一道测试题的教学与思考

江苏省江阴市青阳中学 王士勇 谭 颖

每学期临近期末，按照学校的要求，师生都要有计划地开展期末复习工作，学生必定会做一定量的模拟测试题，教师必定要进行试卷评讲，那么试卷评讲课应该怎么上呢？常见的有以下三种方式：1.就题讲题，普遍答错的题重点讲，少部分人答错的题少讲或不讲；2.有辨别地选择典型题型讲解，并配以同类型的题进行巩固；3.以上两种方式兼有，更注重解题策略与数学思想的渗透。

虽然以上方式中，教师会注重师生互动，但主要是教师为主，学生为辅的教学模式，这样的试卷讲评课模式显然不符合新课改的要求，新课改的六项目标主要包括（下称“目标”）：改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识能力、分析和解决问题能力以及交流与合作能力。笔者也在追问自己：试卷讲评课究竟该怎么上？怎样实施才会更有效地服务于“目标”？

带着这些问题，笔者不断在实践中探索与尝试，有了些点滴体会，不当之处，敬请批评指正。

一、学情调查

例题：已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax（a∈R）。

（1）当a=1时，求函数的单调区间，并证明函数f(x)只有一个零点；

（2）若函数f(x)在区间（1，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围。

这是笔者所在学校期末复习期间的一道检测试题，此题侧重于“双基”的考查，难度适中，思路宽广，学生极易上手，应该可以轻松完成。试卷批阅后发现，第（1）小题几乎没有学生出错，但第（2）小题，50人中有21人出错，大大超出了笔者的预期。笔者随即将答卷分发给各学习小组，要求各小组利用课余时间对此题的第（2）小题进行学情分析，并提交学情报告（因为笔者是班主任，经常带领学生分小组研究一些学科或非学科的问题，并提交研究报告）。根据学生小组提交的报告，笔者精心设计了一堂试卷讲评课。

二、教学过程

为了鼓励小组学习，教师首先展示了学生研究报告，表格如下：

序号 主要思路 人数 错误主因 人数1 区间(1，+∞)是函数f(x)单调减区间的子集 19 不等式求解 3分类讨论 3 2 导函数f'(x)≤0恒成立 24 f'(x)＜0 3分类讨论 6

3 对函数f(x)二次求导 5 对f'(x)再优化 4 4其他 2 多种因素 2

1．不识庐山真面目

本题第（2）小题是一道利用导数研究函数单调性问题的题型，应该是极易上手的，但从批阅情况来看，结果并不理想。

学生1：基于区间（1，+∞）是f (x)在定义域（0，+∞）内单调减区间的子集，

②当a＞0时，令f'(x)＜0，∴（2ax+1)(ax-1)＞0，解得或

教师：学生1的解答是对表格中思路1的完美演绎，抓住参数对导函数正负的影响这一本质进行了分类讨论，不仅回答了有些学生对此题不会分类讨论的疑惑，而且指明了解不等式出错的原因所在，非常好！实际上，课本是我们最好的指导老师，本题我们可以在课本中找到“题根”，参看苏教版高中数学（选修2-2）第28、29页例题1、2、3。那么，我们还可以怎么理解函数在给定区间上是单调的呢？

学生2：f (x)在区间（1，+∞）上是单调减函数可转化为f'(x)≤0在（1，+∞）上恒成立，但对我不会处理了。

学生3：可以把f '(x)≤0转化为2a2x2-ax-1≥0在（1，+∞）上恒成立，令g(x)=2a2x2-ax-1，则有gmin(x)≥0。

①当a=0时，则-1≥0，显然不成立；

教师：学生2对导函数的处理没有把握好，太可惜了。学生3通过层层剥离发现，它是求含参一元二次函数的最值问题，如何分类讨论也就迎刃而解了，值得表扬！那么，为什么会有人写成f'(x)＜0呢？

教师带领学生重温了苏教版高中数学（选修2-2）第28页的思考，学生明白：函数图象上任一点是无单调性的，一定要注意它对导数的影响。

随着分析的深入，学生已经注意到导函数对单调性的影响，教师继续追问学生：还能有其他解法吗？

学生4：受学生2的启发，我想把f '(x)的最大值求出，所以我想到了对f '(x)再求导。

教师：学生4的解法告诉我们：既然导函数也叫函数，那么我们为什么不能对它再求导研究呢？这就是我们曾经介绍的“二次求导”。

此时教师观察到学生们眼睛一亮，似有所悟，便继续发问：为什么有学生对学生3解法中的再求导没有做出来呢？自此，学生终于明白：导函数的优化选择很重要。教师再追问：这种做法真的不能求出结果吗？由于有了上面知识的铺垫，教师估计学生能够解决，便把此问题作为课后作业。

2．数形结合莫相忘

教师为了激发学生的思维灵感，引用了华罗庚教授曾说的一段话：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”那么能否从形的角度探寻问题的本质呢？学生进行小组探讨，并通过实物投影展示讨论成果。

教师：此法是从“形”的角度揭示了本题的内在特点，正所谓数形结合，相得益彰，往往会产生1+1＞2的功效，不正是创造性思维的原动力吗？

本题为什么会有那么多人出错？问题的根源正是学生对导函数没有进行细致入微地研究，不识庐山真面目，太可惜了！

3．更上一层楼

若教学活动到此为止，那就好比夜晚的烟火，虽绚丽夺目，但好景不长。为了激发学生的求知欲、创新欲以及在学生心中构建起系统的认知结构，教师又带领学生去拟制试题和感受高考。

（1）拟题

题1：已知函数f (x)=lnx-a2x2+ax（a∈R），若f (x)在区间（1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围。

题2：设函数f (x)=x3-ax2+a2x+1，g(x)=ax2-2x+1，a∈R，若f (x)与g(x)在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围。

（2）感受高考

题1：（2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T11改编）若函数f (x)=kx-lnx在区间（1，+∞）上单调递增，求k的取值范围。

题3：（2013·江苏高考数学·T20）设函数f (x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数。

（1）若f (x)在（1，+∞）上是单调减函数，且g(x)在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g(x)在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f (x)零点的个数，并证明你的结论。

题4：（2011·江苏高考数学·T19）已知实数a,b是实数，函数f (x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f '(x)和g'(x)是f (x)、g(x)的导函数，若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立，则称f (x)和g(x)在区间I上单调性一致。

（1）设a＞0，若f (x)和g(x)在区间[-1，+∞）上单调性一致，求b的取值范围；

（2）设a＜0，且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求的最大值。

通过拟题，学生不仅巩固了知识，而且升华了认知，更对自己的奇思妙想感到欣喜，变学数学为“玩”数学，寓创新于其中，体会不一样的乐趣。通过感受高考，学生为自己拟题点赞，更会明白：原来高考题就扎根于书本，孕育在基础知识之中。让高考不再那么高不可攀，神秘莫测，多了几分亲近，更接地气，原来高考题可以这样获得，同时也给学生课后作业和再探索留下了空间。

三、关于教学的思考

关于试卷讲评课，笔者以一道测试题为突破口，对试卷讲评课的有效模式做了一次尝试，并用一个“动”字来概括这次尝试，不仅新授课需要“动”，试卷讲评课也需要“动”，这里所说的“动”有显性和隐性之分，简称为“双动”。

1．显性的“动”

《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。” 故显性的“动”就是学生的“学习主动”，它是学生行为。学生在“学习主动”中获得知识、技能以及养成数学素养。在这节课中，学生要做到三“动”：课前学情分析、课堂以问题链为驱动的启发与探究、课后作业与再探究。笔者的意图很明显，通过三“动”，使学生逐渐学会用数学的观点来分析问题、探究问题和解决问题的问题策略以及基于数学素养的数学学习。罗增儒教授曾说：“学生逐步学会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。增强创新意识和数学应用能力。”让显性的“动”真正起到主动学习之功效。

2．隐性的“动”

《普通高中数学课程标准（实验）》中也指出：“学生的主动学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”这里的“教师引导”就是隐性的“动”，它是教师行为，包含了两个方面：一是教师对有效教学活动的构思；二是教师对有效教学活动的实施。在这节课中，笔者在学生显性的“动”上下足了功夫，如从课前学情分析、课堂以问题链为驱动的启发与探究、课后作业与再探究等教学活动的构思到实施，无不体现教师隐性的“动”。真正使教师隐性的“动”起到激发学生学习数学的兴趣、树立学生学好数学的信心、逐步养成用数学思维解决问题的习惯之功效。

[1]罗增儒．从数学知识的传授到数学素养的生成[J]．中学数学教学参考，2016（7）：2-7．