双渗四重介质压力动态分析

2018-04-19姬安召王玉风崔建斌

石油化工应用 2018年3期

姬安召，王玉风，崔建斌

(1.陇东学院能源工程学院，甘肃庆阳 745000；2.陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳 745000)

由于碳酸盐岩受沉积环境与成岩后生作用等不同程度的影响，储层的孔隙复杂，裂缝形态多样，形成多级别、多开度的裂缝与溶蚀缝，该特征导致碳酸盐岩岩性油气藏的渗流规律具有复杂性[1，2]。目前，许多学者对缝洞型碳酸盐岩储层的渗流规律进行了研究。贾永禄等[3]建立了基岩、溶蚀孔洞、微裂缝和大裂缝的四孔单渗模型，并采用Laplace变换和Stehfest数值反演方法进行了求解，但只考虑了微裂缝、基岩和溶蚀孔洞向大裂缝窜流，井筒供液只有大裂缝提供，没有考虑介质间流体的流动。程时清、顾岱鸿、张利军、常学军等[4-7]建立了基岩、溶洞和裂缝三重介质的数学模型，并用Laplace变换等数学方法进行了模型的求解，通过数值反演的方法绘制了三重介质试井曲线，并对曲线的特征进行了分析。赵玉龙等[8]对三重介质油藏非牛顿流体的幂律流规律做了研究。任俊杰等[9]研究斜井三重介质井底压力动态特征，当井斜角大于60°时，早起垂向径向流的压力导数曲线为一条水平线，井斜角小于60°时，与直井的压力动态特征一致。杨坚等[10]对斜井三重介质油藏的单井压力动态特征进行了研究，分别考虑了无限大边界，封闭边界和定压边界的情况。张冬丽等[11-13]研究了缝洞型碳酸盐岩油藏油水两相渗流三重介质的数值试井方法。总结前人研究成果，本文主要针对大裂缝、微裂缝和溶蚀孔洞发育的复杂储层碳酸盐岩油藏，建立以大裂缝和微裂缝向井筒供液的双渗四重介质数学模型，并对采用Laplace变换及含有特征参数的微分方程通解分析的方法进行模型求解，然后采用Stehfest数值反演进行典型曲线的绘制，并对影响典型曲线特征的因素进行分析。

1 四孔双渗物理模型

储层由溶蚀孔洞、大裂缝、微裂缝和基岩组成，储层中的大裂缝和微裂缝为流体的流动提供了渗流通道，溶蚀孔洞和基岩提供了主要的储存空间。该模型描述了大裂缝和微裂缝共同向井筒供液，溶蚀孔洞和微裂缝的流体向大裂缝发生窜流，同时基岩的流体也向溶蚀孔洞发生窜流，具体物理模型(见图1)。

为了简化大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞和基岩渗流的数学模型，基本假设为：油井以定产量生产；储层流体和储层岩石微可压缩，并且为单相流体；储层流体在这四种介质中的流动符合达西渗流规律；考虑井筒储集效应和表皮效应的影响；忽略重力和毛管力的影响；地层的启动压力很小，忽略不计；每一种介质的渗透率、孔隙度和压缩系数相互独立；流体只通过大裂缝和微裂缝流向井筒，溶蚀孔洞和基岩作源。

图1 四孔双渗模型示意图

2 四孔双渗数学模型建立与求解

2.1 模型的无因次渗流微分方程

基于以上物理模型，根据储层流体的运动方程、质量守恒方程和状态方程，建立法定单位下的无因次大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞与基岩连通情况下的渗流数学模型。

无因次大裂缝渗流微分方程：

无因次微裂缝渗流微分方程：

无因次溶蚀孔洞渗流微分方程：

无因次基岩渗流微分方程：

为了简化模型的求解，无因次参数定义如下：无因次半径的定义：

无因次时间的定义：

无因次压力的定义：

式中：下标 j=F，f，v，m；F-大裂缝；f-微裂缝；v-溶蚀孔洞；m-基岩。

无因次井储系数的定义：

不同介质的弹性储容比的定义：

不同介质之间的窜流系数：

式中：下标 k=fF，vF，vf，mv；分别表示微裂缝向大裂缝窜流、溶蚀孔洞向大裂缝窜流、溶蚀孔洞向微裂缝窜流和基岩向溶蚀孔洞窜流，其对应的下标i=f，v，v，m。

渗透率比值的定义：

式中：r-井距储层中任意位置的距离，m；kj-四种介质的渗透率，μm2；μ-储层流体的黏度，mPa·s；pj-四种介质储层流体的压力，MPa；αk-形状系数，m-2；φj-四种介质的孔隙度，无量纲；Ctj-四种介质的综合压缩系数，MPa-1；t-时间，h。

无因次初始条件为：

无因次井底定产条件为：

无因次表皮效应的内边界条件为：

无因次无限大外边界条件为：

无因次封闭外边界条件为：

无因次定压外边界条件为：

式中：rDe-无因次外边界半径。

为了求解(1)～(11)式定解微分方程，对(1)～(11)式的无因次时间tD变量进行Laplace变换，在Laplace空间的变量用z表示，压力用p¯表示。

2.2 微分方程特征参数求解

对溶蚀孔洞和基岩渗流微分方程(3)和(4)式进行Laplace变换，同时考虑(5)式的初始条件，经过Laplace变换可化简为代数方程，在代数方程中，用大裂缝和微裂缝的Laplace空间无因次压力分别表示基岩和溶蚀孔洞的压力。将这两个方程代入大裂缝和微裂缝Laplace空间的渗流微分方程中，通过整理可得：

根据文献[8]，在无限大外边界的条件下方程(12)和(13)式的通解为：

式中：K0(σrD)-修正的零5第二类Bessel函数；σ-特征参数；A2、B2-满足内边界的待求参数。

将(14)和(15)式分别代入到(12)和(13)式，可得到关于A2和B2的线性方程组。由实际问题可知，A2和B2是存在的，则齐次线性方程组的系数矩阵的行列式的值为0。通过整理可得关于特征参数σ的方程为：

通过(16)式可知特征参数σ有两个实数解σ1和σ2，根据线性微分方程解的叠加原理，这两个特征参数共同构成了微分方程的解，则微分方程的通解(14)和(15)式又可表示为：

式中：A1、B1、A2和B2为满足内边界的待求参数。

将(17)和(18)式代入到(12)和(13)式，结合修正Bessel函数 K0(x)的导数，可得关于 A1、B1、A2和 B2四个未知参数的两个方程组。这两个方程组中含有修正Bessel函数 K0(σ1rD)和 K0(σ2rD)，由于 σ1和 σ2是互异的，则K0(σ1rD)与K0(σ2rD)是线性无关的，要是方程组有解，则K0(σ1rD)与K0(σ2rD)的系数之和必须为0，通过整理可得 A1、B1、A2和 B2四个未知参数关系[14]。则Laplace空间微裂缝渗流微分方程的通解为：

2.3 无限大地层模型的解

根据(17)和(19)式可知，要得出微分方程的特解，则需要两个条件即可。对于无限大地层而言，外边界条件在方程通解给出的过程中已经使用，现在将(17)和(19)式代入到内边界定产条件(6)式和表皮效应条件(7)和(8)式，通过整理可得：

式中：

通过(20)式的求解，可得满足内边界条件的参数A1和A2。根据获得Laplace空间的解析解，采用Stehfest数值反演方法可得实空间的井底压力。

2.4 封闭边界与定压边界模型的解

对于封闭边界和定压边界求解过程与上述思路相同，只是受边界条件的影响，方程的通解形式不同。限于篇幅有限，这里只给出本文求解的结果。

井底压力的表达式为：

式中：特征参数σ1和σ2由(16)式确定，方程系数A1、A2、A3和 A4由下列方程组确定：

对于封闭边界而言，其系数为：

对于定压边界而言，只有系数a11、a12、a13和a14不同，其他同封闭边界：

3 压力动态分析

3.1 流动5段的划分

双渗四重介质油藏试井曲线划分为5个5段(见图2)：AB段是早期的井储5段，曲线的特征为45°线，井储结束后，井底压力导数曲线出现峰值，之后向下倾斜，这个特征是表皮效应的响应特征；BE段出现了3个“凹子”是流体在介质间窜流的结果，BC段是微裂缝和溶蚀孔洞向大裂缝的窜流5段，CD段是溶蚀孔洞向微裂缝的窜流5段，DE段是基岩向溶蚀孔洞的窜流5段；EF段是边界的响应特征，对于井底压力导数曲线而言，在无限大边界中表现为水平的0.5线，在封闭边界中表现为上倾的45°线，在定压边界中导数曲线下降很快。图2中的无因次井储系数CD为1.0，表皮系数S为5.0，渗透率比κ为0.95，基岩弹性储容比ωm为0.7，溶蚀孔洞弹性储容比ωv为0.2，微裂缝弹性储容比ωf为0.08，大裂缝弹性储容比ωF为2×10-3，微裂缝向大裂缝窜流系数λfF为1×10-4，溶蚀孔洞向大裂缝窜流系数λvF为1×10-6，溶蚀孔洞向微裂缝窜流系数λvf为8×10-7，基岩向溶蚀孔洞窜流系数 λmv为 1×10-8，封闭边界和定压边界的无因次半径rDe为2×10-4。

图2 不同边界井底压力与压力导数曲线

3.2 弹性储容比(ω)

图3 弹性储容比对压力导数曲线形态的影响

图4 窜流系数对压力导数曲线形态的影响

弹性储容比是用来描述大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞和基岩的弹性储容能力相对大小的物理量。弹性储容比主要影响试井曲线“凹子”的深度和宽度。当大裂缝弹性储容比ωF逐渐增大时(见图3)，第1个“凹子”就逐渐变浅且变窄，同时对第2个“凹子”也变浅且变窄，但影响较小，对第3个“凹子”基本没有影响。图3中的参数取值与图2中参数取值一致。

图5 渗透率比对压力导数曲线形态的影响

3.3 窜流系数(λ)

在双渗四重介质油藏中，大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞与基岩之间存在着流体交换，窜流系数就是用来描述四种介质间流体交换的物理量，它反映介质间窜流的能力。窜流系数的大小决定压力导数曲线的过渡段“凹子”出现的时间，同时窜流系数也能影响到“凹子”的深度及宽度。当微裂缝向大裂缝窜流系数逐渐减小时，“凹子”出现的时间越晚，并且“凹子”越宽越深(见图4)。图4中的溶蚀孔洞向大裂缝窜流系数λvF为1×10-6，当微裂缝向大裂缝窜流系数与λvF相等时，这表明微裂缝与溶蚀孔洞向大裂缝窜流的能力是一样的，压力导数曲线表现出三种介质的性质，即在图4中出现了两个“凹子”。

3.4 渗透率比(κ)

渗透率比主要影响压力导数曲线的第1个“凹子”的深度(见图5)，渗透率比与大裂缝弹性储容比都是决定第1个“凹子”的深度，但渗透率比越大，第1个“凹子”越深。若渗透率比等于0.5，表明大裂缝和微裂缝的渗流能力是一致的，二者可以看作是一种介质，这时就可以简化为三重介质，则压力导数曲线由原来的三个“凹子”变为两个“凹子”。