数学归纳法的初探

付向奎

数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一，是一种用于证明与自然数有关的命题的数学证明方法，典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷序列是成立的，这不仅因为其中大量问题都与自然数有关，更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程。本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述。

1.数学归纳法的定义

数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立。

2.数学归纳法的思想方法

（1）数学归纳法中的归纳思想

对于一个与自然数有关的命题P（n），数学归纳法将命题P（n）理解为一系列问题：P（1），P（2），P（3），…，即P（n）={P（n）|n∈N}。然后有命题P（1），P（2），P（3），…都成立去下决定“命题P（n）成立”，为数学归纳法中的归纳思想。

所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理。命题P（n）是一般的、整体的，而命题P（1），P（2），P（3），…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题P（1），P（2），P（3），…都成立去概括得出命题P（n）成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）。

（2）数学归纳法中的递推思想

在数学归纳法中，除了命题P（1）是直接证明以外，我们通常不直接去证明命题P（2），…成立（除非有必要），而是采取了递推的思想，

，…如此循环往复递推，命题P（2），P（3），…都成立.简单地说就是，由P（1）推得P（2），由P（2）推得P（3），…即P（1），…。这个过程类似于多米诺骨牌，其中归纳递推：起着至关重要的作用，正因为如此，在用数学归纳法证明命题时，有一点是不可回避的，即找出命题P（k）与命题P（k+1）的联系。

3.第一数学归纳法

第一数学归纳法可以概括为以下三步：

（1）归纳奠基：证明n=1时命题成立；

（2）归纳假设：假设n=k时命题成立；

（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

從而就可断定命题对于从所有正整数都成立。

4.第二数学归纳法

第二数学归纳法与第一数学归纳法是等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n=k时命题成立”还不够，而需要更强的假定，也就是说，对于命题P（n），在证明P（k+1）成立，不仅依赖P（k）成立，而且依赖于前面各步成立。这时一般要选用第二数学归纳法。

第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n有关的命题P（n）。如果：

（1）当n=1时命题成立；

在假设命题对于一切正整数n≤k成立时；

若能证明n=k+1时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了。

第二数学归纳法可概括为一下三步：

归纳基础：证明n=1时命题成立；

（2）归纳假设：假设n≤k时命题成立；

（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设。

5.反向归纳法

反向归纳法是数学家柯西最先使用的，原理：设有一个与正整数n有关的命题P（n）。如果：

（1）命题P（n）对于无限多个正整数n成立；

（2）假设n=k时命题成立；

（3）若能证明n=k-1时命题也成立，则这个命题对一切正整数n都成立。

6.数学归纳法解决应用问题

（1）代数恒等式

例1数列的第n项，可以用公式表示，这里是它的首项，是公差。

证明：当时，，式成立

假设当时，式成立，那么当时，有：

当时，式也成立

由此可知，对于所有的自然数，式均成立。

（2）几何方面

例2凸边形的内角和等于

证明：当时，就是三角形内角和为1800，而

即时，命题成立

假设当时，凸边形内角和等于成立

因为凸边形可以添一条对角线而成一个凸k边形与一个三角形，所以凸边形内角和为凸k边形内角与三角形内角的和。

即

也就是说，当时，命题也成立。

（3）排列、组合

例3证明：*

证明：首先，，这是显然的。如果再能证明当的时候，，那么式子*也就可用数学归纳法来证明。

我们假定有个不同的元素，每次取出个元素的组合里，可以分为两类，一类含有，一类不含有，含有的组合数，就等于从里取个元素的组合数，它等于；不含有的组合数，就等于从里取个的组合数，它等于；所以，

下面我们证明式子*

因为当n=1的时候，这个定理是正确的；

假设当n=k-1的时候，这个定理是正确的，那么，

（这里）

所以时，这个定理也是正确的；

故，公式是成立的。