与整数有序分拆的分部量1相关的一些恒等式

郭 育 红

(河西学院数学与统计学院，甘肃 张掖 734000)

1　预备知识

在经典的分拆理论中，MacMahon[1]给出了正整数有序分拆的定义，从而正整数n被表示成了若干正整数的有序和，其中每一项被称为该分拆的分部量.例如，可将4有序分拆成4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1；而无序分拆有4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1.

图1　14的有序分拆(6，3，1，2，2)的zig-zag图

有序分拆的zig-zag图：将有序分拆的每个分部量λ按照顺序用含有λ个点的行表示，同时要求下一行的第一个点与上一行的最后一个点对齐.分拆14的有序分拆(6，3，1，2，2)的zig-zag图如图1所示.

利用有序分拆的zig-zag图可得到有序分拆的共轭分拆，即将zig-zag图从左到右按照列读得到的分拆就是原分拆的共轭分拆.例如，图1按列读产生的有序分拆(1，1，1，1，1，2，1，3，2，1)就是(6，3，1，2，2)的共轭分拆，它们互为共轭.Munagi[2-3]介绍了包括zig-zag图在内的五种有序分拆的共轭分拆的求法.

分拆恒等式的研究一直是分拆理论中有趣而内容丰富的一个课题，近年来涌现许多研究结果.[4-10]2015年，Munagi和Sellers[11]指出：如果正整数的一个有序分拆中分部量λ连续出现j次，则称分部量λ出现Inplacej次.该文还给出了关于有序分拆的若干Inplace恒等式.

定理1.1[11]设n≥1，正整数n的偶分部量出现Inplace偶数次的有序分拆数等于正整数n不含分部量≡2(mod 4)的有序分拆数.

定理1.2[11]设n≥1，正整数n的奇分部量出现Inplace偶数次的有序分拆数等于正整数2n的奇分部量有两种形式的有序分拆数.

文献[11]将分部量λ有两种形式表示成：λ，λ*，同时将上述恒等式中分部量做了推广，得到了更一般的Inplace分拆恒等式.

本文考虑正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆问题，发现正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于第2n+1个Fibonacci数F2n+1.于是结合Fibonacci数与正整数的一些有约束的有序分拆之间的关系，得到了关于正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数与正整数n的分部量是奇数的有序分拆数，分部量是1或2的有序分拆数，分部量大于1的有序分拆数之间的一些恒等式.

2　主要结果

关于正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆，本文沿用文献[11]中记号，即用1与1*表示分部量1的两种形式.

定理2.1设n≥1，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于2n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆数.

证明类似于文献[11]中的证法，对于正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆，作如下变换：将每个大于1的分部量λ变换成2λ，把没有带*号的分部量1变换成2，把带*号的分部量1*变换成(1，1).于是得到了正整数2n的不含大于1的奇分部量，而分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆.显然，上述变换是可逆的，故结论成立.

这里给出该递推关系的一个组合双射证明.

证明将n的分部量1有两种形式的有序分拆和n-2的分部量1有两种形式的有序分拆分成两类：

(A)n的有序分拆中右端分部量是1或1*；

(B)n的有序分拆中右端分部量是h，h>1以及n-2的有序分拆.

将分部量是1或2的有序分拆称为1-2有序分拆，分部量是奇数称为奇有序分拆.

引理2.1[12]正整数n的1-2有序分拆数等于Fn+1.这里Fn是第n个Fibonacci数.

引理2.2[12]正整数n的奇有序分拆数等于Fn.这里Fn是第n个Fibonacci数.

引理2.3[12]正整数n的分部量大于1的有序分拆数等于Fn-1.这里Fn是第n个Fibonacci数.

考虑关于正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆与1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量大于1的有序分拆之间的关系，得到下面几个恒等式.

定理2.3设n≥1，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于2n的1-2有序分拆数.

证明将n的分部量1有两种形式的有序分拆分成以下两类：

(A)n的有序分拆中分部量都是1；

(B)n的有序分拆中分部量至少有一个不是1.

对于(A)类中的任意一个有序分拆，由定理2.1证明中给出的对应关系，可知这类分拆对应着2n的1-2有序分拆中分部量1出现Inplace偶数次的分拆.

定理2.4设n≥1，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于2n+1的奇有序分拆数.

这里仍给出该恒等式的组合证明.

证明由定理2.3的证明知道，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆对应着2n的1-2有序分拆.于是，对于2n的任何一个1-2有序分拆，在其右端添上分部量1，然后按照从右向左的顺序将1及其左边的所有2合并成一个新的分部量，便得到2n+1的奇有序分拆.反之亦然.

定理2.5设n≥1，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于2n+2的分部量>1的有序分拆数.

证明由定理2.3的证明可知，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆对应着2n的1-2有序分拆.于是对于2n的任何一个1-2有序分拆α，在其左右两端分别添上分部量1，就得到2n+2的两端分部量都是1的1-2有序分拆β.下面求分拆β的共轭分拆β′，由于分拆β是左右两端分部量都是1的1-2有序分拆，故其共轭分拆β′就是分部量大于1的有序分拆.从而得到了2n+2的分部量大于1的有序分拆.反之亦然.

表1给出了当n=3时，正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆与正整数2n的1-2有序分拆、正整数2n+1奇有序分拆、正整数2n+2分部量大于1的有序分拆之间的对应关系.

表1　3，6，7，8的各种有序分拆之间的对应关系

由定理2.1，2.3—2.5，自然有下面关于正整数n的分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆数与正整数n的1-2有序分拆数、奇有序分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的关系式.

推论2.1设n≥1，正整数n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆数等于n的1-2有序分拆数.

推论2.2设n≥1，正整数n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆数等于n+1的奇有序分拆数.

推论2.3设n≥1，正整数n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆数等于n+2的分部量>1有序分拆数.

下面给出推论2.1的一个例子.

例2.1取n=6，则6的不含大于1的奇分部量，且分部量1出现Inplace偶数次的有序分拆有13个：(6)，(4，2)，(4，1，1)，(2，4)，(1，1，4)，(2，2，2)，(2，2，1，1)，(2，1，1，2)，(1，1，2，2)，(2，1，1，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，2)，(1，1，1，1，1，1).

同样，6的1-2有序分拆有13个：(1，2，2，1)，(1，2，1，2)，(1，2，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，1，1，2，1)，(2，2，2)，(2，2，1，1)，(2，1，1，2)，(1，1，2，2)，(2，1，1，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，2)，(1，1，1，1，1，1).

[参考文献]

[1]MACMAHON P A. Combinatory analysis：volumes 1[M].Cambridge：Cambridge University Press，1915：6-32.

[2]MUNAGI A O. Primary classes of compositions of numbers [J].Annales Mathematicae et Informaticae，2013，41：193-204.

[3]MUNAGI A O. Zig-zag graphs and partitions identities of A K Agarwal [J].Annals of Combinatorics，2015，19(3)：557-566.

[4]ANDREWS G E，HIRSCHHORN M D，SELLERS J A. Arithmetic properties of partitions with even parts distinct [J].Ramanujan Journal，2010，23：169-181.

[5]CHEN S C. On the number of partitions with distinct even parts [J].Discrete Math，2011，311(12)：940-943.

[6]HEUBACH S，MANSOUR T. Combinatorics of compositions and words [M]// Discrete mathematics and its applications.Boca Raton：CRC Press，2010：61-86.

[7]HIRSCHHORN M D，SELLERS J A. Arithmetic properties of partitions with odd parts distinct [J].Ramanujan Journal，2010，22(3)：273-284.

[8]MUNAGI A O. Euler-type identities for integer compositions via zig-zag graphs [J].Integers，2012，A62：1-10.

[9]RADU S，SELLERS J A.Congruence properties modulo 5 and 7 for the pod function [J].Int J Number Theory，2011，7(8)：2249-2259.

[10]TOH P C. Ramanujan type identities and congruences for partition pairs [J].Discrete Math，2012，312(6)：1244-1250.

[11]MUNAG A O，SELLERS J A.Some inplace identities for integer compositions [J].Quaestiones mathematicae，2015，38(4)：535-540.

[12]GESSEL I M，LI J. Compositions and Fibonacci identities [J].Journal of Integer Sequences，2013，16(4)：1-16.

[13]ANDREWS G E.The theory of partitions [M].Cambridge：Cambridge University Press，1984：3-15.