帮你理解随机事件的概率

我们知道,概率是事件固有的属性,可以通过大量重复的试验得到其近似值。随机事件发生的概率是事件发生的可能性大小。概率大的事件在一次试验中也可能不发生,但在一次试验中事件发生与否都是有可能的。为了让大家在实际问题中理解这个概念,下面就一起来探讨几个问题。

问题1：相传古代有个国家,由于崇尚迷信,世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚,在临刑时要抽一次“生死签”,即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样,由执法官监督,让犯人当众抽签,如果抽到“死”字的签,则立即处死;如果抽到“生”字的签,则当场赦免。一次国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣,为了不让这个大臣得到半点获得赦免的机会,他与几个心腹密谋,暗中叮嘱执法官,在两张小纸片上都写上“死”字。但最后“犯上”的大臣还是获得赦免,你知道他是怎么做到的吗?

若两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样,那么“犯上”的大臣抽到“生”字或抽到“死”字都是随机事件,大臣免死的机会是。而两张小纸片上都写着“死”字,大臣被处死就成了必然事件。法规规定两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样,而事实上两张小纸片上都写着“死”字。大臣为了求生,只需将抽到的那张小纸片迅速吞下,而另一张没有被抽到的小纸片上写着“死”字,这样就可以断定大臣抽到并吞下的小纸片上写的是“生”字,于是大臣可当场被赦免。

问题2：有人说：“一个骸子掷一次得到点数为2的概率是,这说明一个骸子掷6次会出现一次点数为2。”对此说法,在同学中出现了两种不同的看法：

一些同学认为这种说法是正确的,他们的理由是：因为一个骸子掷一次得到点数为2的概率是,所以一个骸子掷6次得到一次点数为2的概率P(“得到一次点数为2”1,即“一个骸子掷6次会出现一次点数为2”是必然事件,因此一定会发生。

还有一些同学认为这种说法是错误的,但是他们却讲不出理由来。

你认为这种说法对吗?请说出你的理由。

这种说法是错误的。认为说法正确的同学,其计算概率的方法是错误的。理由是：概率仅仅是反映一个随机事件发生的可能性大小,并不是必然的结果。由此可见,认为说法正确的同学并没有真正理解随机事件的概率的有关概念。

问题3：甲、乙两人做游戏,规定：同时掷两枚骸子,若出现点数之和为偶数,则甲胜;若出现点数之和为奇数,则乙胜。乙说：“点数之和为2,3,4,…,12,共11种结果,其中偶数有6个,奇数有5个,所以这个游戏是不公平的,甲获胜的可能性要大些。”你认为乙的说法对吗?请说明理由。

乙的说法是不正确的。该游戏是公平的,掷两枚骸子出现的点数之和共有36种等可能结果(如表1)。

表1

由表1不难看出,点数之和为偶数的结果有18种,点数之和为奇数的结果也有18种,所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是,故这个游戏是公平的。

问题4：某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位：h)进行了统计,统计结果如表2所示。

表2

(1)请在表2中写出各组的频率。

(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500h的概率。

(1)各组的频率(从上到下)依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042。

(2)样本中使用寿命不足1500h的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1500h的频率是,即灯管使用寿命不足1500h的概率约为0.6。

友情提醒:概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律,与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的。也就是说,单独一次结果的不肯定性与积累结果的规律性,才是概率意义下的“可能性”,而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次结果的偶然性。

所谓估算法求概率,就是用频率估计概率。要理解概率的两个含义:①概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值。②由概率的定义可知,随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映。