玻尔—索末菲的椭圆轨道理论的推导

武晓霞　展铁政　陈伟丽　侯小娟

【摘 要】本文从椭圆运动的轨道方程出发，结合量子化条件，详细推导了玻尔-索末菲的椭圆轨道的理论，给出了电子的能量以及量子化的半长轴a和半短轴b的表达式。能级公式与玻尔通过对圆轨道得到的结果一致，即能量是量子化的。而电子具有一定能量时，可能的状态n种，即n重简并。

【关键词】玻尔-索末菲的椭圆轨道；量子化条件；守恒量

中图分类号： O562.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）02-0064-002

【Abstract】Starting from the orbital equations of elliptical motion and combining with the quantization conditions，the theory of elliptic orbitals of Bohr-Sommerfeld is deduced in detail.The energies of the electron and the quantized half- and semi-minor axes b expression.The energy level formula is consistent with the result Bohr obtained for a circular orbit，that is，the energy is quantized.And electronic has a certain energy，the possible state n species，that is，n heavy degenerate.

【Key words】Bohr-Sommerfeld elliptical orbit；Quantization conditions；Conservation quantity

玻爾理论是原子结构的半经典理论，虽然引入了量子化的概念，但大部分计算依然沿用经典力学。索末菲推广了玻尔理论提出量子化通则，并应用有心力场中质点的普遍运动规律，得到了量子化的椭圆轨道。通常的原子物理学教材中进介绍索末菲理论的结果，而对其推导的过程讲解较少。其实，索末菲椭圆轨道理论是有心力场中粒子运动的重要应用环节。

本文依据理论力学中的有心力场理论详细推导了玻尔-索末菲椭圆轨道理论，并讨论了其物理意义。希望对理论力学和原子物理学的教学有参考作用。

在原子中，核外电子受到的库仑力也是平方反比吸引力，即

F=-■■e■，V（r）=-■■，（1）

式中，ε0是真空的电容率、Z是原子序数、-e是电子的电量、+Ze是原子核的电量。由于原子核的质量M远大于电子的质量m，可仍视作为力心的原子核静止不动，需要修正时再用μ取代m。按照经典力学的处理方法，得到电子绕核作椭圆运动的轨道方程，即

r=■（2）

ε表示偏心率。注意到α=■，再用符号pφ表示L，并称之为电子的轨道角动量，则椭圆轨道的几何参量为：

p=■，ε=■a=■■，b=■（3）

据行星沿椭圆轨道运动周期公式，可算出电子绕核运转的频率

f=■=■■=■■（4）

然而，在椭圆或圆轨道上运动的电子具有加速度，依经典电动力学：（1）加速运动的电子所发出的电磁辐射，其频率是连续分布的，这与原子的光谱是线状光谱不符；（2）因不断发出辐射而逐渐损失能量的电子将会很快陨落到原子核上，从而导致原子迅速塌缩，这就更与原子应具有稳定的结构这一基本事实相悖了。为说明原子的稳定性并解释原子的线光谱，玻尔（N.Bohr）于1913年建立了原子的量子论，指出电子只能沿着一组分立的定态轨道绕核运动，这时（即处于定态的）电子既不吸收也不辐射能量。玻尔还就圆轨道给出了定态条件，称为量子化条件。1916年，索末菲（Sommerfeld）把它推广到了椭圆轨道，对电子的径向运动与角向运动给出了两个量子化条件：

？蓍p■dr=n■h，？蓍p■dr=n■h，（5）

图1 电子的椭圆轨道

式中（参见图1），左边的r、φ是电子的极坐标，pr=m■、pφ=mr2■是与这两个坐标对应的径向线动量与轨道角动量，符号？蓍表示积分应沿运动的一个周期进行，两个积分都具有[能量·时间]的量纲，称为作用量积分；右边的h是普朗克常数，而nr、nφ是正整数，分别叫做径量子数和角量子数。

第二个作用量积分容易求出结果。因为在库仑场中pφ是常数，于是有

？蘩■■pφdφ=pφ·2π=nφh，

故得

pφ=mr2■=nφ■=nφh.（6）

考虑到pφ=0的轨道是过力心的直线，为不让电子贯穿原子核，在早期的量子论中，规定nφ是非零的正整数。因此上式表明：电子沿轨道运动的角动量不能连续变化，只能取角动量量子单位h=■的整数倍。

欲计算第一个作用量积分，不妨将积分变量从r变换成φ。为此，应先留意

■=■=■■=■■，dr=■dφ；

再令u=■、即dr=-■du，从而有

prdr=m■dr=■■■dφ=■■dφ，

注意到

■=■■=■

便可将被积式写为

这样，通过径向坐标给出的量子化条件就变成了

应用留数定理能够求得式中的定积分：

所以第二个量子化条件给出的结果是

由这一方程与式（6）及b=■=a■可知

■=■=■（7）

其中

n=nφ+nr（8）

称为主量子数。将a、b的经典力学表达式（3）代入式（7），即可解得电子的能量

E=-■■=-■■（9）

这与玻尔通过对圆轨道得到的能级公式相同，主量子数n的取值为n=1，2，3，…。上式表明，电子的能量也不能连续变化，只能依据主量子数n的不同取一系列离散的量值，常说成能量是量子化的。再将式（9）代回到式（3）中，就能求出量子化的半长轴a和半短轴b，即

a=（n■+n■）■■=n■■，b=（n■+n■）n■■=nn■■，（10）

这里

a1=■≈0.0529nm

称为第一玻尔半径。从（10）的两式还可看出：当b=a、即轨道变成圆时，应让nφ=n、nr=0。下面将各量子数的可能取值一并列出：

主量子数：n=1，2，3，…，

角量子数：nφ=1，2，3，…n，

径量子数：nr=n-1，n-2，…，0.

总之，电子的能量E（或者写成En）只与主量子数n有关。当n一定时，可以有一个圆轨道：nφ=n（nr=0）；n-1个椭圆轨道：nφ=1，2，…，n-1。也就是说n给定后，电子共有nφ取不同值的条可能轨道，即有n种可能状态；而电子处在这n种可能状态時都具有相同的能量。在量子力学中，将这种情况视为简并，n叫做简并度。图2给出了原子序数Z=1的氢原子处在n=3的能态时，电子的三条可能轨道。

图2 n=3的玻尔-索末菲电子轨道

可是，氢光谱具有精细结构，表明电子的能量不应是简并的。于是索末菲进一步用三维球坐标系代替平面极坐标系来讨论电子的开普勒问题，虽然仍未能解释谱线何以会分裂，却得出了轨道角动量在空间的取向（即轨道平面的法线）也不能连续改变的结论，并称之为空间量子化。空间量子化使原子具有了类似于“球形”的一种结构。此后，索末菲还将相对论效应引入到椭圆轨道理论中，结果是稳定的电子轨道已不再闭合，变成了绕一个焦点作慢进动的椭圆；而角量子数也出现在E的相对论修正项中，从而解除了能级的简并。

以上我们主要介绍了在玻尔-索末菲的椭圆轨道理论中，是如何将量子化的定态轨道从电子的经典轨道中挑选出来的，读者自然可体会出理论力学的方法所起的作用。尽管微观粒子具有波粒二象性，电子的运动其实并无一条确切的轨道，这一理论已被量子力学所取代。但是，从轨道理论到量子力学，是人们认识微观世界的历史进程。至今，玻尔-索末菲量子论不但仍能在一定程度上帮助我们理解原子的图像，而且其中的一些观念和方法对量子宇宙学的建立也有所启迪，在整个物理学中依然占有一席之地。

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