开拓学生思维 打造有效课堂

陈银辉 范正鑫

[摘 要]提升课堂教学的有效性必须将精讲精练落到实处.一题多解是开拓学生思维和提高学生兴趣的有效方法，值得教师备课时关注.

[关键词]开拓思维；一题多解；精讲精练；有效课堂

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002301

高中数学新课程标准指出：高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.通过解题活动来提高学生的思维能力是数学教学的重要途径.高三复习时间紧，课堂容量大，传统的做法是搞题海战术，其结果是学生苦不堪言，而且收效甚微.这就迫切要求教师在提高数学课堂的有效性上狠下功夫，做到精讲精练.下面以高三复习中的一道习题为例，谈谈如何开拓学生思维，拓宽学生解题思路，提高学生能力.

引例：已知x>0，y>0，1x+2y=1

，求x+2y的最小值.

解法一：x+2y=（x+2y）·1=（x+2y）（1x+2y）=

5+2yx+2xy

≥5+2

2yx×2xy

=9

.

当且仅当2yx

=2xy

，即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.

评析：此处引用了“1”的附乘功能，进而利用基本不等式求最值.处理起来简洁明了，更便于学生掌握.

解法二：由

1x+2y=1

得到

y=2xx-1（x>1）.

∴x+2y=x+4xx-1

=x+4（x-1）+4x-1

=（x-1）+4x-1+

5≥2（x-1）×4x-1+5=9

.

当且仅当x-1=4x-1

，即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.

评析：通过消元的方法，将二元问题转化为一元问题，然后结合不等式、分离常数等知识，把问题处理得自然流畅，非常简单.但是要注意不等式运用的条件，即“x>1”这一隐含的条件.

解法三：由

1x+2y=1

得到y=2xx-1（x>1）

.∴x+2y=x+4xx-1

=x2+3xx-1.

令f（x）=x2+3xx-1（x>1）

.

下面求函数f（x）的最小值.

f′（x）=x2-2x-3（x-1）2

=（x-3）（x+1）（x-1）2

.

令f′（x）=0得到x=3.

当x∈（1，3）时，f′（x）<0；当x∈（3，+∞）时，f′（x）>0.

所以當x=3时函数f（x）取得最小值.

又f（3）=9，故f（x）最小值为9，即x+2y的最小值为9.

评析：此处运用函数思想，将问题转化为求函数的最值，结合导数知识，发挥了导数求最值的功能，从而化难为易，体现了转化与化归思想在解题中的应用.

解法四：将1x+2y=1

变形为（x-1）（y-2）=2，（x>1，y>2），

则x+2y=（x-1）+2（y-2）+5≥22（x-1）（y-2）+5=9

.

当且仅当x-1=2（y-2），即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.

评析：笔者在教学中发现，解法四学生能接受而且处理起来也比较方便，但是普遍反映想不到.笔者就顺水推舟，请大家观察：变形前

“1x+2y=1

”与变形后“

（x-1）（y-2）=2（x>1，y>2）”

这两个等式之间有什么规律？然后笔者又给出“2x+

8y=1”让学生自己完成变形.很快学生就得到了变形结果“

（x-2）（y-8）=16（x>2，y>8）”

.通过探究，学生终于发现了规律：

ax+by=k（a>0，b>0，k>0）

可以变形为

（x-ak）（y-bk）=abk2

，可以求mx+ny（m>0，n>0）这一类问题的最值.

本题的解法还有很多，比如可以令t=x+2y，则x=t-2y代入1x+2y=1

转化为二次函数问题，也可以根据条件“

x>0，y>0，1x+2y=1

”进行三角换元，令

1x=cos2θ，2y

=sin2θ，θ∈（0，π2）

，然后转化为三角函数最值问题等.

变式训练：

1.已知x>0，y>0，1x+9y=1，求x+y的最小值.

2.已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求2x+y的最小值.

综上可知，学生是课堂学习的主体，学生的认知需要才是最重要的.教师在解题教学过程中需要不断启发学生探究和思考，发展学生思维能力，增强学生学习数学的兴趣，从而提高课堂教学的有效性.

（责任编辑 黄桂坚）