初中数学解题方法——分类讨论的探究

郭晓明

(江西省赣州市经济技术开发区湖边中学 341000)

在最新的《九年义务教育数学课程标准》中就有着明确的规定，要将数学思想渗透入教学之中，这也是在初中数学教学中的一项重要的教学目标，而“分类讨论思想”就是教学思想中一个较为重要的方法.

在近几年中考考试中，能够很明显地体现出对学生分类思想运用的考查，都将分类思想作为解题的重要思想.

一、分类讨论具体步骤

1.分类讨论的第一步就要先了解到题目中所给的取值范围是多少，然后才能够在该范围内进行分类与讨论；

2.进行下一步的详细分类，按照一般的规律进行标准的分类或者是按照答案不重复的原则来对问题进行分类；

3.对已经分好类的情况进行逐步讨论加以解决；

4.进行最后的归纳并且作出结论.

二、分类讨论方法的具体运用

1.在三角形相关问题中的应用

例如：①等腰三角形的两边为7、6，则三角形的周长为____; ②三角形有一个角是80°，而且有两个角相等，则另外两个角的大小分别是____.

在该种类型的三角形问题中，就必须先对三角形的性质有一个熟悉的掌握与了解，并且根据题目中所给的边的长度条件，对于该三角形中是以7为腰还是以6为腰并不明确，并且还要以三边能够构成三角形为前提条件，因此，在该题中就已经具备了进行分类讨论的条件；在第二问中同样如此，对于哪两个角度相等并不明确，因此也要借助分类讨论来对两种情况进行讨论解决，也是在三角形中利用分类讨论方法的典型题.

2.在绝对值问题中的应用

在初中数学对绝对值的学习中可以得知，绝对值也就是数轴上点到原点的距离，而去掉绝对值，其中的数可以分为正负两种情况，因此，在绝对值问题的解决中就非常需要分类讨论的方法.但是需要注意的是，在对未知数去绝对值进行分类讨论时，就要注意未知数取值范围的大小，进行分类讨论的情况也就需要在已知的范围之内，所以，在对未知数求解时，倘若求出的数值不在范围之内，那么也就应该舍去.

3.在解方程中的应用

在解方程中最为常见的就是所给的未知数或者条件有着两方面的情况，此时就需要借助分类讨论的方法对每一个未知的情况分几个方面进行讨论求解.

例如：关于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，当m为何值时，方程有实根？

解当m-4=0，即m=4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根，为x=4/7. 当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程， 由Δ≥0,得m≥-1/12 且m≠4时，方程有两个实根.

该题是针对于未知数的最高次系数进行的分类讨论，而条件指示方程有实根，那么对应的一元二次方程或者一元一次方程的解都是存在的，而结果取的就是两种分类讨论结果的综合.

4.在函数题目中的应用

例如：当m=____时，函数y=(m+5)x2m-1+7x-3(x≠0)是一个一次函数.

解当(m+5)x2m-1是一次项时， 2m-1=1，m=1，整理为y=13x-3. 当(m+5)x2m-1是常数项时， 2m-1=0，m=1/2，整理为y=7x+5/2.当m+5=0时，m=-5，整理为y=7x-3.

在讨论(m+5)x2m-1的情况时，就需要分为两种情况，第一种就是为一次项，第二种就是结果为常数，而通过不同的m值也就能够得到不同的结果，最终进行整理就能够得出正确的答案.

5.在图形变化问题中的应用

在图形的变化中，会导致因为两个或者三个甚至多个图形位置的不确定而导致结果的不同，这就需要通过分类讨论而得.例如在几何应用中，线与线、线与面、面与面等两者之间的位置关系问题上，就存在多种讨论情况，需要仔细地找出不同的条件进行分类讨论，对于每一种可能的情况都不能够疏漏.

例如：已知圆O1、圆O2外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与圆O1、圆O2都相切的圆一共可以作出多少个?在讨论该题时，可以看出应该将其分为两个层次进行讨论，而在第一层情况中，还能够分为三种情况，分别是在学习中所得知的两个圆之间所有的三种位置关系：两个内切、两个外切以及一个内切一个外切三种情况，而对于这三种情况的每一个都对应有两种情形，因此，根据逐步的讨论，可以得出有六种不同情况.

从以上的题目中不难看出，分类讨论的方法需要的是对题目要进行仔细的分析、观察以及对题目条件进行比较，找出两者之间的共同点以及不同点，以此来对题目讨论方向进行一个划分，这也是分类讨论所遵守的原则：一是按照同一个标准进行划分，其次就是所分类的情况不能够有重复.如此才能够进行有效地分类讨论.

在初中数学的教学中，要重视数学思想的教学，例如分类讨论的思想，能够让学生在思考的过程中逐渐培养探索精神与创新意识，增强对问题思考的能力.而通过分类讨论方法的教授与使用，也是训练学生发散性思维的主要方式之一，因此在教学中教师要将分类讨论的思想有效地融入到教学之中，使得学生能够在对题目的理解与解题方面有着更加广阔的思维、思考空间，达到更加有效的教学目的.