直觉主义分布式知识语义模型的树形改造

南京航空航天大学计算机科学与技术学院 徐京京

1 引言

认知逻辑是模态逻辑的一个分支，主要研究与知识有关的推理。分布式知识是指一个群体的综合知识，即通过把一个群体中各个agent了解的知识综合在一起所推出的知识。

在经典逻辑下对认知逻辑的研究已经十分丰富，例如，Fagin，Halpern和Moses对认知逻辑基础的介绍[1]，Vanderschraaf和Sillari对公共知识的研究[2]，Hakli和Negri对分布式知识的研究[3]。近年来很多学者开始在直觉主义逻辑下对认知逻辑展开研究，例如，Marti和Jäger在直觉主义下分别处理了分布式知识和公共知识[4][5]，Hirai研究了有关异步通信的直觉主义认知逻辑[6]，Suzuki研究了有关博弈论的直觉主义认知逻辑[7]，Artemov和Protopopescu以及Proietti研究了对直觉主义认知逻辑不同的定义方法[8][9]，Krupski和Yatmanov给出了直觉主义认知逻辑的矢列演算系统[10]，Williamson对一般的直觉主义认知逻辑做出了总结[11]。在直觉主义下对模态逻辑的研究对认知逻辑的研究也有所帮助，例如Fischer-Servi[12]，Ono H[13]。

本文主要借鉴了Marti和Jäger对分布式知识的处理方法[4]以及Fagin，Halpern和Vardi在处理分布式知识时构造典范模型的方法[14]，给出了直觉主义分布式知识的语义模型的树形改造，并证明了改造前后的满足性保持关系。

2 语言LDK和语义解释

本文所用的语言LDK包含以下的基本符号：

（1）可数多个原子命题p,q,r…（可能带有下标），记原子命题的集合为PROP；

3 树形模型改造

下文引入模型的两次改造，扩张模型将原模型改造为一个树形模型，关联模型将扩张模型改造使其解释在一般的满足性语义解释下，并证明两次改造前后满足性对应关系。

图1 模型M

图2 模型M#

4 总结

本文借鉴Fagin，Halpern和Vardi在处理分布式知识时构造典范模型的方法，给出了直觉主义分布式知识的语义模型的树形改造，并证明了改造前后的满足性保持关系。

[1]Fagin R,Halpern J,Moses Y,et al.Reasoning About Knowledge[M].//Reasoning about knowledge/.MIT Press,2003:503-525.

[2]Vanderschraaf P,Sillari G.Common Knowledge[J].Stanford Encyclopedia of Philosophy,2008.

[3]Hakli R,Negri S.Proof Theory for Distributed Knowledge[C].//Computational Logic in Multi-Agent Systems,International Workshop,Clima Viii,Porto,Portugal,September 10-11,2007.Revised Selected and Invited Papers.DBLP,2007:100-116.

[4]Jäger G,Marti M.A canonical model construction for intuitionistic distributed knowledge[C].//Advances in Modal Logic.2016:420-434.

[5]Jäger G,Marti M.Intuitionistic common knowledge or belief[J].Journal of Applied Logic,2016,18:150-163.

[6]Hirai Y.An Intuitionistic Epistemic Logic for Sequential Consistency on Shared Memory[C].//International Conference on Logic for Programming,Artificial Intelligence,and Reasoning.Springer-Verlag,2010:272-289.

[7]Suzuki N Y.Semantics for intuitionistic epistemic logics of shallow depths for game theory[J].Economic Theory,2013,53(1):85-110.

[8]Carlo Proietti.Intuitionistic Epistemic Logic,Kripke Models and Fitch’s Paradox[J].Journal of Philosophical Logic,2012,41(5):877-900.

[9]Artemov S,Protopopescu T.Intuitionistic Epistemic Logic[J].Review of Symbolic Logic,2016,9(2):266-298.

[10]Krupski V N,Yatmanov A.Sequent Calculus for Intuitionistic Epistemic Logic IEL[C].//International Symposium on Logical Foundations of Computer Science.Springer International Publishing,2016:187-201.

[11]Williamson T.On intuitionistic modal epistemic logic[J].Journal of Philosophical Logic,1992,21(1):63-89.

[12]Fischer-Servi,Gisèle.Axiomatizations for some intuitionistic modal logics[J].Rend.sem.mat.univ.politec.torino,1984,42(3):179-194.

[13]Ono H.On Some Intuitionistic Modal Logics[J].Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences,1977,13(3):687-722.

[14]Fagin R,Halpern J Y,Vardi M Y.What can machines know?:On the properties of knowledge in distributed systems[J].Journal of the Acm,1992,39(2):328-376.

[15]Došen K.Models for stronger normal intuitionistic modal logics[J].Studia Logica,1985,44(1):39-70.