复杂边界条件下圆柱壳—环板耦合结构振动特性分析

石先杰　李春丽　蒋华兵

摘要：采用谱几何法（Spectro-Geometric Method，SGM）构建了复杂边界条件/耦合条件下圆柱壳-环板耦合结构动力学特性预报模型，并分别对各自外在边界和二者之间的耦合边界进行建模。耦合边界通过设置具有线性刚度和旋转刚度的三维弹性耦合器模拟结构之间的各类耦合效应。圆柱壳和环板的振动位移容许函数被统一地描述为一种谱形式的改进三角级数。应用哈密尔顿原理从能量的角度推导耦合结构系统的特征方程。将此方法获得的结果与文献解及有限元结果进行对比，验证了分析模型的有效性。

关键词：结构振动；复杂边界条件；圆柱壳；耦合结构；谱几何法

中图分类号：0327；TB532 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2018）01-0118-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.014

引言

在实际的工程应用领域中，圆柱壳-环板耦合结构往往是一种更为符合实际的基本结构单元。当弹性板与圆柱壳存在耦合连接时，由于组成耦合结构的子构件之间存在能量流动和传递，从而使得圆柱壳-环板耦合结构的动力学特性变得更加复杂。然而，对这类耦合结构的相关动力学特性开展研究工作对一些实际工程应用具有重要的理论价值。因此，国内外专家学者就圆柱壳一板耦合结构的动力学问题进行了一系列的研究工作。

White采用平均能量和能量流法开创性地对带有端板的圆柱壳结构声传递特性进行了相关研究。他还通过相关物理实验验证了理论计算研究的正确性。Cheng和Nicolas采用瑞利一里兹法研究了一端具有弹性圆板的板-壳耦合结构系统的自由振动问题，通过相关数值分析来验证了理论计算模型的正确性，并详细研究了耦合效应和边界条件对耦合结构系统振动特性的影响规律。之后，Cheng将人工弹簧技术用来分析两端具有端板的封闭圆柱壳结构与其形成的封闭声腔之间的声振特性，其中封闭圆柱壳的一端为弹性端板，而另外一端则为刚性端板。Huang和Soedel采用导纳法对在任一轴向位置与一圆板耦合连接的简支圆柱壳结构的振动问题进行了计算分析。通过数值算例对比分析验证了该方法的有效性，并在此基础上考察了圆板结构在圆柱壳轴向的耦合位置对耦合结构系统振动特性的影响。随后，Huang和Soedel将该方法扩展至多个圆板结构与简支圆柱壳耦合连接的组合结构系统自由振动问题。

Joseph Stanley和Ganesan采用一种半解析的有限元法对三种不同边界条件下带有隔板的圆柱壳进行了频率分析。其中，固支和简支边界条件下圆形隔板位于壳体轴向的中间位置，悬臂边界条件下隔板位于圆柱壳的自由端。分析结果表明：带有隔板圆柱壳的低阶频率要比圆柱壳的频率低很多，而且随着圆板厚度的增加，低阶的频率值随之上升，因为耦合结构的低阶模态是受圆板控制的模态，圆板的介入降低了结构的固有频率。Yim等人将导纳法进一步扩展至在任一轴向位置具有一端板的一端固支一端自由圓柱壳结构自由振动问题。圆柱壳的振动位移函数采用相同条件下的梁函数来描述，通过圆柱壳一弹性板间耦合连接边界的连续性要求来建立圆柱壳和板之间的力学联系，从而获得组合结构系统的运动方程。通过将数值分析结果与ANSYS计算结果及振动测试结果对比，验证了该方法的正确性和有效性。

李鸿秋基于圆板和圆柱壳的振动控制微分方程，结合板-壳连接处的连续性条件，建立了一般连接形式下板-壳耦合结构分析模型。相关分析表明，该分析模型可以正确地获得耦合结构的动力学特性。邹明松等半解析地求解了两端具有端板的圆柱壳结构的自由振动问题。他采用三角级数和贝塞尔级数对圆柱壳和圆板结构的振动位移函数进行描述，板-壳间的连接条件通过连接处的位移和内力平衡关系得到。通过将数值计算结果与ABAQUS计算结果对比，验证了文中方法的正确性和有效性。Ma等采用改进的傅里叶一里兹法构建了圆柱壳-环板耦合结构的统一分析模型。

综上所述可知，目前公开文献中有关圆柱壳-环板耦合结构的研究还较少。上述文献均提供了各种不同分析方法来研究板壳耦合结构的振动特性。但是，文献中的相关研究工作大部分局限于简单的经典边界条件，而未针对更为一般的弹性边界条件开展研究工作。从文献调研来看，振动控制方程的解在很大程度上取决于边界条件。一旦边界条件改变，必须修改容许函数以获得新的解，这使得这些方法在实际工程应用中显得累赘。而不同的边界条件及耦合条件广泛存在于实际工程应用中。因此，有必要构建一套统一的分析模型，以适用于任意边界条件及耦合条件。

针对这些技术局限性和实际工程需求，本文构建复杂边界条件下圆柱壳-环板耦合结构的振动分析模型，采用谱几何法对圆柱壳和弹性板结构的位移容许函数同时进行描述，并分别对各自的外在边界和二者之间的耦合边界进行建模。耦合边界通过设置具有线性刚度和旋转刚度的三维弹性耦合器模拟结构之间的各类耦合效应。最后，应用哈密尔顿原理从能量的角度推导出环板与圆柱壳耦合结构系统的特征方程，将文中计算结果与文献解及有限元结果进行对比，验证文中方法及分析模型的有效性。

1理论推导

1.1结构模型描述

圆柱壳-环板耦合结构的示意图和坐标系统如图1所示。定义在（x₁，θ₁，r₁）坐标系下的圆柱壳的几何参数为：中面半径R_s，厚度h_s，长度L_s；其材料参数分别为：弹性模量E_s，泊松比μ_s，密度ρ_s。圆柱壳的中面上任意一点的位移向量由径向、轴向和周向位移组成，表示为d_s^T={w_s，μ_s，v_s）^T。环板结构系统则定义在坐标系（x₂，θ₂，r₂）下，其几何尺寸参数为：内半径a_p，外半径b_p（≡R_s），圆心角乒_p，厚度h_p；其材料属性为：弹性模量E_p，泊松比肛_p，密度10_p。环板中面上任意一点的位移函数由弯曲振动位移和面内振动位移组成，即d_p^T={w_p，μ_p，v_p}^T。圆柱壳-环板耦合结构由圆柱壳与环板在公共边界（x₁=x_c，0≤x_c≤L_s）连接而成，通过改变z。的大小可以方便地模拟不同轴向位置下圆柱壳-环板耦合结构系统。

从图1可知，环板和圆柱壳的面内振动和面外振动之间存在一定的耦合作用。因而本文采用具有旋转刚度和线性刚度的三维弹性耦合器来描述板壳连接的相容性条件。文中所构建的环板分析模型是综合考虑了面内振动和面外（弯曲）振动效应的。通过改变相关参数可以求解不同半径比、不同耦合位置及任意边界条件/耦合条件下圆柱壳-环板耦合结构动力学问题。k_cu，k_cv，k_cw分别表示环板与圆柱壳耦合连接处沿圆柱壳面内振动位移u_s，v_s和径向振动位移w_s方向均匀分布的线性弹簧刚度系数，而K_c则为绕周向（θ）的旋转约束弹簧刚度系数。耦合效应通过存储在耦合器中的弹性势能来体现。

圆柱壳结构每端边界上布置4组约束弹簧，分别为沿轴向、周向、径向分布的3组线性弹簧（k_ps^us，k_ps^vs，k_ps^ws）和1组绕周向的旋转约束弹簧（K_ps^s），其中下标ps可取0或1。当ps=0时，表示壳体结构x₁=0端的约束弹簧刚度系数，当ps=1时，表示壳体x₁=L_s端的约束弹簧刚度系数。

1.2圆柱壳-环板耦合结构的位移级数描述

首先，构建弹性约束边界条件下圆柱壳三种位移，对于单独求解圆柱壳自由振动，可只按对称模态或者反对称模态的叠加形式对其位移场函数进行展开，然而在求解其强迫响应或者与之相关的耦合结构振动需要兼备二者的形式。相比文献的辅助形式，文中基于谱几何法原理将其全部描述为复合三角级数。由于三角级数在微分和积分操作中具有“偶不变性”，所以这样的修改在数学上是有意义的，而且还可以大大简化建模过程中的理论推导。因此，采用谱几何法将圆柱壳的径向、轴向和周向的位移形式描述为

对于环板而言，需要分别对面内振动和面外振动进行描述。根据文献，环板可看作环扇形板的特例。面内振动分量径向和切向位移分别表示为：

环板面外振动位移的改进三角级数表达式为

1.3基于能量原理的瑞利-里兹方法求解

对复杂耦合结构的振动问题而言，不存在确切的动力学方程，这时可求助于哈密尔顿原理，它是描述动力学行为的另外一种表述形式。利用基于哈密尔顿原理的能量方法可以使复杂耦合结构的振动间题变得相对简单。在应用哈密尔顿原理之前，需要构造圆柱壳-环板耦合结构系统的拉格朗日函数，拉格朗日函数中包含系统的总势能和总动能。

圆柱壳-环板耦合结构系统的总势能和总动能可以分别表示为

（7）

（8）式中V_p代表环板由于面内和面外振动变形产生的线弹性应变能；V_pbc表示储存在环板边界约束弹簧中的势能；V_s为圆柱壳体由于面内振动和面外振动变形产生的应变能；V_sbc表示储存在圆柱壳中的边界约束弹簧中的势能；V_sp则代表储存在圆柱壳和环板间的三维弹性耦合器中的势能；T_p表示环板由于弯曲和面内振动产生的总动能；而T_s则表示储存在圆柱壳中的总动能。

圆柱壳的动能和势能可以采用位移函数分别表示为

储存在环板和圆柱壳在耦合連接处的三维弹性耦合器中的弹性势能为

为了简便起见，环板的势能和动能表达式未详细列出，详细表达式见文献。

通过圆柱壳和环板的势能项和动能项及二者的耦合势能项构建圆柱壳-环板耦合结构系统的拉格朗日函数，其表达式为

（13）

联立所有势能项方程，通过哈密尔顿原理对所有未知的三角级数展开系数求变分，即可获得圆柱壳-环板结构系统的瑞利-里兹解。最终系统的特征方程写为如下的矩阵形式

（14）式中K_sp和M_sp分别表示系统总的刚度矩阵和质量矩阵；E_sp则是一个包含所有未知级数展开系数的向量。在数值仿真计算中，圆柱壳和环板的位移场级数分别按照m=M，n=N和m=M，n=N进行截断处理。

系统的特征方程（14）是关于未知三角级数展开系数的线性方程组。通过求解这个特征方程组，即可获得圆柱壳-环板耦合结构的模态参数。所获得的特征值以及每一组特征向量都与系统的固有频率和物理空间的模态振型信息相对应。

如果需要对某种载荷作用下的结构响应进行求解，仅需在系统的拉格朗日函数中增加外界载荷的做功项即可，最终在结构系统方程（14）的右侧出现一力向量。一旦板结构的位移确定后，其他感兴趣变量可以通过对位移函数直接进行相关数学操作而简单得到。

2数值结果与分析

在本节中，将对圆柱壳-环板耦合结构模型进行数值计算。通过把文中计算结果与文献解及有限元结果进行对比，以验证文中理论推导及计算程序的正确性和有效性。为了方便描述经典边界条件，F，S和C分别用来代表自由、简支和固支边界条件。在这些数值算例中，除了特别指定外，模型参数分别为：E_s=E_p=2.06×10¹¹Pa，ρ_s=ρ_p=7850kg/m³，h_s=h_p=0.003m，μ_s=μ_p=0.3。为了给其他方法研究者提供参考数据，无量纲频率参数Ω=ωR_s（p·（1-μ_s²）/E_s）^1/2。被引入。此外，在后续的数值算例中，刚体模态对应的零频率将不列出。

首先，对文中方法的收敛性进行研究，以验证构造的位移容许函数及确定的级数截断数的合理性。表1给出了在不同的截断项数下圆柱壳-环板耦合结构的频率参数Ω。圆柱壳的边界条件为F-F，而环板则刚性耦合在圆柱壳端部。为了进行对比分析，文献解和有限元结果作为参考值也在表1中列出。板壳耦合结构的几何参数为：L_s=0.5m，R_s=0.1045m，a_p=0.03m。由于耦合结构是周向对称的，因此周向的截断数N=N=10，而圆柱壳的轴向和环板的径向截断数M'=M从10逐渐变化到14。从表1可以看出，当M增加到12时就可获得完全收敛和稳定的频率参数。因此，后续数值算例中的截断数将取为：M×N=12×10。从表1的对比可知，收敛的文中结果与文献的计算结果和ANSYS结果吻合良好，从而验证了文中方法的正确性。前6阶模态振型如图2所示。从图中振型情况可知，圆柱壳-环板耦合结构的振动模态振型很大程度取决于各子结构的振动情况，第3阶模态振型为环板控制的振型。

为了在更广泛的条件下验证文中方法的优越性，现考虑不同边界条件和耦合条件下的圆柱壳-环板耦合结构。将表1算例中环板和圆柱壳结构的耦合条件改变为弹性耦合条件：k_cu=k_cv=k_cw=K_c=10⁶。表2列举了圆柱壳-环板耦合结构前6阶模态的固有频率值。从对比情况可知，文中方法计算结果与有限元结果吻合程度较高，表中所列的固有频率中偏差最大的也不过0.55%。

最后，考察圆柱壳-环板的一个特例。将文中构建的分析模型拓展为两端带端板的圆柱壳（封闭圆柱壳）模型。表3给出了完全自由边界条件下封闭圆柱壳的轴向对称模态固有频率。其中，板壳耦合结构几何参数为：L_s=8m，R_s=2.2m，h_s=0.022m，h_p=0.024m；材料参数为：杨氏模量2.07×10¹¹Pa，密度7800kg/m³，泊松比0.3；m_a和n_c分别代表轴向半波数和周向波数。

如表3所示，以有限元分析软件ABAQUS的计算结果作为比较的基准，比较文中方法计算结果与文献的计算结果。通过对比可以发现，文中方法计算的结果要比文献的结果更吻合于有限元法结果，文中方法计算结果与有限元法结果之间的偏差最大不过为0.310%，而文献的结果与有限元法结果间的偏差最大为5.94%。这是因为文献在建立圆柱壳与圆板的耦合结构系统时，仅考虑了板的弯曲振动，而忽略了其面内振动与圆柱壳结构的弯曲振动间的耦合效应，两种类型的振动波在结构振动中存在相互的转换，对耦合结构系统动力学特性有一定的影响。

图3绘制了各周向波数n_c下封闭圆柱壳耦合结构系统的第1阶模态振型圖。从图中可知，当周向波数n_c较小（n_c=0～2）时，耦合结构系统的模态主要为受弹性端板控制的模态，如图3（a），（b）和（c）所示，且圆板的振动模态可以分为同相模态和非同相模态。随着周向波数n_c的不断增大，耦合结构系统的模态逐渐变化为圆柱壳结构控制的模态，如图3（d），（e）和（f）所示。根据理论推导可知，弹性板的面内振动将激发圆柱壳结构的弯曲振动，而其弯曲振动将会激发圆柱壳结构的面内振动，因此这就可能使得圆柱壳-弹性板耦合结构系统在低频段内多为圆柱壳或弹性板单独控制的模态，这从图3可以清楚地看出。此外，由于耦合边上三维弹性耦合器的刚性耦合，使得圆板和圆柱壳间耦合边的相对变形较小。

3结论

本文采用谱几何法建立了复杂边界条件和耦合连接条件下圆柱壳-环板耦合结构振动分析模型，采用二维谱几何法来分别统一描述环板和圆柱壳结构振动位移场函数。同时采用分布在结构各边界上的四类约束弹簧来模拟复杂边界条件，并通过在二者间的耦合边上布置具有线性刚度和旋转刚度的三维弹性耦合器来描述板壳连接相容性条件，以便能够详尽地考虑耦合连接处弯曲振动波和面内振动波的耦合效应。应用哈密尔顿原理从能量的角度推导出圆柱壳-环板耦合结构系统的特征方程，将文中方法计算结果与有限元法结果和文献解进行对比，验证文中分析模型的有效性，并得出以下结论：

1）板壳耦合结构系统各结构的位移场函数均可不变地表示为一种谱形式的改进三角级数，收敛性较传统的傅里叶级数有较大改善；

2）在数值计算中，随着级数截断数的增大，计算结果快速收敛，并且表现出良好的数值稳定性；

3）耦合结构系统的边界条件、耦合连接条件、耦合位置及几何参数均可通过修改参数而简单地实现，不需要重新构造位移场函数，或重新进行理论推导或编程；

4）圆柱壳-环板耦合结构系统存在着三种类型的振动模态：a）弹性板结构控制的模态；b）圆柱壳结构控制的模态；c）弹性板和圆柱壳结构较强耦合的模态。