关于几乎s-半置换子群

贾　君，黄建红

(1.南通师范高等专科学校数理系，江苏 如皋 226500； 2.江苏师范大学数学与统计学院，江苏 徐州 221116)

1　预备知识

本文所有的群都是有限群.群G的一个子群H称为在G中s-置换的，如果H与G的每个Sylow子群可换.[1]多年来，s-置换性被国内外学者进行了广泛推广.[2-4]特别地，称子群H在G中为s-半置换的，如果对于G的任意Sylowp-子群P，只要(p，|H|)=1，就有PH=HP.[2]2015年，文献[5]将s-半置换性推广为几乎s-半置换性：称群G的一个子群H在G中几乎s-半置换的，如果存在G的一个s-置换子群T使得HT在G中s-置换且H∩T≤HssG，其中HssG是包含在H中的G的最大的s-半置换子群.如果G的每个p-主因子都是中心的，则称G是p-幂零群.容易证明如果G有正规Hallp′-子群，则G是p-幂零的.利用Sylow子群的极大与极小子群的广义s-置换性，可得到p-幂零群的许多新刻画.

本文主要利用Sylow子群的2-极大子群和2-极小子群的几乎s-半置换性，研究了有限群G的p-幂零性，进一步推广了已有的一些结果.

引理1[5]设K是G的几乎s-半置换子群，则有下列结论：

(1) 假设K≤L≤G，则K为L的几乎s-半置换子群；

(2) 假设K为G的p-子群，N是G的正规子群，且N≤K≤G，则K/N为G/N的几乎s-半置换子群；

(3) 假设K为G的p-子群且N为G的正规p′-子群，则KN/N为G/N的几乎s-半置换子群；

(4) 假设K≤L≤G且L在G中s-置换，则L中存在G的一个s-置换子群T使得KT在G中几乎s-半置换，且K∩T≤KssG.

引理2[6]设G是一个与A4无关的有限群，p是G的阶的最小素因子，N是G的一个正规子群满足G/N是p-幂零的.如果p3不整除N的Sylowp-子群的阶，则G是p-幂零群.

引理3[2]设K在G中s-半置换，则有下列结论：

(1) 假设K≤L≤G，则K为L的s-半置换子群；

(2) 假设K为G的p-子群且N是G的正规子群，则KN/N为G/N的s-半置换子群；

(3) 假设K≤Op(G)，则K在G中s-置换.

引理4[7]设P是G的一个p-子群.如果P在G中s-置换，则Op(G)≤NG(P).

引理5[1]设K是G的s-置换子群，则：

(1) 如果N为G的正规子群，则KN/N在G/N中s-置换；

(2)K在G中是次正规的.

引理6[8]如果H是G的一个s-半置换子群，则H在G中的正规闭包是可解的.

引理7如果G是2-幂零的，则G是可解的.

引理8[9]设T是G的s-置换子群，则T/TG是幂零的.

引理9[10]假设U，V，W是G的子群，则下列条件等价：

(1)U∩VW=(U∩V)(U∩W)；

(2)UV∩UW=U(V∩W).

引理10[10]如果T是群G的一个次正规子群，N是G的一个极小正规子群，则N≤NG(T).

引理11[11]极小非p-幂零群为极小非幂零群.

引理12[11]G为极小非幂零群，则G有如下特征：

(1)G=PQ，P为G的正规Sylowp-子群.

(2)P/Φ(P)为G/Φ(P)的极小正规子群.

(3) 如果p>2，则expP=p；如果p=2，则expP≤4.

(4)Φ(P)≤Z(G).

2　主要结果

定理1设p为群G的阶的一个最小素因子，G存在一个正规子群K满足G/K为p-幂零群.假设K的某个Sylowp-子群P的所有2-极大子群都在G中几乎s-半置换且G与A4无关，则G是p-幂零群.

证明假设定理结论不正确，(G，K)为满足|G||K|极小的反例，分几步证明.

(1) 由引理2，|P|≥p3，这说明P的任意2-极大子群P2≠1.

(2)Op′(K)=1.

假设Op′(K)≠1.显然POp′(K)/Op′(K)是K/Op′(K)的Sylowp-子群，且K/Op′(K)为G/Op′(K)的正规子群.由同构定理，(G/Op′(K))/(K/Op′(K))也是p-幂零的.由引理1结论(3)，POp′(K)/Op′(K) 的所有2-极大子群都在G/Op′(K)中几乎s-半置换，故(G/Op′(K)，K/Op′(K))满足定理的条件.由(G，K)的选择知G/Op′(K)为p-幂零的，从而G为p-幂零的，矛盾.

(3)K=G.

由引理1结论(1)，K的Sylowp-子群P的所有2-极大子群在K中几乎s-半置换.假设K是G的真子群，则(K，K)满足定理的条件.由(G，K)的选取可得K为p-幂零的，从而Op′(K)是K的正规Hallp′-子群.由步骤(2)知Op′(K)=1，故K=P.既然G/P为p-幂零群，可设E/P是G/P的正规p-补.由Schur-Zassenhaus定理，存在E的Hallp′-子群Ep′，使得E=PEp′.由引理1，E的Sylowp-子群P的所有2-极大子群在E中几乎s-半置换，则(E，E)满足定理的条件.由(G，K)的选取表明E为p-幂零的，从而Ep′是E的正规子群.注意到Ep′是E特征子群而E又是G的正规子群，故Ep′也是G的正规Hallp′-子群，故G是p-幂零的.这个矛盾说明K=G.

(4)G存在唯一的极小正规子群N满足G/N为p-幂零群.

设N为G的一个极小正规子群，考虑商群G/N.既然P是G的Sylowp-子群，则PN/N也是G/N的Sylowp-子群.如果p3不整除PN/N的阶，则引理2表明G/N是p-幂零群.不妨设PN/N的阶大于等于p3.若M2/N是PN/N的任意2-极大子群，则M2=M2∩PN=(M2∩P)N.令P2=M2∩P，因为p2=|PN/N：M2/N|=|PN：(M2∩P)N|=|P：M2∩P|=|P：P2|，所以P2是P的2-极大子群.由定理假设可知P2在G中几乎s-半置换，于是存在G的一个s-置换子群T满足P2T在G中s-置换，且P2∩T≤(P2)ssG.由引理5结论(1)，TN/N和P2TN/N都是G的s-置换子群，容易证明(|N∩P2T：N∩T|，|N∩P2T：N∩P2|)=1，故(P2∩N)(T∩N)=N∩P2T.

利用引理9，(P2N/N)∩(TN/N)=(P2N∩TN)/N=(P2∩T)N/N≤(P2)ssGN/N.由引理3结论(2)知(P2)ssGN/N在G/N中s-半置换.因此PN/NM2的所有2-极大子群都在G/N中几乎s-半置换，从而G/N满足定理的假设.由G的极小选择知G/N是p-幂零群，如果G还有另外一个极小正规子群R，则同样有G/R是p-幂零群，从而G=G/N∩R是p-幂零群.此矛盾表明G的极小正规子群是唯一的.

(5)Op(G)=1.

如果Op(G)≠1，则由步骤(4)知N≤Op(G).如果Φ(G)≠1，则N≤Φ(G).因为G/Φ(G)同构于(G/N)/(Φ(G)/N)，而G/N为p-幂零群，故G/Φ(G)也为p-幂零群.由所有p-幂零群构成的群类是一个饱和群系，故G为p-幂零群，矛盾.因此Φ(G)=1，G存在一个极大子群M满足G=NM，且M∩N=1.由于Φ(Op(G))≤Φ(G)=1，故Op(G)是交换子群，进一步有Op(G)∩M正规于Op(G)M=G.显然N不可能包含在Op(G)∩M中，故Op(G)∩M=1，从而N=Op(G).易知P=P∩NM=N(P∩M)，因为P∩M是P的真子群，所以存在P的一个极大子群P1使得P∩M≤P1

(a) 首先证明N不能包含在T中.若N≤T，于是N∩P2=N∩P2∩T≤N∩(P2)ssG≤N∩P2，从而N∩P2=N∩(P2)ssG.注意到(P2)ssG在G中s-半置换，对于G的任意Sylowq-子群Q(q≠p)，N∩(P2)ssG=N∩(P2)ssGQ正规于(P2)ssGQ.显然N∩P2正规于P，于是N∩P2是POp(G)=G的正规子群.注意到N的极小正规性，如果N=N∩P2，则N≤P2≤P1，矛盾.从而N∩P2=1，且

|N|=|N/N∩P2|=|NP2/P2|≤|NP1/P2|=|P/P2|=p2.

注意到G/N是p-幂零的，由引理2可知G是p-幂零的，矛盾.

(b) 其次证明T是一个不等于1的p-子群.如果T=1，则P2T=P2在G中s-置换.由引理4，Op(G)≤NG(P2).又P2正规于P，所以P2是G的正规子群.由步骤(4)，N包含在P2中或者P2=1.如果N包含在P2中，则N必然包含在P1中，矛盾.如果P2=1，则P的阶为p2，由引理2知G是p-幂零的，矛盾，于是T≠1.如果TG≠1，由步骤(4)知N≤TG≤T，这与结论(a)矛盾.假设TG=1，既然T是G的s-置换子群，由引理8知T是幂零的.设T的正规Hallp′-子群为Tp′，则Tp′正规于T.由引理5结论(2)，T次正规于G，Tp′也次正规于G，从而Tp′≤Op′(G)≤1，故T是一个p-子群.

显然P2T=P2或者P2T=P1或者P2T=P.但不管哪种情况，P2T都正规于P.由引理4，Op(G)≤NG(P2T)，所以P2T正规于G=POp(G)，P2T≤Op(G)=N.由步骤(4)知N≤P2T，于是N=P2T=Op(G).如果P2T=P2或者P1，则N≤P1，矛盾.如果P2T=P，则N=P，根据引理10，P≤NG(T).由引理4，Op(G)≤NG(T)，所以T正规于G必有N≤T.这与结论(a)矛盾.

(6)N是可解群.

取P的一个2-极大子群P2，使得P2正规于P.由定理假设，P2在G中几乎s-半置换，从而存在G的一个s-置换子群T使得P2T在G中s-置换，且P2∩T≤(P2)ssG.如果(P2)ssG≠1，则由步骤(4)知N≤((P2)ssG)G，再由引理6，N是可解群.下面假设(P2)ssG=1，从而P2∩T=1，这表明p3不整除T的Sylowp-子群，利用引理2可知T应该是p-幂零的，Op′(T)就为T的正规Hallp′-子群.既然T是s-置换子群，则引理5结论(2)表明T次正规于G，于是Op′(T)也次正规于G，Op′(T)≤Op′(G)=1，T是p-子群，进而P2T是G的一个s-置换p-子群.由引理4容易证得P2T是G的正规子群且P2T≠1，由步骤(4)，N包含在P2T中，故N可解.

综上，如果p>2，则G是奇数阶群，Feit-Thompson定理表明G是可解的，这与Op′(G)=Op(G)=1矛盾.如果p=2，G/N是2-幂零的，由引理7得G/N可解，从而G也可解，矛盾.

推论1[12]设p为群G的阶的一个最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的所有2-极大子群都在G中s-半置换且G与A4无关，则G是p-幂零群.

称群G的一个子群H在G中弱s-半置换，如果存在G的一个次正规子群T，使得G=HT且H∩T≤HssG，其中HssG是包含在H中的G的最大的s-半置换子群.如果H是G的p-子群，则显然当H在G中弱s-半置换时必有H在G中几乎s-半置换.于是有下面的推论：

推论2[13]设p为群G的阶的一个最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的所有2-极大子群都在G中弱s-半置换且G与A4无关，则G是p-幂零群.

推论3如果群G的任意Sylow子群的2-极大子群都在G中几乎s-半置换且G与A4无关，则G具有超可解型Sylow塔.

证明设p是群G的阶的最小素因子，由定理1知G是p-幂零群.设Gp′是G的正规Hallp′-子群，则引理1结论(1)表明Gp′的任意Sylow子群的2-极大子群都在Gp′中几乎s-半置换.归纳得到Gp′具有超可解型Sylow塔，从而G也具有超可解型Sylow塔.

定理2设p为群G的阶的一个最小素因子，G存在一个正规子群K满足G/K为p-幂零群.假设K的每个p2阶子群在G中几乎s-半置换，则G是p-幂零群.

证明假设定理结论不正确，G为极小阶反例，分以下几步证明：

(1)G有一个正规Sylowp-子群P，p3整除P的阶且P/Φ(P)为G/Φ(P)的极小正规子群.

设L为G的任意一个真子群，则L/L∩K同构于LK/K≤G/K，而G/K为p-幂零群，因此L/L∩K为p-幂零群.如果p3不整除L∩K的Sylowp-子群的阶，则由引理2知L是p-幂零的.下面假设p3整除L∩K的Sylowp-子群的阶，则由定理条件知L∩K的任意p2阶子群在G中几乎s-半置换，由引理1结论(1)，L∩K的所有p2阶子群在L中几乎s-半置换.于是L满足定理的条件，由G的极小选择知L为p-幂零群，G为极小非p-幂零群.再由引理11，G也是极小非幂零群，G满足引理12的结论.

(2)P的每个p2阶子群在G中几乎s-半置换.

显然(P∩K)Φ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正规子群，注意到P/Φ(P)为G/Φ(P)的极小正规子群，必有(P∩K)Φ(P)=Φ(P)或者(P∩K)Φ(P)=P.如果(P∩K)Φ(P)=Φ(P)，则P∩K≤Φ(P).因为G/K和G/P为p-幂零群，所以G/Φ(P)是p-幂零群.考虑到Φ(P)≤Φ(G)，则G/Φ(G)是p-幂零群，因为所有p-幂零群构成的群类是一个饱和群系，故G为p-幂零群，矛盾.从而(P∩K)Φ(P)=P，P∩K=P，导致P≤K.由定理条件，P的每个p2阶子群在G中几乎s-半置换.

(3)P有一个子群满足|H|=p2，且H不包含在Φ(P)中.

如果Φ(P)=1，结论(3)显然成立.下面假设Φ(P)≠1.如果|P|=p3，则P存在阶为p2的极大子群.因为P不是循环群，所以P至少存在两个阶为p2的极大子群P1和P2.如果P1和P2都包含在Φ(P)中，则P=P1P2≤Φ(P)，矛盾.下面假设|P|大于p3.取在P中但不在Φ(P)中的一个元素x，再取Φ(P) 中的一个p阶元素a，因为Φ(P)≤Z(G)，所以〈x〉〈a〉≤G.由引理12结论(3)，x的阶为p或者4.如果x的阶为4，取H=.如果x的阶为p，则|〈x〉〈a〉|≤p2.如果|〈x〉〈a〉|=p，则〈x〉=〈a〉，矛盾.因此|〈x〉〈a〉|=p2，可取H=〈x〉〈a〉.

综上，由引理1结论(4)，P中存在G的一个s-置换子群T满足HT在G中s-置换，且H∩T≤HssG.因为P/Φ(P)是交换的，所以TΦ(P)/Φ(P)正规于P/Φ(P)，由引理5结论(1)，TΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置换子群.

利用引理4，Op(G/Φ(P))≤NG(TΦ(P)/Φ(P))，从而TΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P).注意到P/Φ(P)为G/Φ(P)的极小正规子群，必有TΦ(P)=P或者TΦ(P)=Φ(P).如果TΦ(P)=P，则T=P，从而H=HssG.，再由引理3结论(3)，H在G中s-置换.由引理5结论(1)知HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置换子群.如果TΦ(P)=Φ(P)，则有HΦ(P)/Φ(P)=HTΦ(P)/Φ(P).因为HT在G中s-置换，所以由引理5结论(1)，HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-置换子群.注意到HΦ(P)/Φ(P)正规于P/Φ(P)，所以引理4表明HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正规子群，故HΦ(P)=P，H=P，这与步骤(1)矛盾.

推论4如果群G的任意Sylow子群的2-极小子群都在G中几乎s-半置换且G与A4无关，则G具有超可解型Sylow塔.

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