找出魔术颜料

小五

1个玻璃杯：毫无悬念

一天，魔术师正准备登台表演，在做最后的物品清点。忽然，他不小心将1瓶魔术颜料放进了装有14瓶普通颜料的箱子里。这些颜料都是黄色的，把它们滴进水里，水会变成淡黄色。不过，魔术颜料有其独特之处：水起初是淡黄色，但2分钟后，水会变成神秘的黑色。

魔术颜料可是魔术师表演时的秘密武器之一，但现在与普通颜料混淆了。魔术师只能通过测试的方法，把那瓶魔术颜料找出来。然而，登台时间就要到了，时间紧迫，他找来了4个玻璃杯，希望仅花2分钟时间就可以找出那瓶魔术颜料。

魔术师这个希望可以实现吗？4个装了清水的玻璃杯，仅2分钟时间，能检测15瓶颜料吗？

回答问题前，我们不妨先来看只有1个玻璃杯时的情况。

如果魔术师只有1个玻璃杯，毫无疑问，肯定是不能找出魔术颜料的。2分钟，1个玻璃杯只能检测1瓶颜料。我们可以根据玻璃杯内的液体是否变色，来判断那瓶颜料是普通颜料还是魔术颜料。

2分钟后，依然是淡黄色，说明是普通颜料；

2分钟后，变成黑色，说明是魔术颜料。

非常简单、清楚。接下来，我们试着将玻璃杯的数目增加到2。

2个玻璃杯：开始复杂

1个玻璃杯可以检测1瓶颜料，那么2個呢？如果答案是2瓶，那也太没有挑战性了吧！事实上，2个玻璃杯可以检测3瓶颜料。这个问题需要你稍稍转一下脑筋。

首先，我们给2个装有清水的玻璃杯编号，分别命名为A玻璃杯和B玻璃杯。

随后，我们先给A玻璃杯滴一滴1号瓶颜料，然后给B玻璃杯滴一滴2号瓶颜料。之后，我们拿起3号瓶颜料，分别往A、B玻璃杯里各滴上一滴，也就是这样（“+”代表加入）：

假如1号是魔术颜料，那么2分钟后，加入了1号颜料的液体会变黑，也就是说A玻璃杯的液体会变黑；假如2号是魔术颜料，那么2分钟后，变黑的是B玻璃杯的液体。如果3号才是魔术颜料，那么2个玻璃杯的液体都会变黑。

结论：2个玻璃杯可以检测3瓶颜料！

3个玻璃杯：突破极限

现在我们拿到了3个玻璃杯，先按刚刚的方法往3个杯子里滴加颜料：

这个方法是可行的，我们可以罗列出4种可能的结果：

但是，你再仔细研究一下，会不会感觉有些不妥，或者不甘心？3个玻璃杯的变色情况，真的只有4种吗？

我们列举了一个玻璃杯的液体变黑和所有玻璃杯液体变黑的情况，那么有没有其中某两个玻璃杯液体变黑的情况呢？

答案是有的。也许有的同学已经想到了：

对于这3个玻璃杯，我们可以像2个玻璃杯时那样，给它们两两滴加同样的颜料。可以这样安排：

你没有看错，每个玻璃杯里要滴加4种颜料！其中1～4号瓶颜料的分配和前面的方案是一样的，只有5、6、7号瓶是新增加的。根据变色情况，我们将得到7种可能的结果：

结论：3个玻璃杯可以检测7瓶颜料！

完美的超级实验

其实总结起来大家会发现，我们采用了如下策略进行检测：

给每个玻璃杯里滴加单独的1瓶颜料；

给玻璃杯中的每2个滴加1瓶新的颜料；

给玻璃杯中的每3个滴加1瓶新的颜料；

……

给所有玻璃杯都滴加同1瓶新的颜料。

为什么要这样检测？想必你很想知道其中的原理。

我们把前面得出的结论再次贴出：

1个玻璃杯检测1瓶颜料；

2个玻璃杯检测3瓶颜料；

3个玻璃杯检测7瓶颜料。

罗列完毕！观察数字，并结合我们的检测策略，我们可以推测得到这样的结论：n个玻璃杯可以检测（2n-1）瓶颜料。现在，大家可以用前面的方法进行检测，看看4个玻璃杯能给我们带来怎样的惊喜。

现在我们回到最初的问题，魔术师可以完成看似不可能完成的任务吗？当然可以！只要他手脚麻利、思维清晰，他就可以在2分钟内找出那瓶调皮的魔术颜料，顺利登台演出。

结论：4个玻璃杯能检测15瓶颜料！