考虑空间利用和温度均匀性的烤盘形状分析

卢劲锴 秦川 夏子婷

摘 要：烤箱是现代家庭厨房中不可或缺的家用电器之一，如何设计一款既能充分利用烤箱内面积、又能尽可能避免烤糊蛋糕的烤箱及配套的烤盘具有重要意义。本文针对烤盘形状进行研究，主要解决了不同形状烤盘上温度分布的计算问题，考虑了在烤盘个数最大和温度分布均匀性最大的条件下的分别对应的烤盘形状。而后综合考虑烤盘个数与温度分布均匀性，给出了烤盘综合得分的计算方法，提出了最优烤盘形状的设计方案。我们综合考虑以上两个目标，通过a-方法确定权数p为0.238。我们定义二者加权后的数值为烤盘综合得分。在假定烤箱形状和大小（S=0.2，W/L=0.8）和烤盘面积（A=0.02）后，我们得到最优烤盘的形状为宽长比为0.87的矩形的最优圆角矩形。

关键词：偏微分方程；有限元；热传导

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.08.184

1 烤盘形状的描述

我们设计的烤盘形状为矩形和圆角矩形。圆角矩形可以经过原矩形由以下变换得到：令原矩形外接圆半径为r1，内切于矩形宽的圆的半径为r2。以矩形的形心为圆心，以r（r1≤r≤r2）为半径做一个圆，该圆与矩形相交的形状即为圆角矩形。此模型涵盖了从扁长矩形到圆形的所有过渡形状。

2 热传导模型的建立

由傅里叶定律得：

（1）

则在Ω域经过一段时间内所产生的热量变化为：

（2）

由傅里叶定律知，温度的传到速率正比与温度梯度，则通过闭合曲面进入欧米伽的热量为：

（3）

其中：F表示热源强度，单位时间单位体积内放出的热量：

（4）

根据热量守恒定理：

令，

即得到標准形式的三维偏微分方程

（5）

在热传导过程达到稳态时，温度不在改变，故：

根据牛顿冷却定律，我们得到边界条件：

（6）

3 模型的求解——有限元

我们采用有限元法（FEM）来计算热平衡方程的数值解。借助PDE偏微分方程工具箱，我们将网格划分为小三角形来初始化网格。通过变分方法，使得每一个节点的误差函数达到最小值并产生稳定解，因此我们得到每个节点上的温度值。在烤盘为矩形时，烤盘四角温度偏高，中心温度最低，边缘温度变化明显。现保持面积不变，将烤盘形状由矩形变为圆形，可以得出，圆形烤盘边缘温度分布均匀。

4 目标规划——求解最优烤盘形状

4.1 空间利用——烤盘个数N

烤箱的宽长比、面积为一个固定的值时，最大烤盘数N随烤盘（面积为A）的宽长比变化而变化。由于原角矩形为矩形（包括正方形）做切圆角变换得到的，因此圆角矩形的最大烤盘数与其原矩形的最大烤盘数相等。即得到以下关系式：

（7）

4.2 温度均匀性σ

在某一个宽长比下，我们忽略了切圆角所改变的面积，仍然假定此时圆角矩形的面积与矩形面积相等，为A。而温度分布的不均匀性随切割圆的半径变化而改变。我们定义温度不均匀系数σ来衡量温度分布的不均匀性，即：

（8）

4.3 多目标求解

为了得到结果，我们以市面上的一种销量较大的烤箱作为参考，取烤箱宽长比为0.8，即宽为40cm，长为50cm。由于最后我们还将对烤箱的宽长比做讨论，因此这并不妨碍此模型的普遍性。用a-方法来确定权重p 为0.238。

由以上约束条件和目标函数，我们得到最终的基于线性加权法的多目标规划模型：

（9）

求解得到宽长比为0.87的矩形所对应的最优圆角矩形为最优解。

5 结论

我们通过改变宽长比和权重，得到每种情况下最优形状烤盘的得分的矩阵，做出等高线图如图1。

其中，横坐标为权重p（0≤p≤1），纵坐标为烤箱W/L（0.2

在给定权重p和W/L的前提下，我们就能通过查表得到最优烤盘形状——既保证布朗尼的烘烤均匀，又不浪费烤箱空间。例如：当烤箱空间容纳量和烤盘温度分布均匀度同等重要时，即p等于0.5，那么同时烤箱的宽度是长度的一半，即W/L等于0.5时，查表可知，最合适的烤盘形状应该是一个宽长比为0.8的最优圆角矩形。

作者简介：卢劲锴（1997-），男，山东青岛人，研究方向：岩土工程。