认清维度、分清测度，轻松破解几何概型问题

相对于古典概型来说,几何概型将等可能发生的基本事件的个数从有限推广到无限。那么几何概型中常见的测度有哪些呢?下面就从三个方面举例说明如何认清维度、分清测度,轻松破解几何概型问题。

一、一维几何概率模型

测度为长度的几何概型和测度为角度的几何概型都涉及一个变量,是一维的,称为一维模型(或区间模型)。

例1记函数的定义域为D。在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是____。

分析：几何概型有两个特点：一是无限性,二是等可能性。基本事件的构成可以是点,尽管这些点是无限的,但它们所在的区域是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率。

解：由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3。根据几何概型的概率计算公式,可得x∈D的概率是

例2某地铁站每隔8min就有一列车到站,假设一位乘客到达车站的时刻是任意的,求该乘客的候车时间不超过5min的概率。

分析：由乘客到达车站的时刻是任意的,可知试验的结果具有等可能性。

解：由乘客到达车站的时刻是任意的,可知本题属于几何概型问题。因为地铁站每隔8min就有一列车到站,所以总的基本事件所包含的时间长度为8。乘客的候车时间不超过5min的事件包含的时间长度为5。由几何概型的概率计算公式可得所求概率为

例3如图1所示,在△A B C中,∠B= 60°,∠C=45°,高在∠B A C内作射线AM交B C于点M,求BM＜1的概率。

图1

分析：总的基本事件Ω为“在∠B A C内作射线AM”,事件A为“BM＜1”。射线AM在∠B A C内是等可能分布的,当AM与高A E重合时,BM=B E=1,满足BM＜1的射线AM应在∠B A E内,可知测度为一维模型的角度。

解：由于总的基本事件Ω的测度为∠B A C=180°-(60°+45°)=75°,事件A的测度为∠B A E=90°-60°=30°,故所求概率

小结:向区间[a,b]上任意投掷一点,设区间[c,d]⊂[a,b],则点落在[c,d]内的概率只与区间[c,d]的长度成正比。令Ω=表示试验的所有可能结果构成的区域表示随机事件,则所求概率

二、二维几何概率模型

测度为面积的几何概型涉及两个变量,是二维的,称为二维模型(或平面模型)。有些看似与“几何”无关的问题,如“取两数问题”“相遇问题”等,其本质还是几何概型,且是二维模型。

例4在区间(0,1)内随机地取两个数,则两数之和大于0.5且小于1.5的概率是多少?

分析：本题是在区间(0,1)内随机地取两个数,且两个数是相互独立的,属于典型的二维平面问题,测度为面积。

解：设在区间(0,1)内随机地取的两个数分别为x,y,则0＜x＜1,0＜y＜1,其对应的区域如图2所示。

图2

正方形的面积为Ω=1×1=1。令“两数之和大于0.5且小于1.5”为事件A,即0.5＜x+y＜1.5,由此可得阴影部分的面积为S=

例5甲、乙两人相约8：00至8：30之间到汽车站乘车,这段时间内的8：15和8：30各发一班车。甲、乙两人在8：00到8：30内任一时刻到达车站都是等可能的。如果先到车站的人见车就上,求两人能同乘一班车的概率。

分析：(1)分别用x和y表示甲、乙到达车站的时刻,甲、乙两人在8：00到8：30内任一时刻到达车站都是等可能的。用A表示事件“两人能同乘一班车”。

解：设分别用x和y表示甲、乙到达车站的时刻,用Ω表示试验的所有可能结果,则Ω=,如图3所示。

图3

用A表示事件“两人能同乘一班车”,则事件A={(x,y)|0≤x≤15,0≤y≤15}∪{(x,y)|15≤x≤30,15≤y≤30}。

小结:向平面区域Ω上任意投掷一点,设随机事件的平面区域为A,则点落在区域A中的概率只与区域A的面积成正比,而与A的位置和形状无关。因此所求概率P(“点落在区域A”)

三、三维几何概率模型

测度为体积的几何概型称为三维模型(或空间模型)。

例6如图4所示,正方形A B C DA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机地取一点M,求使四棱锥M-A B C D的体积小于的概率。

图4

分析：在正方体内随机地取一点M,属于三维模型,测度为体积。

解：设点M到平面A B C D的距离为h。

又因为正方体A B C D-A1B1C1D1的体积为1,所以所求概率为即使四棱锥M-A B C D的体积小于的概率为

小结:向空间区域Ω内任意投掷一点,设随机事件的空间区域为A,则点落在区域A中的概率只与区域A的体积成正比,而与A的位置和形状无关。因此所求概率P(“点落在区域A”)

结束语：解决几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围。当考查对象为点且点的活动范围在线段上时,用长度比(或角度比)计算;当点的活动范围在平面区域时,用面积比计算;当点的活动范围在空间区域时,用体积比计算。求解几何概型问题时,要认清测度,把握所求事件对应的区域,注意与代数、几何等相关知识的联系,同时要掌握常见的数学思想方法。