基于自由权矩阵的时变时延线性群系统编队控制

石晓航，张庆杰，吕俊伟,

1. 海军航空大学 控制工程系，烟台 264001 2. 空军航空大学 飞行器控制系，长春 130022

群系统编队控制在很多领域都有着广泛的应用[1-2]，如多无人机编队控制、多卫星编队控制以及多机器人编队控制等。传统的编队控制方法主要分为3种：领导者-跟随者方法[3]、基于虚拟结构的方法[4]以及基于行为的方法[5]。

近年来，群系统一致性理论的发展和广泛应用[6-7]，为编队控制问题提供了新的解决思路。越来越多的学者开始关注基于一致性的编队控制策略。文献[8]给出了一种新的一致性控制协议，并针对大规模群系统，提出了一种有限时间编队控制方法。文献[9]对传统的一致性方法进行扩展，使其可以收敛到指定位置，并应用于二阶动态系统的编队控制中。文献[10]进一步利用多机器人平台编队实验验证了该方法的有效性。文献[11]研究了一类二阶动态非线性群系统的编队控制问题，并分析了通信拓扑对编队形成的影响。文献[12]研究了基于一致性策略的二阶无人机系统时变编队控制方法。文献[13-14]针对二阶无人机系统，考虑通信拓扑结构改变的问题，提出了切换拓扑的一致性编队控制方法。文献[15]通过证明给出轮式小车群系统实现编队的充要条件。文献[9-15]研究的群系统大都为一阶或二阶的动态系统。文献[16-17]讨论了高阶线性定常系统的编队和跟踪稳定性问题。文献[18]讨论了一类由多个二阶系统串联而成的高阶线性系统的编队控制问题。文献[19]研究了高阶群系统时不变编队的可行性。

文献[8-19]研究的均为群系统在理想通信条件下的编队控制问题，但在实际应用中不得不考虑时延对群系统编队形成的影响。针对二阶群系统，文献[20]指出时延会对编队形成所需的时间产生影响，并通过引入自身时延，减小了时延对编队的影响，提高了编队控制算法的收敛速度。文献[21]研究了二阶群系统在位置时延和速度时延同时存在的编队控制问题，并指出通信时延的增大并不一定使系统性能变差。文献[22]研究了常数时延和联合连通拓扑情况下的飞行器编队控制问题。文献[20-22]只定性讨论了时延对群系统编队形成的影响，而实际上时延上界是编队控制器增益选取和编队协议设计的重要依据，甚至还会影响编队形成的时间。文献[23]利用Lyapunov-Razumikhin定理给出二阶系统实现时不变/时变编队时系统所允许的时延上界。文献[24]给出了高阶群系统在时延情况下形成编队的充要条件。从现有研究成果来看，虽然考虑了通信时延对群系统编队产生的影响，但大都假定固定时延[20-24]，编队形成的分析方法主要以时域下的Lyapunov-Razumikhin或Lyapunov-Krasovskii为主，如文献[23-24]，所得的群系统所允许时延上界存在一定的保守性。

本文主要研究了一种基于自由权矩阵方法的时变时延线性群系统编队控制问题。与已有文献结果相比，主要贡献有：① 放宽通信时延的约束条件。不同于文献[20-24]关于固定时延的假设，本文讨论时变时延，这对编队形成问题的分析提出了挑战。② 不同于文献[24]的状态空间分解方法，利用变量代换方法将群系统编队问题转化为时延系统的镇定问题。③ 为降低文献[23-24]在计算时延上界时的保守性，采用自由权矩阵方法来分析群系统编队形成问题。同时，低保守性的控制算法缩短了编队形成时间。在之前的工作中，文献[25-26]研究了时变时延群系统平均一致性问题，通过引入自由权矩阵[27-28]，得到了保守性较低的时延稳定性判据。

本文的结构具体安排为：第1节简要介绍图论知识和相关引理。第2节对时变时延条件下的线性群系统编队问题进行描述，并设计了具有时延的一致性编队控制协议。在第3节中，将群系统编队控制问题转化为时延系统的镇定问题，构造合适的Lyapunov-Krasovskii函数并利用自由权矩阵方法得到了保守性较低的线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)判据，给出时延上界和控制器增益的求解方法。第4节通过仿真实验，验证了方法的有效性，并与已有方法进行了对比分析。最后对全文进行了总结。

1 图论知识和相关引理

1.1 图论知识概述

1.2 相关引理

引理1[29]图G的拉普拉斯矩阵L至少有一个0特征值，且1是0特征值所对应的右特征向量，即L1=0。如果图G是一个有向图，且含有一个有向生成树(至少存在一个节点到其他所有节点都有一条有向路径)，则0是L的单特征值，其他的非零特征值均具有正实部。

引理2[30]如果矩阵Y∈RN×N的各行和均为零，则存在矩阵Z∈RN×(N-1)和矩阵E∈R(N-1)×N使得Y=ZE,E的定义为

如果0是矩阵Y的单特征值，那么矩阵Z是列满秩的。

1)S<0

2 问题描述及编队控制协议

2.1 问题描述

由N个主体组成的群系统为

(1)

式中：i=1,2,…,N;A为系统矩阵;xi(t)∈Rn为第i个主体的状态；ui(t)∈Rm为第i个主体的控制输入。假设输入矩阵B是列满秩矩阵，各主体之间的通信用有向图G表示，且图G具有一个生成树。

定义1对于群系统式(1)，如果存在一个向量函数r(t)∈Rn使得

(2)

则称群系统式(1)能够形成时变编队h(t)，其中r(t)为编队参考函数，可以表示编队中心的运动模态。

2.2 时延编队控制协议

基于一致性理论，具有时延的状态编队控制协议为

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t)i=1,2,…,N

(3)

式中：

若dt为非时变的固定时延τ时，编队控制协议与文献[24]中的协议类似。

3 编队控制协议设计

3.1 变量代换

将式(3)代入式(1)，并令

得到系统式(1)的闭环方程为

(4)

式中：L为拓扑连通图的拉普拉斯矩阵。

令

则式(4)可以转换为

(5)

并令

则有

(6)

E由引理2给出。

由引理1和引理2可知，存在列满秩矩阵Z∈RN×(N-1)，使得L=ZE，对式(6)求导可得

(7)

式中：Z=LET(EET)-1。

(8)

且闭环时延系统

(EZ⊗BK2)φ(t-dt)

(9)

是渐近稳定的，群系统式(1)可以形成编队h(t)。

(10)

(11)

对于式(10)，可以通过选取辅助函数vi(t)使其成立。但对于式(11)，其中不包含控制协议式(3)中的控制量，即群系统若要形成编队h(t)，自身的动态特性需要满足式(11)。

编队控制协议中的ui1(t)不包含dt，可参照文献[24]中的方法对ui1(t)进行设计。即通过配置状态编队参考r(t)的运动模态，设计控制器增益K1，这里不再详细描述。

对于ui2(t)中的辅助函数vi(t)，需考虑式(11)是否成立。若式(11)成立，则群系统可以形成编队，vi(t)可以通过求解式(10)得到；若式(11)不成立，则说明群系统无法形成该指定编队。

下面，重点介绍控制协议ui3(t)中K2的设计及时延dt上界的求解方法。

3.2 时延系统镇定分析

(12)

对于时延系统式(12)，K1的求解方法由3.1节中给出，因此需要考虑如何选取K2使系统镇定。定理1给出了时延系统式(12)镇定的条件。

(13)

式中：

证明：利用牛顿-莱布尼茨公式，有

(14)

由式(14)，对于任意合适维数的矩阵M1和M2，有

2[φT(t)(IN-1⊗M1)T+φT(t-dt)·

(IN-1⊗M2)T]φ(t)-

(15)

另一方面，对于任意合适维数的矩阵Xij(i=1,2;i≤j≤2)，有式(16)成立

(16)

式中：

构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t,φt)=φT(t)(IN-1⊗P)φ(t)+

(17)

则V(t,φt)的导数为

(18)

(19)

式中：

由Lyapunov-Krasovskii稳定性定理可知，在式(19)中，如果

(20)

成立，则闭环系统式(12)是渐近稳定的。

由引理3，

(21)

式中：

如果式(20)对严格不等号成立，则

(22)

式中：

Γ2=[IN-1⊗M1,IN-1⊗M2]

由引理4，式(21)和式(22)同时成立，当且仅当

(23)

而式(23)等价于

(24)

则可知若式(24)成立，则式(20)一定成立。由Lyapunov-Krasovskii稳定性定理，若式(24)成立，系统式(12)是渐近稳定的。

由于式(24)中存在非线性项，为求解控制器增益K2，需要对式(24)作进一步处理。定义：

那么，就有

然后，令M1=aP,M2=bQ。此时U是可逆的，且

(25)

定义矩阵

利用矩阵Ω对式(24)中的矩阵Ξ进行合同变换，左乘ΩT，右乘Ω，得到

ΩTΞΩ=

(26)

式中：

(27)

3.3 编队控制器设计步骤

下面的算法给出了编队控制器的设计方法。

对于群系统式(1)和编队控制协议式(3)，K1、K2以及vi(t)的设计步骤为：

步骤1对于指定的编队h(t)，判断式(11)是否成立，若成立，通过时变编队h(t)和式(10)求出vi(t)。

步骤2根据需要，通过选取合适的控制器增益K1将A+BK1的极点配置在复平面上的指定位置，从而完成对状态编队参考r(t)的运动模态配置。

4 数值仿真与分析

考虑6个主体组成的群系统，各主体之间的通信拓扑G如图1所示。

4.1 多无人机编队控制

将群系统中的6个主体看做是6架无人机，根据文献[12,33]每架无人机的运动学模型由式(1)描述，其中

对于上述运动学模型，编队控制输入ui(t)即为每架无人机的加速度输入。考虑到无人机自身的加速度限制，将编队控制输入限制在±5 m/s2之间[33]。

定义参考编队h(t)为

其中:半径r=6m，角速度ω=0.25 rad/s。形成编队后，6架无人机分布在半径为6 m的圆周上且围绕编队中心旋转。根据3.3节算法的步骤1，可以得到辅助函数为

根据极点配置要求，选取K1=I2⊗[-2,-1.2]，此时编队中心固定。利用3.3节中的算法，借助LMI的feasp求解器和MATLAB工具箱中的优化算法，得到系统的时延上界为0.9 s。利用参数a、b可以求解出不同时延下的控制器增益K2。令时变时延为(0.5+0.4 sint)s，得到控制器增益为K2=I2⊗[-0.228 6,0.257 2]。

图2给出了仿真时间为100 s的无人机运动轨迹，图3为50～53 s之间的轨迹截图。其中，方框和五角星分别代表对应仿真时间段的起点和终点。可以看出，在飞行一段时间后，6架无人机形成了指定编队，围绕固定的编队中心飞行并保持稳定。

图4给出了每架无人机的编队控制输入曲线及其局部放大图。从图4中可以看出，输入值超过限制值的情况多发生在初始的动态调整阶段。进行输入限幅之后，在起始阶段，超过±5 m/s2范围的输入被限制在±5 m/s2之间。经过一段时间之后，无人机编队形成且趋于稳定，编队控制输入保持在一个较小的范围内变化。

表1给出了不同时延变化率上界μ的情况下，编队形成所需的时间。当无人机的状态与编队状态差值的方差小于10-4时，则认为形成编队。

表1 不同μ下的编队形成时间Table 1 Formation time with different μ

从表1中不难发现，随着时延变化率上界μ的增大，编队形成所需要的时间有所增加，但都可以在一定的时间内形成编队。

4.2 算法性能比较

为了比较算法的性能，参照文献[24]的仿真条件。每个主体由式(1)描述，其中A、B以及编队h(t)和各主体的初始状态参见文献[24]。

根据3.3节中的算法，可以得到：

选取K1=[3.088,-9.316,-8.180]，使得A+BK1的特征值分别为0.02、-2.2和-2。这时，编队参考r(t)将缓慢发散。

首先，对算法求取时延上界的保守性进行分析。利用本文方法所得到的时延上界为1.01 s，相比于文献[24]方法的0.68 s提高了约48%。本文在分析时延系统的镇定问题时，引入了自由权矩阵，在求解过程中，对自由权矩阵的参数a和b进行了优化选取，因此得到了保守性更小的时延上界求解方法。

参照文献[24]给出的条件对编队的形成速度进行分析，设定时延为0.02 s，图5给出了利用文献[24]方法和本文方法，得到的各主体的状态与编队相应状态差值的曲线,其差值可表示为zij=xij-hij(i=1,2,…,6;j=1,2,3),其中i为主体,j为状态。同样定义差值的方差小于10-4时，各状态差值趋于一致。图5中虚线给出了状态差值达到一致的时间。从图5中可以看出，本文与文献[24]设计的控制器均能使各主体的状态与相应编队状态的差值趋于一致，即形成期望的编队。但利用本文方法，形成编队的时间为77.88 s,而利用文献[24]方法形成编队的时间为164.94 s，因此，利用本文方法得到的控制器增益可以使群系统中各主体的状态更快地趋于一致，减小了编队形成所需的时间。

表2列出了5个不同初始值下，文献[24]方法和本文方法形成编队所需要的时间。从中可以看出，不同初始值的情况下，利用本文方法形成编队所需要的时间均小于文献[24]方法。

本文算法中，在得到了时延上界及其对应的控制器增益K2后，针对不同的时延，可以求解出与该时延相对应的控制器增益K2，相当于对K2也进行了优化选取。因此，提高了编队形成的速度。

表2 不同初值编队形成时间比较

5 结 论

本文利用一致性理论和自由权矩阵方法，解决了时变时延条件下的线性群系统编队控制问题，具体结论为：

1) 考虑时变时延条件下的群系统编队控制问题。与已有文献相比，本文放宽了对时延的约束条件。

2) 利用自由权矩阵方法对系统的镇定问题进行分析，得到了编队形成的LMI判据以及时延上界和控制器增益的求解方法。自由权矩阵的引入，降低了LMI判据的保守性，得到的时延上界及编队的形成速度均有所提高。

参 考 文 献

[1] NIGAM N, BIENIAWSKI S, KROO I, et al. Control of multiple UAVs for persistent surveillance: Algorithm and flight test results[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2012, 20(5): 1236-1251.

[2] CHEN Y Q, WANG Z. Formation control: A review and a new consideration[C]∥Proceedings of the 2005 IEEE/RSI International Conference on Intelligent Robots and Systems. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2005: 3181-3186.

[3] WANG P K C. Navigation strategies for multiple autonomous mobile robots moving in formation[J]. Journal of Robotic Systems, 1991, 8(2): 177-195.

[4] LEWIS M, TAN K. High precision formation control of mobile robots using virtual structures[J]. Autonomous Robots, 1997, 4(4): 387-403.

[5] BALCH T, ARKIN R. Behavior-based formation control for multi-robot teams[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1998, 14(6): 926-939.

[6] REZA O S, RICHARD M M. Consensus protocols for networks of dynamic agents[C]∥American Control Conference. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2003: 951-956.

[7] REZA O S, RICHARD M M. Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(9): 1520-1533.

[8] FENG X, LONG W, JIE C, et al. Finite-time formation control for multi-agent systems[J]. Automatic, 2009, 45(11): 2605-2611.

[9] REN W. Consensus strategies for cooperative control of vehicle formation[J]. IET Control Theory & Application, 2007, 1(2): 505-512.

[10] REN W, SORENSEN N. Distributed coordination architecture for multi-robot formation control[J]. Robotics and Autonomous Systems, 2008, 56(4): 324-333.

[11] DONG R S, GENG Z Y. Consensus for formation control of multi-agent systems[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2014, 25(14): 2481-2501.

[12] DONG X W, YU B C, SHI Z Y, et al. Time-varying formation control for unmanned aerial vehicles: Theories and applications[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2015, 23(1): 340-348.

[13] DONG X W, ZHOU Y, REN Z, et al. Time-varying formation control for unmanned aerial vehicles with switching interaction topologies[J]. Control Engineering Practice, 2016, 46: 26-36.

[14] 刘伟, 周绍磊, 祁亚辉, 等. 有向切换通信拓扑下多无人机分布式编队控制[J]. 控制理论与应用, 2015, 32(10): 1422-1427.

LIU W, ZHOU S L, QI Y H, et al. Distributed formation control for multiple unmanned aerial vehicles with directed switching communication topologies[J]. Control Theory & Applications, 2015, 32(10): 1422-1427 (in Chinese).

[15] LIN Z Y, FRANCIS B, MAGGIORE M. Necessary and sufficient graphical conditions for formation control of unicycles[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 50(1): 121-127.

[16] FAX J A, MURRAY R M. Information flow and cooperative control of vehicle formations[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(9): 1465-1476.

[17] PORFIRI M, ROBERSON D G, STILWELL D J. Tracking and formation control of multiple autonomous agents: A two-level consensus approach[J]. Automatica, 2007, 43(8): 1318-1328.

[18] LAFFERRIERE G, WILLIAMS A, CAUGHMAN J, et al. Decentralized control of vehicle formations[J]. Systems and Control Letters, 2005, 54(9): 899-910.

[19] MA C Q, ZHANG J F. On formability of linear continuous-time multi-agent systems[J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2012, 25(1): 13-29.

[20] LIU C L, TIAN Y P. Formation control of multi-agent systems with heterogeneous communication delays[J]. International Journal of Systems Science, 2009, 40(6): 627-636.

[21] RUDY C G, NEJAT O. Stability of formation control using a consensus protocol under directed communications with two time delays and delay scheduling[J]. International Journal of Systems Science, 2015, 47(2): 433-449.

[22] 薛瑞彬, 宋建梅, 张民强. 具有时延及联合连通拓扑的多飞行器分布式协同编队飞行控制研究[J]. 兵工学报, 2015, 36(3): 492-502.

XUE R B, SONG J M, ZHANG M Q. Research on distributed multi-vehicle coordinated formation flight control with coupling time-delay and jointly-connected topologies[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(3): 492-502 (in Chinese).

[23] LU X Q, AUSTIN F, CHEN S H. Formation control for second-order multi-agent systems with time-varying delays under directed topology[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(3): 1382-1391.

[24] DONG X W, XI J X, LU G, et al. Formation control for high-order linear time-invariant multi-agent systems with time delays[J]. IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2014, 1(3): 232-240.

[25] 张庆杰, 沈林成, 朱华勇. 具有多个通信时延的一类二阶多智能体系统平均一致性[J]. 控制与决策, 2011, 26(10): 1485-1492

ZHANG Q J, SHEN L C, ZHU H Y. Average consensus of a class of second order multi-agent systems with multiple communication delays[J]. Control and Decision, 2011, 26(10): 1485-1492 (in Chinese).

[26] ZHANG Q J, NIU Y F, WANG L, et al. Average consensus seeking of high-order continuous-time multi-agent systems with multiple time-varying communication delays[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2011, 9(6): 1209-1218.

[27] HE Y, WU M, SHE J H, et al. Parameter-dependent Lyapunov functional for stability of time-delay systems with polytopic-type uncertainties[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(5): 828--832.

[28] WU M, HE Y, SHE J H, et al. Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J]. Automatica, 2004, 40(8): 1435-1439.

[29] REN W, BEARD R W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 50(5): 655-661.

[30] ZHOU S L, LIU W, WU Q P, et al. Leaderless consensus of linear multi-agent systems: Matrix decomposition approach[C]∥Proceedings of the 7th International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2015: 327-331.

[31] BOYD S, GHAOUI L E, FERON E, et al. Linear matrix inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia, PA: SIAM, 1994: 7-8.

[32] GU K. A further refinement of discretized Lyapunov functional method for the stability of time-delay systems[J]. International Journal of Control, 2001, 74(10): 967-976.

[33] 周绍磊, 祁亚辉, 张雷, 等. 切换拓扑下无人机集群系统时变编队控制[J]. 航空学报, 2017, 38(4): 320452.

ZHOU S L, QI Y H, ZHANG L, et al. Time-varying formation control of UAV swarm systems with switching topologies[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(4): 320452 (in Chinese).