基于动态方程的高超声速飞行器姿态协调控制

冯星凯, 王玉惠, 秦　晅, 吴庆宪

(1. 南京航空航天大学 自动化学院, 南京 210006; 2. 中国电子科技集团 第二十八研究所, 南京 210016)

0　引　言

一般认为, 大于5马赫速度飞行的飞行器称为高超声速飞行器[1], 其具有“占领空天”的优势, 是目前世界各军事大国积极投入研究的重要技术领域之一[2]。但由于其飞行环境严峻, 非线性特性复杂, 且其内部变量存在着严重的非线性耦合, 大大增加了飞行控制的难度, 甚至威胁到飞行安全。因此, 为提高飞行品质, 研究高超声速飞行器各变量之间的耦合特性, 并在此基础上设计协调控制系统应对耦合问题成为研究的热点和难点。

针对高超声速飞行器的飞行控制问题, 已有不少研究成果[3-14]。文献[3]采用H∞和μ相结合的方法设计了高超声速飞行器控制器, 实现了姿态对指令的跟踪。文献[4]采用动态逆方法设计高超声速飞行器纵向通道控制器。文献[5,6]分别采用神经网络控制和模糊控制等智能控制方法设计控制器。文献[3-6]主要研究了飞行器的不确定和非线性方面的控制问题, 而对耦合性问题关注不够。在耦合性分析和协调控制方面, 文献[7]针对高超声速飞行器三通道间的耦合特性进行了分析； 文献[8]针对三通道间的强耦合设计分层控制器, 证明了该方法的有效性, 并给出了仿真验证； 文献[9]对机体-推力耦合特性进行了分析。文献[7-9]的成果极大地推动了高超声速飞行器耦合分析和协调控制的研究进展, 但针对耦合问题主要是定性分析, 不能对变量间的耦合程度给出定量描述。针对此问题, 文献[10,11]定义了耦合度, 用以定量描述非线性系统变量间的耦合程度。借鉴文献[10]的耦合度原理, 文献[12,13]根据高超声速飞行器的耦合特点, 定义了飞行变量间的耦合度矩阵, 并基于此设计了协调控制器。文献[14]通过定义耦合特征指数(CCI: Coupling Characterization Index)区分耦合对系统的利弊, 设计鲁棒控制器实现对有害耦合的弱化, 并利用有利耦合。毫无疑问, 这些研究成果为高超声速飞行器的耦合分析和协调控制的研究奠定了重要基础。但通过进一步分析可知, 现有的耦合关系描述多为线性且在整个飞行阶段保持定值, 不能客观全面地反映飞行器变量间复杂的耦合关系, 必然会降低飞行协调控制的性能。为此, 为提高高超声速飞行器协调控制的效果, 有必要寻求一个能反映变量间耦合关系的动态耦合分析方法, 并基于该耦合分析设计飞行协调控制器。

综上分析, 为更加准确地描述高超声速飞行器的复杂动态耦合关系, 并使协调控制更具针对性, 笔者直接从高超声速飞行器姿态数学模型出发, 提出一种基于动态方程的耦合分析方法, 并给出了飞行器操纵舵面和姿态变量间的动态耦合关系矩阵, 然后在此基础上设计了分层滑模协调控制器, 通过Lyapunov证明了闭环系统稳定性, 并通过仿真验证了气动舵面的协调控制效果。

1　高超声速飞行器姿态数学模型

以NASA Langley研究中心发表的高超声速飞行器模型[15]为研究对象, 考虑如下高超声速飞行器的姿态动态方程

(1)

其中Ω=[α,β,μ]T,α,β,μ分别为攻角、 侧滑角和滚转角；ω=[p,q,r]T,p,q,r分别为滚转角速率、 俯仰角速率和偏航角速率；δ=[δe,δa,δr]T,δe,δa,δr分别为升降舵、 副翼舵和方向舵的舵偏角。参数阵gω,gΩ,gδ,AΩ,Bδ,fω的具体表达式如下

2　操纵舵面与姿态的动态耦合分析

2.1　动态耦合关系原理

研究飞行器各变量之间的耦合关系时, 需对耦合关系进行度量, 为后续设计协调控制器做准备。文献[10]基于概率统计的耦合度分析方法, 通过对系统数据进行采样从而得出非线性变量间的耦合度, 体现变量间耦合关系。文献[13]利用文献[10]中的方法对高超声速飞行器进行耦合分析, 但所得的耦合关系在整个飞行阶段均为定常阵, 难以准确反映复杂的飞行动态过程。笔者以系统的动态方程为基础, 确定某一通路的变量之间函数关系。与文献[13]相比, 变量间的函数关系能更全面体现耦合关系, 更贴近飞行器在实际飞行状态下的耦合情况。

(2)

基于非线性理论和飞行器的动态模型, 借鉴Jacobian矩阵的思想, 各状态变量之间, 即α,β,μ,p,q,r状态变量之间的动态耦合矩阵可定义为

(3)

同理, 变量x与输入变量u之间, 即α,β,μ,p,q,r与δe,δa,δr之间的动态耦合矩阵可定义为

(4)

备注1Fx,x(x,u)和Fx,u(x,u)均为关于x和u的非线性函数矩阵, 因此不同于文献[14]的线性耦合度矩阵, 笔者所得的耦合矩阵是非线性的、 动态的, 更适于描述飞行器复杂的耦合关系。

备注2Fx,x(x,u)和Fx,u(x,u)虽均为非线性函数矩阵, 但若需分析在某个飞行工作点(x0,u0)的耦合关系, 则可将(x0,u0)代入Fx,x(x,u)和Fx,u(x,u)中, 从而得到该工作点的耦合度。

2.2　状态和输入之间的动态耦合关系分析

分析飞行器模型式(1)可知, 操纵舵面舵偏角δe,δa,δr与姿态变量α,β,μ,p,q,r之间存在严重的耦合,同时, 以操纵舵面舵偏角δe,δa,δr为输入量, 客观准确分析操纵舵面舵偏角δe,δa,δr与姿态变量α,β,μ,p,q,r的耦合关系, 可为后续协调控制律设计奠定坚实基础, 提高控制水平。因此, 笔者主要分析x与u间的动态耦合关系。由于β通常为小角度, 因此令sinβ≈β, cosβ≈1。考虑式(1)和式(4), 则x与u间的动态耦合矩阵可表示为

(5)

其中

由式(5)不难看出,x与u间的耦合关系矩阵Fx,u(x,u)不同于文献[14]的线性定常耦合矩阵, 此耦合关系矩阵是非线性的、 动态的, 更能客观全面体现x与u复杂的耦合关系。

根据式(5)计算而得的耦合阵的数值变化范围过大, 为便于分析耦合关系, 可对式(5)进行归一化处理。

为此, 不失一般性, 定义x与u之间的归一化耦合矩阵为

(6)

由式(6)可知, 归一化后的动态耦合矩阵L具有如下性质：

1)L为6×3矩阵, 且-1≤L(i,j)≤1；

2)L(i,j)衡量了输入uj和状态xi的耦合关系, 即|L(i,j)|越大, 输入uj对状态xi的影响越大。

为验证所提动态耦合矩阵的合理性, 分别分析不同工作点下的耦合矩阵。限于篇幅, 只考察攻角变化时的耦合矩阵。

根据式(6), 工作点1：α=5°,β=5°,μ=0°,p=q=r=0, 其耦合矩阵为

(7)

同理, 攻角增大时, 工作点2：α=15°,β=5°,μ=0°,p=q=r=0, 其耦合矩阵为

(8)

分析工作点1和工作点2对应的矩阵, 可得如下结论。

1) 攻角α较小时,α主要受δe的影响, 受δa的影响很小, 受δr的影响可忽略不计； 随α的增大, 攻角受δe的影响减小, 受δa的影响逐渐增大。

2)α较小时, 侧滑角β主要受δr的影响, 受δe和δa的影响很小; 随α的增大,β受δe和δa的影响增大, 受δr的影响减小, 说明偏航通道与俯仰和滚转的操纵耦合增大。

3) 无论α增大或减小, 滚转角μ主要受δe和δa的影响, 且δa的影响更大。随α增大,δa影响也随之增加。

同理, 还可分析角速率p,q,r与操纵舵面间的耦合关系, 限于篇幅, 不再赘述。从以上分析可见, 笔者给出的动态耦合阵与飞行原理是吻合的, 但不同于定性分析或静态耦合阵, 不仅可定量描述变量间的耦合度, 还可分析当飞行变量变化时变量间耦合关系的变化, 更符合复杂的高超声速飞行环境的真实性, 更能客观全面反应变量间的耦合关系。

3　姿态协调控制器设计

由第2节的耦合分析可知, 偏航通道受俯仰通道和滚转通道的操纵耦合较大。因此, 当飞行器飞行时, 偏航通道可能会出现控制力不足情况, 进而出现较大侧滑角。为克服以上问题, 利用其他两通道对偏航通道的耦合, 弥补偏航通道控制力不足的情况, 同时, 尽量减小姿态受舵偏角的耦合影响。

3.1　偏航通道控制力矩设计

定义滑模面

z3=r+k3β

(9)

其中k3>0。取趋近律

(10)

设kβ>0,εβ>0, 结合式(9)、 式(10)和式(1), 可得偏航通道控制力矩

Mβ=-kβz3-εβsgn(z3)-k3(psinα-rcosα)-

(11)

3.2　俯仰和滚转通道控制力矩设计

设计俯仰、 滚转通道的控制力矩时, 在协调俯仰、 滚转通道关系的同时需控制3通道, 以既保证俯仰和滚转通道的稳定性, 又能利用耦合作用增强偏航通道控制力, 解决偏航通道控制力不足的问题, 从而达到协调控制的目的。

为此, 借鉴文献[8]的思想, 定义滑模面

(12)

其中k1,k2,k3为正常数。令

(13)

基于式(13)和式(1), 得相应的等效控制

(14)

其中ueq1,ueq2分别为滑模面z1,z2上的等效控制分量, 其保证了在切换流形z1=0,z2=0上的等效控制分量。

设计总的滑模面[8]

s2=s1+h2z3

(15)

其中s1=z1+h1z2

(16)

令滑模切换律为us, 则设计系统总控制输入为

(17)

结合式(14), 对s2求导得

(18)

设计滑模面s2的趋近律为

(19)

其中ks>0,ε>0, 由式(18)和式(19)可得

(20)

其中us为系统在趋近切换流形s2=0阶段的控制分量。

因此, 由式(11)和式(17)可得系统等效控制力矩

令Mμ=a1δe+a2δa+a3δr,Mα=b1δe+b2δa+b3δr, 由式(20)和式(21)得

由式(21)可解出舵偏角为

(22)

基于第2节的分析, 考虑舵偏角δe,δa,δr与α,β,μ,p,q,r的动态耦合矩阵(5), 协调力矩到舵面的控制分配, 从而得出协调控制器为

(23)

4　系统稳定性分析及证明

定义Lyapunov函数

(24)

由式(19)和式(24)可得

(25)

综上所述, 控制律(21)在满足h2=n0sgn(s1z3),n0>0和h1=m0sgn(z1z2)>0,m0>0条件时, 可实现系统全部状态的渐进收敛, 姿态系统(1)在控制律(21)的作用下是全局渐进稳定的。

5　仿真分析

笔者为验证所设计的分层滑模控制律, 利用通道间强耦合实现高超声飞行器操纵舵面对姿态的协调控制效果, 使用Matlab仿真工具对系统进行仿真分析[17]。

设计控制器参数[8]：k1=8,k2=7,k3=30,ks=5,kβ=18,ε=0.1,εβ=0.1,m0=10,n0=2。

利用Matlab仿真工具, 得仿真结果如图1～图3所示。图1～图3为加入协调控制和未加入协调的滑模姿态控制的各变量变化曲线。未加入协调的控制器采用普通滑模控制, 控制器形式如式(21)所示。

图1　姿态角动态响应曲线　　　　　　　　　图2　角速率动态响应曲线　　　Fig.1　Response curves of attitude angles　　　　Fig.2　Response curves of angular velocities

图3　舵偏角响应曲线Fig.3　Response curves of surface deflection angles

从图1可知, 未加入协调时, 姿态角α,β,μ在调节过程中出现震荡, 稳定较缓慢, 调节时间过长； 加入协调后, 姿态角震荡减弱, 调节次数减少。从图2可知, 未加协调时, 角速率p,q,r震荡较剧烈, 调节时间过长, 不利于姿态稳定； 加入协调后, 角速率调节时间变短, 舵偏角变化较缓和, 舵面动作幅度减弱, 调节次数减少。从图3可知, 未加协调时, 舵偏角δe,δa,δr震荡剧烈, 且峰值接近舵偏角极限, 舵面抖动幅度较大, 对舵面机械强度要求较高； 加入协调后, 舵偏角响应曲线平滑很多, 能显著减弱震荡, 提高了对飞行器姿态的控制效率, 更利于飞行器稳定。

从以上仿真结果可知, 基于动态耦合矩阵设计的姿态协调控制器有效协调了各姿态变量和舵偏角之间的耦合关系, 从而使姿态响应曲线更平滑, 更快趋于稳定。

6　结　语

笔者针对高超声速飞行器具有强耦合的问题, 提出了一种基于动态方程的耦合分析方法。相比于以往的定性耦合分析或定常耦合矩阵, 笔者提出的非线性耦合矩阵可定量表征某个姿态变量变化时的耦合关系变化, 能更客观全面描述高超声速飞行器复杂的耦合关系。然后, 基于所得的动态耦合关系阵, 利用操纵舵面之间存在的强耦合, 采用分层滑模控制方法, 设计了姿态协调控制器, 并基于Lyapunov定理证明了闭环系统的稳定性, 仿真结果验证了该方法的有效性。所提的动态耦合分析和协调控制方案不仅可有效应对飞行器的强耦合问题, 同时也为其他复杂非线性系统的强耦合问题提供了一种新的解决思路。

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