由类比到转化 从直觉到推理

沈自华 邵官华

摘要：平行四邊形面积公式的推导是建立在长方形面积公式推导的学习经验之上，因此学生会用类比的思想把平行四边形“拉成”长方形后来计算它的面积。笔者以此为学生的学习起点，设计了自主测量计算平行四边形的面积；讨论辨析推导平行四边形的面积；变式练习体会平行四边形的等积变形等三个环节，让学生在网格图的帮助下推导、理解并应用平行四边形的面积。

关键词：平行四边形面积；类比到转化；直觉到推理

平行四边形的面积计算是一节经典课，有许多名师展示过。如何借鉴名师课堂教学中优秀的教学经验，结合自己的理解，形成自己的教学，是笔者对于本节课研究的出发点。笔者在实践中发现，由于受“长方形是特殊的平行四边形”这一认识的负迁移，学生会自然而然地用“底×邻边”来计算平行四边形的面积。如何以此为起点，借助网格图让学生对类比直觉结论的分析中“自然而然”地推导出平行四边形的面积，并借助网格图，更好地认识平行四边形面积等积变形中的特性呢？下面以实际教学为序列，阐述我们的做法。

一、自主测量，尝试计算平行四边形的面积

类比思想是学生在解决新的数学问题时的重要的思维方式。但有时候用这样的思想方法得到的结论是错误的。对于这样的错误，教师在引导学生探究的过程中可以充分地暴露，并组织讨论与辨析，让学生从错误的直观思维走向正确的逻辑推理。

1.提供对比材料，尝试计算面积

为充分暴露学生在求平行四边形面积计算时的类比直觉过程的思维状态，设计了如下的问题：

测量所需要的信息，求长方形（图：长6cm，宽4cm）和平行四边形（图：底6cm，邻边5cm，高4cm）。

在测量求平行四边形面积时同时安排了求长方形的面积，能够在后续学习时沟通平行四边形面积公式与长方形面积公式的联系，体会转化思想在解决问题中的基本思路。

在求平行四边形面积时，没有借助网格图，而是通过具体的测量，可以更好地暴露学生可能出现的各种思路。

2.预测学生可能，整体展示学情

学生自主学习情况的预测，既来自于教师的教学经验，也来自于对学生认识水平的分析。学生在自主测量求面积时，长方形面积信息的测量与计算没有困难。而平行四边形信息的测量与计算，一般有以下的三种情况。

方法1：求周长，（7+5）×2=24（cm）。这种情况在班级中占比人数较少，但可以通过这一种错误资源引出面积的含义与网格图。

方法2：“底×邻边”，6×5=30（cm2）。这种情况在不同的教学环境下占比不同，农村占比明显高于城区，与学生是否提前学习平行四边形的面积有关。一般地，如果没有提前知道平行四边形的面积公式，极大多数会用这一种方法。

方法3：“底×高”，6×4=24（cm2）。与第2类同学刚好此消彼长。

除这三类情况外，当然还有一小部分学生不知道如何测量与计算。这部分学生并不一定说明学习能力差。而是他们已经感觉到用“方法2”解决问题是错误的，但又不能够独立想到用“方法3”来测量计算。

以上三种方法的出示有两种策略。一种是依次出示，逐个析，这种策略虽然可以让学生能够更加集中地思考问题，但是缺少了整体的比较。另一种是整体出示（包括长方形的面积计算），然后再组织讨论辨析，这样做可以从整体的视角来认识某一种方法的合理性，自然而然地发现它们的联系。所以，实际教学中采用后者，且由教师直接板书于黑板上。如果所上班级没有出现方法1，也可以出示，体现思维的完整性。

3.逐步展示网络，做好辨析铺垫

在平行四边形面积公式推导的过程中，如果过早地利用网格图，会束缚学生的思维。因此，先让学生自主测量没有网格的长方形与正方形中的相关数据，然后依据自己的思考计算出结果。在此基础上，再通过追问，出示网格。

首先，在反馈长方形面积计算后追问：面积24平方厘米是指长方形的哪一部分？学生指出后教师把黑板上的长方形图添上“6×4”的网格。其次，在点评学生用求周长求平行四边形的面积后追问：平行四边形的面积指哪一部分？学生指出后教师也给黑板上的平行四边形添上网格。

通过这两次操作，借助网格图让学生回溯了长方形与平行四边形面积的含义，为辨析平行四边形面积计算公式做好铺垫。

二、讨论辨析，逐步推导平行四边形的面积

原始的数学发现往往来自于直觉，学生采用类比思想用“底×邻边”就是这样的一个数学发现。教师可以让学生说一说想法，并通过教具演示，让学生发现错误，并将错就错，由“拉一拉”过渡到“移一移”推导出面积公式。

1.讨论拉一拉，明析类比的负迁移

讨论方法2时，教师请学生回答：你是怎样想法？

生1：我是把这个平行四边形想成长方形来做的。

这时教师一边在黑板上带有网格的平行四边形的边上围上一个框（图1），一边追问：你是怎样看的呢？

请该同学演示他的想法：拉一拉成为长方形（图2）。

教师进一步追问：拉成的长方形与原来的平行四边形比较，什么没有变什么变了？

生2边指图2框内部分边说：周长没有变，但面积变了，上面这一块就是多出来的。

教师指图2框外部分并追问：长方形网格中不是也有一块空缺吗？

生2移动框外的三角形补上框内左下的空缺，然后指框内上面空白部分（图3）。

通过教具的操作，让学生直观地发现“拉一拉”虽然可以转化成长方形，但面积变大了。

2.辨析移一移，利用转化的新推理

教师让学生进一步观察“拉一拉”后的图形，问：为什么拉成长方形后面积会变大？

生3：因为拉成长方形后，高多出一段。

师：大家仔细观察，如果高不变，我们是否也已经把平行四边形变成了长方形。

学生中发出恍然大悟的“哦”声。

这时，教师引导学生观察方法3中的“6”和“4”分别是平行四边形的什么？进而总结出平行四边形的面积计算公式。

3.回顾想一想，清析推理的路线图

这时，教师请学生给刚才的学习内容取一个课题。学生都说：平行四边形的面积。教师并不急于板书，反问：明明是推导平行四边形的面积，为什么要加入一个长方形，求长方形的面积呢？

生1：因为我们通过沿着高割下一块三角形，再“移一移”，就变成了长方形。

生2：这时，平行四边形的“底”就是长方形的“长”，“高”就是长方形的“宽”。

教师依据生2的说法，在两个公式对应的信息之间加上了箭头，并指出：这样我们就把原来的平行四边形“转化”成了与它面积相等的长方形。教师在平行四边形与长方形之间加上箭头，并板书“转化”。最后添上课题：平行四边形的面积，把推导过程形成如图4的板书。

基于学情的平行四边形面积公式推导，让学生经历了直觉猜想到推理验证，形成了完整的公式推导思路，为后续推导三角形、梯形的面积公式提供了思考的路径。

三、练习提升，加深对平行四边形面积的理解

平行四边形面积计算的练习可以分成三个层次，第一个层次是图形计算题，第二个层次是解决问题，这两个层次均设计有在直接应用公式计算的基础上进行适当的变式；第三个层次是平行四边形的等积变形，加深对公式的理解。

1.设计基本变式，巩固面积公式

设计如5的两个看图求面积的问题。

先由学生独立完成，然后反馈。在校对第1小题后提问：它可以怎样转化成长方形？学生回答后教师课件移动成图6（1），并发现转化后是一个正方形。第2小题校对后提出同样的问题，学生回答后教师课件移动成图6（2）。对于第2个小题，教师提问：依据已知的信息，你还能够提出什么问题？预设学生提出问题：高是24dm所对应的底是多少？学生独立完成后校对。

两个问题在校对后，均让学生说一说是如何转化的，加深对推导过程的理解。而在第2小题校对后，让学生自己提出数学问题，可以培养学生依据已有信息发现问题与提出问题的能力。

2.设计应用变式，活用面积公式

与图形计算相关的应用问题，在审题时，能够依据信息联想到对应的图形，画出或想像出图示，并能够依据具体问题，对公式进行相应的变式。为达成这样的目标，设计如下两个问题。

（1）一个停车位是平行四边形，它的底是5m，对应的高是底的一半。它的面积是多少平方米？

（2）有一块平行四边形菜地，它的面积是280m2，其中一条底是14m，它對应的高是多少米？

第1题学生在画示意图时，可以依据“对应的高是底的一半”，先画出底与高，然后再补全平行四边形。第2题则可以在回忆平行四边形面积公式的基础上，把公式变式为已知面积与底，求高。

3.设计等积变式，深化面积公式

长方形如果确定了长与宽的具体长度，那么它的形状就确定了。但是平行四边形如果只规定底与高，形状却有许许多多，这就是平行四边形的等积变形的特性。为让学生理解这一特性，笔者让学生在网格图中画若干个“底是6cm，高是4cm的平行四边形”，学生完成后，展示学生的作品，总结“等底等高”的平行四边形面积相等，进一步，利用课件，把这些平行四边形的底变为“同底”，并增加中间的长方形，进一步观察得出结论“同底等高”的平行四边形面积相等。

总之，在推导平行四边形面积公式时，为揭示面积的意义出示网格图，再利用网格图作为参照，通过讨论辨析对类比直觉获得的结论进行转化推理，让学生学到的不仅是平行四边形的面积公式，更是学会了其中的推理策略与方法，为后续学习三角形与梯形面积公式的推导提供了方向与思路。

参考文献：

[1]小学数学课程标准解读（修订稿）北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]全国小学名师最新课堂教学实录与评点[M] 张伯阳等.杭州：西泠印社出版社，2005.4

[3]浙江省中小学学科教学建议（试行）.浙江省教研室，2009.10