论哲学无限与数学无限的异同点（上）

张洪 庄严

摘要：众所周知，“有限无限问题”是数学的基本问题，也是哲学的基本问题。本文基于以下哲学观点开展讨论：反对唯心主义，接受辩证唯物主义，在这样的大前提下讨论“有限无限问题”。本文从哲学和数学角度全面回顾、剖析了黑格尔的辩证无限观，同时介绍了恩格斯关于无限的论述，并对数学中的实无限、潜无限观进行了分析，指出实无限观实际上是彻头彻尾的唯心主义的无限观。与此同时，作者对黑格尔的无限观和数学中的两种无限观进行了详细的分析比较，在此基础上作者提出了“辩证唯物主义无限观”：摒弃潜无限、实无限观中错误的一面，积极吸取两者正确的一面，即既要承认无限的客观存在性和可认识性、又要承认无限过程的不可完成性，这是解决数学实践中诸多矛盾的唯一正确途径。

关键词：实无限；真无限；潜无限；恶无限；辩证唯物主义的无限观

一、数学中“无限问题”的由来及争论

（一）“无限问题”的由来

我们知道，在数学史上，人们一直对“无限”有着两种截然相反的看法。一种是“潜无限”观，一种是“实无限”观。这两种无限观，把数学界分成两大对立的阵营；任何一个数学家都概莫能外超越这个矛盾而存在，它要求任何一个数学家都必须对此问题作出一个明确的回答。因此，对此问题的回答，天然地成为衡量一个数学家属于何种阵营的一个标准。那么，什么是这两种无限观的对立呢？“潜无限”观，是指我们不能够结束一个“无限过程”而到达其某一终点或其全部。反之，“实无限”观者却认为我们可以完成一个“无限过程”而到达它的终点或其“全部”。因此“潜无限”、“实无限”之矛盾，本质在于能不能“完成、终结”一个“无限过程”。它们的矛盾和对立是不言而喻的。

对于这两种无限观的区别，在《数学与无穷观的逻辑基础》一书中，朱梧槚先生从数学、哲学上给出了详细的分析。他在书中指出：“实无限”是由现在进行式（going）转化为完成式（gone），而“潜无限”是由现在进行式（going）强化为永远是现在进行式（going）；而无论是潜无限还是实无限，都是非有限进程。他从数学、哲学两个方面把两者的差别描述如下（参见朱梧槚，2008年，第204-207页）：

实无限：是一个完成式（gone），对于“无限进程”肯定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定能完成；

潜无限：是一个进行式（going），对于“无限进程”否定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定不能完成。

（二）历史上数学家、哲学家对“实无限”观的质疑和朴素否定

历史上亚里士多德（Aristotle）是第一个明确地只承认潜无限而反对实无限的学者，而柏拉图（Pla.to）则是第一个承认实无限而反对潜无限的学者。毫无疑问，集合论创始人康托（cantor）是“实无限”的捍卫者。亚里士多德这样描述他对无限的认识，“因为分害0过程永远不会告终（going）；这个事实保证了这种活动存在的潜在性，但并不能保证无限独立地存在”，他又指出，“空间和时间是可以无限地划分的（going），但并没有被无限地划分开来”。（参见朱梧槚，2008年，第203页）

伟大的数学天才高斯（Gauss）明确反对“實无限”。他在给舒马赫（Heinrich Schumacher）的信件中以十分坚决的口气表明了他的见解：“我反对把无穷量当作一种完成的实体来使用，这在数学中是绝对不允许的，无穷不过是谈及极限时的一种说话方式而已。”

伟大的法国数学家、天体力学家、科学哲学家彭加勒（Henri Poincare）先生也明确反对“实无限”。在他所著《科学与方法》一书中，他指出：“不存在实（给定的完备的）无穷。康托尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾之中。像康托尔主义者一样，罗素也忘记了这一点，而且碰到了同样的困难。但是，问题是要知道，他们是偶然地走上这条道路呢，还是受到必然性的驱使呢。在我看来，该问题是无可怀疑的；在罗素的逻辑中，对于实无穷的确信是基本的东西。正是这一点，把它与希尔伯特的逻辑区分开来。”（参见彭加勒，2008年，第148页）。彭加勒先生对康托（cantor）、罗素的思想进行了深刻的剖析。

以布劳威尔（Brouwer）为代表的直觉主义派是“实无限”的坚决反对者，他们认为只有“潜无限”而没有客观存在的真实的无限。以希尔伯特（Hilbert）为代表的形式主义派，承认“无限”的实在性，是典型的“实无限观”的拥护者，但是在具体的应用中又坚持“有限主义原则”，因此又是一个“潜无限”论者。这充分说明希尔伯特在“无限问题”上的矛盾性。他在一次著名的演讲中讲到：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深地触动着人们的情感；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效地激励着人的理智；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄清”（参见朱梧槚，1987年，第296页），可见他对“无限”的研究有着无比的热爱和期待。朱梧槚先生更是生动地称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”（参见朱梧槚，2008年，第146页）。以罗素（Russell）为代表的逻辑主义派，认为能把全部数学化归为逻辑，承认“实无限”观下的无限集理论，确认“实无限”性研究对象在数学领域中的合理性。因此，就无穷观而言，他们是典型的“实无限观”论者（参见朱梧槚，1987年，第271页）。普遍认为，罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性，但由于罗素为排除集合论中的悖论而发展他的分支类型论，因而在罗素系统中的“实无限性对象”就在不同的类和级中表现为一定的层次结构，这又变相地回归到“潜无限”观念上去。

即使是现代非标准分析的创始人鲁滨逊（Rob.inson）也反对“实无限”，他认为：无论在现实经验里或理性思维里都不存在实无限，但数学家为了进行数学工作只好把并不存在的东西当作似乎是存在着的那样。

（三）坚持“实无限”、抛弃“潜无限”，数学发展陷入一个恶性循环。恩格斯对那些引起数学混乱的先生们给予了无情的批评，并指出只有坚持唯物辩证法才能解决上述混乱。

数学发展史上的三次危机已经说明了上述结论，而集合论发展中所出现的一系列悖论再次佐证了上述论述。如，康托悖论说明，不存在包含一切集合的集合，也就是说，集合永远处于不断生长之中，这又是一个潜无限概念；抛球问题（引伸的芝诺悖论）说明，那个抛球过程根本不可能完成。而“无限交换悖论”又用“实无限”思想推翻了“希尔伯特旅馆”的可能性。伟大的逻辑学家哥德尔（Godel）用其不完全性定理彻底否定了希尔伯特“实无限性”的纲领，表明事物的发展形态是一种非“实无限”的形态，也即对事物的认识是处于一种不断前进却不能一劳永逸的状态。

凌鄂生先生在《恶无限性造成三次数学危机》一文中指出，“人们企图把矛盾推移到无限远去，这是一种从直觉看来很合理的回避矛盾的方法。但从逻辑上分析的结果是：被设想为不矛盾目标的无限远处也是一个矛盾的陷阱。希氏依然犯了恶无限性毛病。”（参见凌鄂生，1992年，第71页）。也就是说，希尔伯特想抛弃“恶无限”，但最终还是被“恶无限”所困。以罗素（Russell）为代表的逻辑主义派，为解决集合论中的悖论发展他的分支类型论、抓住“惡性循环原则”不放，其实是重新回归到“潜无限”这条道路上来（参见徐利治，2000年，第156.157页）。

上述表明，人们在用“实无限”思想发展数学理论时，出现了一个又一个矛盾，不得不再次回去重新处理一个新的、更大的“潜无限”。

黑格尔说得很透彻，“这里我们便首先遇着了量，特别是数，不断地超越其自身，这种超越，康德形容为‘令人恐怖的。其实真正令人恐怖之处只在于永远不断地规定界限，又永远不断地超出界限，而并未进展一步的厌倦性”（参见黑格尔，1987年，第229页）。这无疑给我们的数学家们开了一张清新的药方。

恩格斯对高等数学发展的混乱也给出了明确的批评。在马克思恩格斯的通信中，他批评了今天仍然存在于一些数学家头脑中的极其顽固的观点，他说：“为什么数学家们要那样顽固地坚持把它搞得神秘莫测。不过这是那些先生们的思想方法的片面性超成的”（参见马克思，1975年，第211页）。这已是对当今数学界中很大一部分人的警告了！爱因斯坦在“论科学”一文中也给出了类似的批评，他指出：“哲学上和逻辑上的大多数错误是由于人类理智倾向于把符号当作某种实在的东西而发生的。”

如何解决数学研究中的混乱、让数学回归健康的发展道路也就是回归到辩证唯物主义的发展道路上来？恩格斯指出理论、原则首先要适合客观实际。他指出：“不是自然界和人类去适应原则，而是原则只有在适合于自然界和历史的情况下才是正确的”（参见恩格斯，1970年，第32页）。象数学中的无限观，也只有适合自然，才有生命力。接着，恩格斯指出只有用唯物辩证法作为科学研究的指导思想，才能解决其中的混乱。在其《自然辩证法》一书的“《反杜林论》旧序”那一篇中，他指出，“自然科学家自己感觉到，这种纷扰和混乱如何厉害地统治着他们，现在流行的所谓哲学如何绝对不能给他们以出路。除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维，在这里没有其他任何出路，没有达到思想清晰的任何可能”（参见恩格斯，1971年，第29页）。在“自然科学与哲学”那一节中，他再次指出：“固定的范畴在这里消失了；数学走到了这样一个领域，在那里即是很简单的关系，如单纯的抽象的量之间的关系、恶无限性，都采取了完全辩证的形式，迫使数学家们既不自愿又不自觉地成为辩证的数学家。数学家们为了解决这种矛盾，为了调和高等数学和初等数学，为了弄清楚在他们看来是不可否定的结果的那些东西并不是纯粹荒诞无稽的东西，以及为了合理地说明那研究无限的数学的出发点、方法和结果所采用的牵强说法、无聊诡计和应急方法，是最滑稽可笑不过的了”（参见恩格斯，1971年，第181页）。这深刻说明了，要解决数学科学的混乱，必须把唯物辩证法作为其指导思想。

二、黑格尔（Hegel）的辩证无限观

伟大的哲学家黑格尔对“无限性、无限物”从哲学和数学等多个方面进行了深入细致的研究，其核心思想是：承认“恶无限”的存在，认为“恶无限”不是真正的无限；认为应该放弃、超越这个“无限进展”，进而认识“无限”的本质，即通过扬弃“恶无限”而认识“真正的无限（真无限）”。与此同时，他也认为这两种无限是相互转化的，具有“统一性”；认为“无限物”具有两种无限属性。然而，黑格尔的“真无限”与数学中的“实无限”有着本质的区别。因此，黑格尔的无限观本质上就是一种辩证无限观。

黑格尔这样分析“恶无限”和“无限过程”：“这种无限是坏的或否定的无限。因为这种无限不是别的东西，只是有限事物的否定，而有限事物仍然重复发生，还是没有被扬弃。换句话说，这种无限只不过表示有限事物应该扬弃罢了。这种无穷进展只是停留在说出有限事物所包含的矛盾，即有限之物既是某物，又是它的别物。这种无限进展乃是互相转化的某物与别物这两个规定彼此交互往复的无穷进展”（参见黑格尔，1987年，第206-207页）。关于“恶无限”的性质，他在《逻辑学（上卷）》中描述道：“这种坏的无限性，本身就与那种长久的应当是同一的东西；它诚然是有限物的否定，但是它不能够真正从有限物那里解放自己；有限物又在无限本身那里出现为无限的他物，因为这个无限物只是在与它的他物，即有限物的关系中。到无限的进展因此只是重复的单调，是有限物与无限物使人厌倦的、老一套的交替”（参见黑格尔，1974年，第141页）。

上述，黑格尔分析了“无限进展”，认为应该扬弃“恶无限”进而认识真正的无限，并认为意义重大。他进一步解释到，“但类似这样的无穷进展，并不是真正的无限。真正的无限毋宁是‘在别物中即是在自己中，或者从过程方面来表述，就是：‘在别物中返回到自己。对于真正无限的概念有一正确的认识，而不单纯滞留在无穷进展的坏的无限中，这具有很大的重要性”（参见黑格尔，1987年，第207页）；“我们曾说，这样的无限进展并不表述真的无限性，而只表述坏的无限性。它绝没有超出单纯的应当，因此实际上仍然停留在有限之中”（参见黑格尔，1987年，第228页）；“这意思是说，真的无限性不可视为一种纯粹在有限万物彼岸的东西，我们想要获得对于真的无限的意识，就必须放弃那种无限进展”（参见黑格尔，1987年，第230页）。即黑格尔认为，要认识“真的无限”，就必须扬弃、放弃“恶无限”；但这种放弃，并不是说黑格尔要否定“恶无限”的存在，更不是要“结束、完成”一个无限进展。上述表明，黑格尔在哲学史上第一次倡导从恶无限过渡到真无限，这是人类认识无限的巨大进步。

关于“恶无限”的存在性，无疑，黑格尔是充分肯定的。他在《小逻辑》中指出，“假如人们以为踏进这种的无限就可从有限中解放出来，那末，事实上只不过是从逃遁中去求解放。但逃遁的人还不是自由的人。在逃遁中，他仍然受他所要逃遁之物的限制。此外还有人说，无限是达不到的，这话诚然是完全对的，但只是因为无限这一规定中包含有抽象的否定的东西”（参见黑格尔，1987年，第207-208页）。

什么是真正的无限（真无限）？黑格尔接着剖析：“既然过渡达到之物与过渡之物是完全相同的（因为二者皆具有同一或同样的规定，即同是别物），因此可以推知，当某物过渡到别物时，只是和它自身在一起罢了。而这种在过渡中、在别物中达到的自我联系，就是真正的无限。或者从否定方面来看，凡变化之物即是别物，它将成为别物之别物。所以存在作为否定之否定，就恢复了它的肯定性，而成为自为存在”（参见黑格尔，1987年，第209页）。上述表明黑格尔清晰定义了“真无限”。什么是“真无限”？“真无限”就是“在别物中达到的自我联系”，就是无限物之间的共同本质、相互规定、内在联系或普遍性，是一种肯定（否定之否定），是一种自为存在。黑格尔认为，微积分中的极限概念就是这种真无限的很好例证，这与马克思对极限的认识已经本质上一致。因此，黑格尔的无限观更接近马克思主义的辩证无限观。如无限集合，当n趋向无穷大时（n是一个自然数），它的极限是0；0在这儿，就是这一集合的无限个元素之间的“共同本质”、“相互规定”、“内在联系”，也就是说，0是所有元素的共同的本质或属性；即，极限0是一个真无限，而n则是一个无限过程，是一个恶无限；但是，0不是集合的一个元素，它是无限过程不可达的一个事物。显然，“极限”思想与实无限思想是完全不同的两个概念。

如何从“恶无限”转化为“真无限”？在《逻辑学（上卷）》中，黑格尔指出，“如以前所说，有限性只是对自身的超越；所以有限性中也包含无限性，包含自身的他物。同样，无限性也只是对有限性的超越；所以它本质上也包含它的他物，这样，它在它那里就是它自身的他物。无限物扬弃有限物，不是作为有限物以外现成的力量，而是有限物自己的无限性扬弃自身”（参见黑格尔，1974年，第145页）。即：有限物对“无限过程”或“无限进展”的自我扬弃，进而转化为“无限物”，成为“真无限”。

然而，黑格尔并没有将“恶无限”、“真无限”完全对立开来，他认为它们是相互否定、相互转化、相互联系的，具有“统一性”；它们是“无限物”的对立统一的两个方面。这实际上是说：被扬弃了“无限进展”的“真无限”又是另外一种更高层次上的“有限物”。在《逻辑学（上卷）》“无限”那一节导言中，他从三个方面分析了“无限物”：“无限物（1）在单纯规定中，是作为有限物之否定那样的肯定物；（2）于是它就在与有限物的相互关系之中，并且是抽象片面的无限物；（3）这种无限物和有限物的自身扬弃，作为一个过程，——是真的无限物”（参见黑格尔，1974年，第135页）。由此可见，黑格尔的“无限物”是“恶无限”和“真无限”的统一。接着，他论述了从有限向无限的转化，他指出：“首先，有限物和无限物的否定，是在无限进展中建立的，这种否定可以看作是单纯的否定，所以两者也可以看作是彼此分开的，仅仅是前后相随的，但是在无限进展中也还呈现着它们的关系。最初是有限物，然后超越有限物，这个有限物的否定物或彼岸就是无限物；第三是又超越了这个否定，发生新的界限，又是一个有限物，这里是完全的、自身封闭的运动，运动达到了原来构成开始的东西，这里产生了与曾经是出发点的同样的东西，即有限物又恢复了；于是这个同一的东西是和它自己消融在一起的，不过是在它的彼岸又找到自己罢了”（参见黑格尔，1974年，第146-147页）。在上述论断中，黑格尔辩证地分析了“有限、无限”关系，认为“有限”转化为“无限”，而“无限”又在另外一个层次上转化为“有限”。例如，自然数集N包含“恶无限”多个自然数，但是一旦形成一个集合之后，在集合层面它又变成了地地道道的一个“有限”。

更形象地，黑格尔分别用“直线”、“圆”来形容“恶无限”、“真无限”。他写道，“到无限的进展，其形象是一条直线，在直线的两端界限上只是无限物，而且永远是在直线——直线是一个实有——所不在的地方，直线超越了，到了它的非实有，即是到了不被规定的东西之中；至于返回到自身的真的无限，其形象是一个圆，它是一条达到了自身的线，是封闭的，完全现在的，没有起点和终点”（参见黑格尔，1974年，第149页）。

为了进一步说明“恶无限”与“真无限”的统一性，黑格尔有力地驳斥了有限、无限对立的“二元论”；而数学上的“实无限”观就是属于这种对立的“二元论”。他指出，“[说明]认为有限与无限有不可克服的对立的二元论，却没有明了这个简单的道理，因为照二元论的看法，无限只是对立的双方之一方，因为无限也成为一个特殊之物，而有限就是和它相对的另一特殊之物。象这样的无限，只是一特殊之物，与有限并立，而且以有限为其限制或限度，并不是应有的无限，并不是真正的无限，而只是有限。有限的存在被这种二元论造成绝对的存在，而且得到固定和独立性。这种固定的独立的有限，如果与无限接触，将会消融于无形；但二元论决不使无限有接触有限的机会，而认为两者之间有一深渊，有一无法渡越的鸿沟，无限坚持在那边，有限坚持在这边。”二元论把“有限”看成是一个绝对的存在，而没有看到它终会被扬弃；在黑格尔看来，这种对立的“无限”不是真正的无限，它纯粹在彼岸，与无限进展（恶无限）没有内在的联系，因而实际上只是一个有限。所以在黑格尔看来“实无限”不是真正的无限，而只是一个有限。

接着，黑格尔又论述了有限物、无限物的双重意义：“有限物的双重意义是：第一，有限物仅仅就与它对立的无限物而言，是有限物，第二，它既是有限物，同時又是与它对立的无限物。无限物的双重意义，一是无限物为那两个环节的一个，——这样就是坏的无限物，——再就是这样的无限物，在其中无限物自身和它的他物两者都只是环节。正如无限物事实上是当前现有的，它也同样是过程，在过程中，无限物把自己降低为只是自己的规定之一，与有限物对立，从而本身也只是有限物之一，并且又将与它自己的这种区别自行扬弃而达到肯定，由于这种中介便成了真的无限物”（参见黑格尔，1974年，第148页）。上述说明，黑格尔认为“无限物（无限性）”具有双重含义，既肯定了“恶无限”是无限性的一种基本形式，又批评了只讲“恶无限”而不重视“真无限”的片面性；黑格尔认为“无限物”是“恶无限”与“真无限”的统一，它本身既是有限又是无限（参见黑格尔，1974年，第154页），而“真无限”则是“无限物”的本质和更高形式。从认识程序来看，可以说“恶无限”是人们从事物外部、从现象上认识无限性的结果；而“真无限”则是深入事物内部、事物内部的普遍联系性、从本质上认识无限性的产物。从“恶无限”过渡到“真无限”，标志着人类认识的深化，反映了人类对无限性的认识由可能到现实、由抽象到具体的发展过程，反映了人类在认识无限性问题上的主观能动性。由此可见：黑格尔所坚持的无限观完全符合马克思主义唯物辩证法，是辩证唯物主义的无限观。

为了强化上述对“恶无限”、“真无限”及其相关关系的分析，黑格尔进一步从数学无限的角度进行了详细的剖析，指出数学上的“无限系列”是“恶无限”，而“极限”、“有限的表现形式”就是“真无限”（因为“真无限”也是一个有限物），并分析了这两者之间的辩证关系。他举例，“这个分数可以表示为0.285714……这个分数可以表示为等等。这样分数就是一个无限的系列；分数本身意谓着这个系列的总和或有限的表现形式”（参见黑格尔，1974年，第267页）。上述右边是一个无限的系列，而左边则是此系列的有限表现形式。他认为，“系列的无限属于哪一类，现在也是很明显的；这是进展的坏的无限”（参见黑格尔，1974年，第268页），即右边无限的系列属于“恶无限”。同时，他认为“有限的表现形式”就是“真无限”，他指出：“——这样，寻常所谓总和，如或，事实上就是一个比率；而这个所谓有限的表现形式就是真的无限的表现形式”（参见黑格尔，1974年，第269页）。

关于数学上“恶无限”、“真无限”之间的辩证关系，黑格尔分析得也很透彻。首先他指出两者的不同，“无限系列中现实当前的那种不精密，在真的数学无限里却只是表面现象。这两类数学的无限，和两类哲学的无限一样，决不可以混淆。表现真的数学无限物，早就开始用过系列的形式，甚至近来也重又引用。但是这种形式对它并不是必要的；恰恰相反，下面将会指出无限系列的无限物与那种真的数学无限物有本质的区别。无限系列不如说是比分数的表现形式甚至还要低下一些”（参见黑格尔，1974年，第268-269页）。接着，他认为“无限系列”是不完全的，而“有限的表现形式”是完全的。他说，“无限系列包含着坏的无限，因为系列所应该表现的东西，仍然是一个应当，而它所表现出来的东西，又带着一个不会消失的彼岸，与它所应该表现的东西不同。无限系列之所以是无限的，并非为了被建立起来的各项的缘故，而是因为这些项不完全，因为有一个本质上属于这些项的他物，是它们的彼岸；建立的项无论愿意怎么多，便怎么多，而系列中实有的东西却仍然只是一个有限物，就真正的意义说来，是被建立为有限物，即它不是它应该是的那样的东西。与此相反，这种系列的所谓的有限的表现形式或总和却并没有欠缺；它所包含的值是完全的，而系列却只是在寻找这个值；彼岸从逃跑中被召回来了；这种表现形式是什么和它应该是什么并没分离，而是同一的东西”（参见黑格尔，1974年，第269页）。黑格尔继续从哲学上阐述两者的质的差异和统一性，认为“无限系列”实际上也是一个有限的表现形式，而“真无限”也包含了无限性的规定。他指出：“这两者区别所在，较确切地说，就是：在无限系列中，否定物是在它的各项之外的，这些项仅仅由于被当作数目的部分而当前现在。与此相反，有限的表现形式是一个比率，否定物在这个形式中，作为比率两端的相互规定，是内在的，这个相互规定回归到自己，是自身相关的统一，是否定之否定（比率两端都是环节），于是在自身中也就有了无限性的规定。——这样，寻常所谓总和，如或，事实上就是一个比率；而这个所谓有限的表现形式就是真的无限的表现形式。反之，无限系列倒真的是总和；它的目的是要把本身是比率的东西，以一个总和的形式来表现，而系列现有的各项不是一个比率的项，而是一个总和（Aggregat）的项。另一方面，系列还不如说是有限的表现形式；因为它是不完全的总和，本质上仍然是有缺憾的”（参见黑格尔，1974年，第269-270页）。

然而黑格尔的“真无限”与数学中的“实无限”还是有着本质的区别。黑格尔认为无限既可以完成又不可以完成（即“真无限”可以完成而“恶无限”不可以完成），表现在他对无限的辩证认识；他认为“真无限”的完成与“恶无限”的不可穷尽（不可完成）完全是两回事。

黑格尔自始至终都没有承认“无限进展”能够完成、能够结束，而是提出我们要超越这个“无限进展”进而认识无限的本质——无限物的内在联系，即认识“真正的无限（真无限）”。一方面，他认为“恶无限”本质上是有缺憾的，是不完全的总和（参见黑格尔，1974年，第269-270页），因而是不可完成的；另一方面，他直接指出“真无限”与“穷尽无限”无关，也就是与“实无限”无关。在《逻辑学（上）》中，他说到：“他首先把无限物定义为任何性质的存在的绝对肯定，相反地，有限物却是规定性、是否定。当然，一种存在的绝对肯定必须认为是它的自身关系，而不是由于有一他物；反之，有限物则是否定，是与一个他物的关系的终止，这个他物是在它以外开始的。一种存在的绝对肯定，当然没有穷尽无限的概念。这个概念之包含无限，即肯定，并不是作为直接的肯定，而只是通过他物在自身中的反思而恢复的肯定，或说是否定物之否定”（参见黑格尔，1974年，第271页）。

在黑格尔看来，“真无限”是一个肯定（否定之否定），是一个有限，因而是已完成的、现在的、具体的、可认识的。这个“真无限”就是“在别物中达到的自我联系”，是对“恶无限”的扬弃、否定，是无限物之间的共同本质、相互规定、内在联系或普遍性，是一种自为存在，因而也是一个更高级的有限。在《逻辑学（上）》，他继续分析，“那种在一个系列中的无限，斯宾诺莎称之为想像的无限物；另一方面，他称自身关系的无限物为思维的无限物或现实的无限物（infinitum acre）。它之所以是现实的（actu）无限，是因为它是已完成的和现在的。这样，0.285714……或等系列便仅仅是想像的、或意见的无限物，因为它们没有现实性，总是缺少点什么；反之，或都是现实的无限物，不仅有系列中现在各项的东西，并且还有系列所缺少而只是应该有的东西”（参见黑格尔，1974年，第272页）。这儿，那种“想像的无限物”就是恶无限，而“现实的无限物”就是真无限。

综上所述，可以将黑格尔的辩证无限观归纳如下：有限概念的相互规定构成无限（即“真无限”），无限是“恶无限”与“真无限”的统一，是一个自在自为的存在；“真无限”离不开“恶无限”，自为存在离不开自在存在。人类对无限的认识，由可能到现实、由抽象到具体，完成从“恶无限”到“真无限”的转变。“真无限”是现实的、具体的、完成的无限，是自為的存在和理性的存在，是完成了的质；而“恶无限”是可能的、抽象的、不可完成的无限，是自在的存在和知性的存在。

由此可见，数学中的“实无限”观认为“无限进展”可以完成，这与黑格尔的“恶无限、真无限”思想是背道而驰的。

三、恩格斯对“无限”的辩证分析和对“实无限”的否定

恩格斯特别重视对无限的正确认识，在《自然辩证法》、《反杜林论》两本书中对“无限”进行了深刻的分析、思考。主要有以下几个方面：

（一）恩格斯认为数学理论必须服从现实，对无限的认识要从客观现实来说明。

恩格斯说过：“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明。”（参见恩格斯，1971年，第249页）。

在《反杜林论》中，恩格斯重申了这样的思想，“因为在数学上，为了达到不确定的、无限的东西，必须从确定的、有限的东西出发，所以一切数学的序列，正的或负的，都必须从一开始，否则就无从计算。但是，数学家的观念上的需要，决不是对现实世界的强制法”（参见恩格斯，1970年，第48页）。

（二）恩格斯认为“无限”客观存在，肯定了黑格尔的辩证无限观。

在《自然辩证法》中，恩格斯指出：“当我们说，物质和运动既不能创造也不能消灭的时侯，我们是说：宇宙是作为无限的进步过程，即以恶无限性的形式存在着，而且这样一来，我们就理解了这个过程中所必须理解的一切”（参见恩格斯，1971年，第214页）。上述实际是承认无限的客观存在性。

接着，恩格斯对黑格尔的无限观进行了评价、肯定，他指出：“恶无限性。真无限性已经被黑格尔正确地安置在充实了的空间和时间中，安置在自然过程和历史中。今天整个自然界也溶解在历史中，而历史和自然史的不同，仅仅在于前者是有自我意识的机体的发展过程。自然界和历史的这种无限的多样性具有时间和空间的无限性——恶无限性，这种无限性只是被扬弃了的、虽然是本质的、但不是占优势的因素”（参见恩格斯，1971年，第215页）。

（三）恩格斯认为无限纯粹是由有限组成的，并认为这种矛盾不会消灭，也就是“无限过程”不可能完成。这是对“实无限”的直接否定，也是对黑格尔“恶无限”的直接肯定。

关于无限的本质，恩格斯在《反杜林论》中更是一针见血指出：“此外，杜林先生永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满种种矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样。物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的少，正象我们已经看到的，任何消除这些矛盾的尝试都会引起新的更坏的矛盾。正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间上无止境地展开的过程。如果矛盾消灭了，那就是无限的终结。黑格尔已经完全正确的看到了这一点，所以他以应有的轻蔑态度来对待那些空谈这种矛盾的先生们。”（参见恩格斯，1970年，第48-49页）。上述说明，在黑格尔、恩格斯看来，有限无限矛盾不可能消灭，也就是无限过程不可能终结。

关于“无限过程”的可完成性，恩格斯在《反杜林论》中直接给予了否定，他说：“永恒真理的情况也是一样。如果人类在某个时候达到了只运用永恒真理，只运用具有至上意义和无条件真理权的思维成果的地步，那末人类或许就到达了这样的一点，在那里，知识世界的无限性就现实和可能而言都穷尽了，从而就实现了已经数出来的无限数这一著名的奇迹。”（参见恩格斯，1970年，第84页）

为了说明“恶无限”思想，恩格斯认为不能用“思维与客观世界的同一性”去证明人的思维产物的现实性，进而对黑格尔思辨的神秘色彩——“绝对精神”进行了批判。他说到：“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性，这正是一个叫做黑格尔的人所说的最荒唐的热昏的胡话之一”（参见恩格斯，1970年，第39-40页）；“但是在人类历史中，黑格尔承认无限的进步过程是‘精神的唯一真实的存在形式，虽然他空想地认为这个发展是有终结的——在黑格尔哲学的确立中”（参见恩格斯，1971年，第215-216页）。上述论述说明，我们不能因为“有限主观世界”与“客观物质世界”存在“同一性”而去证明我们的思维产物——“无限过程可以完成”——现实性，这实际上指出了“实无限”观存在的致命缺陷。也就是说，“思维的无限可超越性”并不表示“客观无限过程的可完成性”，而且“思维的无限可超越性”也从来没有真正“完成过”。

（四）恩格斯认为无限的东西既可以认识，又不可以认识。这与黑格尔所坚持的“恶无限”、“真无限”在本质上是一致的。即“真无限”（作为无限物之间的普遍联系、内在关联）可以认识、完成的，而“恶无限”不可以认识、不可以完成。

首先，恩格斯认为“无限”可以认识，也就是黑格尔的“真无限”是可以认识的。他说，“这是完全正确的，只要进入我们认识领域的仅仅是有限的对象。但是这个命题还须有如下的补充：‘我们在根本上只能认识无限的东西。事实上，一切真实的、详尽无遗的认识都只在于：我们在思想中把个别的东西从个别性提高到特殊性，然后再从特殊性提高到普遍性；我们从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来。然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是无限性的形式；它是把许多有限的东西综合为无限的东西。……自然界中的普遍性的形式就是规律，而关于自然规律的永恒性，谁也没有自然科学家谈得多。……对自然界的一切真实的认识，都是对永恒的东西、对无限的东西的认识，因而本质上是绝对的”（参见恩格斯，1971年，第211-212页）。这儿，“普遍性的形式就是规律”就是指黑格尔的“真无限”，因而是“自我完成的形式”，是一种可完成的、可认识的自为的存在，所以是一种肯定、一个更高级的有限。

另一方面，恩格斯也指出“无限”是不可以认识的，也就是说黑格尔的“恶无限”不可以认识。他说，“但是，这种绝对的认识有一个重大的障碍。正如可认识的物质的无限性，是由纯粹有限的东西所组成一样，绝对地进行认识的思维的无限性，是由无限多的有限的人脑所组成的，而人脑是一个挨一个地和一个跟一个地从事这种无限的认识，常做实践上的和理论上的蠢事，从歪曲的、片面的、错误的前提出发，循着错误的、弯曲的、不可靠的途径行进，往往当真理碰到鼻尖上的时候还是没有得到真理（普利斯特列）。因此，对无限的东西的认识是被双重的困难围困着，就其本性来说，它只能在一个无限的渐渐的进步过程中实现。这已经使我们有足够的理由说：無限的东西既可以认识，又不可以认识，而这就是我们所需要的一切”（参见恩格斯，1971年，第212页）。（未完待续）