表示的图像，这些不同的图像部分分别表示图像分解后的低频分量和高频分量，如图3.1所示，对图像进行一维二进制小波分解得到四个分量，LL1是它的低频分量，HL1、LH1、HH1是它的水平、垂直、对角高频分量。也可以对LL1分量进行进一步的分解。由于一个图像的细节信息主要集中在高频分量中，常规的实现小波放大的思想就是将分解得到的低频分量用原图像替换，得到的三个高频分量用插值法实现放大[17]将他们的大小放大到和原图像一样，然后对四个新的分量进行小波重构。这样就可以得到一个长和宽都放大四倍的图像，除此之外我们也可以对原图像先进行插值法放大然后进行小波分解，将分解得到的高频分量与原图像进行小波重构。

四、基于小波变换图像放大算法设计

1、常规的实现小波放大的方法

（1）选择小波函数采用dwt2函数对原图像进行二进制小波分解，得到它的低频分量以及三个高频分量即水平、垂直、对角分量。

（2）将分解后的低频分量用原图像进行替换，原图像经过二进制小波分解以后，得到的低频分量只有原始图像的四分之一，所以对得到的三个高频分量用双线性插值法将图像的长和宽各放大两倍，这样三个高频分量的大小与原图像的大小就是一致的。

（3）将这四个分量采用idwt2函数进行小波重构，那么得到的将是长和宽都放大四倍的图像。

2、本文涉及的实现小波放大的方法

由于本课题研究的主要是插值法以及基于小波变换的方法来实现图像的放大，因此希望能够将这两项方法结合起来进行实现，常规的实现方法是先进行小波分解。然后原图像替换低频分量，其他高频分量放大到与原图像同样尺寸后进行重构，先用小波分解然后对高频分量插值，那么也可以先对图像进行插值放大，放大得到的图像进行小波分解后得到的高频分量的大小与原图像的大小就是一样的，此时用原图替换低频分量，高频分量不变，然后再进行重构。（1）使用插值法将原图像的长和宽各放大两倍。（2）对放大后的图像采用dwt2函数进行二进制小波分解，得到它的低频以及高频分量。（3）由于第一步已经经过放大，小波分解得到的高频分量与原图像的大小是一样的，将三个高频分量与原图像（作为低频分量）采用idwt2函数进行小波重构，得到放大后的图像。

五、基于小波变换图像放大算法仿真分析

在进行仿真实验时，选取的是分辨率较低的图片，这样放大得到的结果与原图像对比差异会更加明显，在进行比较时。主观上还是主要观察图像的清晰度，放大图像和原图像相比它的细节保留程度。因为常规的实现方法图像放大后是原图像的四倍，所以在本次实验中实现的方法是先采用双线性插值法将行和列各放大两倍，这样得到的两幅比较的图片的大小就是一样大的。