对 称 连 分 数*
2018-04-02刘效丽赵世恩程小红
刘效丽 赵世恩 程小红
(首都师范大学初等教育学院，北京 100048)
0 引 言
关于连分数，有如下结论(参见[2])：
定理0.1设jk≡±1(modn)，其中0
本文中，称连分数[aN,aN-1,…,a1,a0]和[a0,a1,…,aN]互为对称连分数.文中讨论对称连分数的一些性质，给出了对称连分数对应的分数所满足的条件，同时也对上述定理进行了证明并得到一个重要的推论.
本文所提到的连分数均指有限连分数.一般地，连分数是指如下形式的分式
其中a0,a1,…,aN称为该连分数的商序列，而每个an(0≤n≤N)称为该连分数的部分商.上述连分数有时也简记为[a0,a1,a2,…,aN]. 对于0≤n≤N，连分数[a0,a1,…,an]称为连分数[a0,a1,…,aN]的第n个渐进分数.
1 主要结果及其证明
在给出本文主要结果的证明之前，我们先回忆以下关于连分数的基本结论(参见[1])：
定理1.1对于连分数[a0,a1,…,aN]，如果以既约分数pn/qn表示它的第n个渐进分数的值，即
那么pn,qn满足以下关系：
p0=a0,p1=a1a0+1,pn=anpn-1+pn-2(2≤n≤N),
q0=1,q1=a1,qn=anqn-1+qn-2(2≤n≤N).
pnqn-1-pn-1qn=(-1)n-1,
pnqn-2-pn-2qn=(-1)nan.
对于连分数[a0,a1,a2,…,aN]，如果ai(1≤i≤N)均为正整数，那么该连分数称为简单连分数.
以下我们仅讨论简单连分数.注意到任一个简单连分数化简后为一个有理数，反过来任意有理数也可以表示为简单连分数.但是有理数用简单连分数的表示方法不是唯一的，事实上，对于简单连分数[a0,a1,a2,…,aN]，我们有
[a0,a1,…,aN]=[a0,a1,…,aN-1,1]，aN≥2；
[a0,a1,…,aN-1,1]=[a0,a1,…,aN-2,aN-1+1],aN=1.
如果我们要求最后一个部分商大于1，那么有限简单连分数的表示方法是唯一的，事实上我们有以下定理(参见[1])：
定理1.2如果两个简单连分数[a0,a1,…,aN]与[b0,b1,…,bM]有相同的值并且aN>1,bM>1，那么M=N并且这两个连分数相同，即an=bn,0≤n≤N.
下面，我们给出本文的主要结果及其证明.
定理1.3设简单连分数[a0,a1,…,aN-1,aN]与[aN,aN-1,…,a1,a0]的值分别为既约分数p/q与r/s.那么p=r并且qs≡±1(modp).
证明由定理1.1，连分数[a0,a1,…,aN-1,aN]的第n个渐进分数的值pn/qn满足
p0=a0,p1=a1a0+1,
pn=anpn-1+pn-2(2≤n≤N),
q0=1,q1=a1,
qn=anpn-1+qn-2(2≤n≤N).
对于连分数[aN,aN-1,…,a1,a0]，以rn/sn表示[an,…,a1,a0].于是
r0=a0,r1=a0a1+1,
rn=anrn-1+rn-2(2≤n≤N),
s0=1,sn=rn-1(1≤n≤N).
容易发现pn与rn满足相同的递推公式并且p0=a0=r0，p1=a0a1+1=r1，因此pn=rn,0≤n≤N.
以下用数学归纳法证明对于0≤n≤N均有qnsn≡±1(modpn).显然结论对n=0,1均成立.假设结论对2≤n≤N也成立，下面来证明结论对n+1也成立.事实上，
qn+1sn+1=qn+1rn
=(an+1qn+qn-1)pn
=an+1pnqn+pnqn-1
=(pn+1-pn-1)qn+pnqn-1
=pn+1qn+pnqn-1-pn-1qn
≡(-1)n-1(modpn+1).
至此，我们证明了qn=rn及qnsn≡±1(modpn)对于0≤n≤N均成立.特别地，当n=N时，pN/qN=p/q，rN/sN=r/s，因此定理得证.
定理1.4设jk≡±1(modm)，其中0
证明根据定理1.3，连分数[aN,aN-1,…,a1,a0]是[a0,a1,…,aN]的对称连分数，又因为[a0,a1,…,aN]=m/j，所以必有[aN,aN-1,……,a1,a0]=m/k′，并且jk′≡±1(modm).此外，因为aN>1，所以必有k′
下面来证明k=k′.
事实上，显然有jk≡jk′(modm).如果jk≡jk′(modm)，注意到(j,m)=1及0
推论1.5如果jk≡±1(modm)，0
证明注意到如果p/q>1的连分数展开为[a0,a1,…,aN]，那么q/p的连分数展开为[0,a0,a1,…,aN]，显然它们的部分商之和是相同的.由此可见，只要证明(m-j)/j与(m-k)/k的连分数展开的部分商之和是相同的即可.
分以下情况讨论：
(1)如果0
(2)如果0
所以m/k与m/(m-k)的连分数有的部分商之和相同. 再注意
j(m-k)≡-jk(modm),
因此j(m-k)≡±1(modm).又因为0
(3)如果0
(4)如果m/2
(m-k)(m-j)=m2-m(k+j)+kj≡kj(modm)≡±1(modm).
根据情况(1)，(m-(m-j))/(m-j)=j/(m-j)与(m-(m-k))/(m-k)=k/(m-k)的连分数展开的部分商之和相同，从而(m-j)/j与(m-k)/k的连分数展开的部分商之和是相同的.
综上，我们对于所有情况证明了(m-j)/j与(m-k)/k的连分数展开的部分商之和相同，从而推论得证.
事实上，定理1.3和定理1.4给出了两个简单连分数互为对称连分数的充分必要条件.
