巧用导数知识解函数相关问题
2018-03-23赵芯
摘 要：随着课改的不断深入，高考对导数知识考查的要求逐渐加强，利用导数研究函数的恒成立、求最值、方程的根、不等式的证明等问题是近几年高考中出现的一类热点题型。本文就导数在解决函数问题中一些应用技巧从四个方面作个初步探究。
关键词：导数；函数问题；解题技巧
导数是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值，讨论函数图像的变化趋势的重要工具，它的引入为解决函数相关问题提供了新的视野。数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决。
技巧一：巧用导数证明不等式
不等式的证明因其灵活多变、技巧性强著称，利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性。利用导数证明不等式的关键在于构造函数，只要函数构造恰当，推证过程就会变得特别简洁、明快。这种方法不仅有独特的功能，而且还可以培养思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率。
【例1】 证明：当x>1时，有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。
分析：本题不等式比较复杂，直接用初等的方法证明难度较大，但如果通过巧妙的变形，证明就会化难为易。只要把要证的不等式变形为ln（x+1）lnx>ln（x+2）ln（x+1），构造辅助函数 f（x）=ln（x+1）lnx，则只要证明f（x）在（1，+∞）上是单调减函数即可。
证明：取辅助函数f（x）=ln（x+1）lnx（x>1），
于是有f′（x）=lnxx+1-ln（x+1）xln2x=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）ln2x。
由于1 因而在（1，+∞）内恒有f′（x）<0，所以f（x）在区间（1，+∞）内严格递减， 于是，由1 从而有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。 技巧精髓：解题中常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点。这时不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的可导函数，再借助导数确定函数的单调性或求最值，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论。 技巧二：巧用导数求参数范围 运用导数确定存在性问题或恒成立问题中的参数取值范围是一类常见的探索性问题，此类问题涉及的知识面广，综合性强。解决的主要途径是在函数思想的指引下，将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，灵活地进行代数变形，综合地运用多科知识，等价转化为含参函数的最值讨论。 【例2】 已知函数f（x）=a+-x2-4x，g（x）=43x+1，若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围。 分析：本题考查了导数在求参数范围中的应用，通过移项作差构造辅助函数作为桥梁，利用导函数，将问题转化成求函数的最值，从而把问题巧妙解决。 解：由不等式f（x）≤g（x）得：a+-x2-4x≤43x+1即： a≤--x2-4x+43x+1 ① 構造函数，令h（x）=--x2-4x+43x+1，x∈[-4，0]。 要使不等式①恒成立，只要a≤h（x）min即可， 用导数知识可以求得h（x）min=-5，故a≤-5， ∴a的取值范围为（-∞，-5]。 技巧精髓：参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，巧妙利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。 技巧三：巧用导数研究方程的根 方程的根就是与之对应的函数的零点，通过导数的方法研究函数的性质，根据函数的性质画出函数的图像，然后根据函数的图像确定函数零点的情况，这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想。利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合，此法在高次方程以及超越方程根的分布问题的研究中有着传统工具无法比拟的优越性。 技巧精髓：使用导数的方法研究方程的根的个数问题，其基本思路是构造函数后，使用数形结合方法，讨论两个函数图像交点的个数。即先通过“数”的计算得到函数的单调区间和极值，再使用“形”的直观性确定函数图象与x轴的交点情况，从而得到方程根的分布情况，解题时应牢记：导数是工具、图形是核心、找根是目标。 参考文献： [1]李海富.如何利用导数知识解决函数问题[J].试题研究：教学论坛，2013年第4期. [2]何伟军.如何利用导数证明不等式[J].中学生数学，2012年4月. 作者简介： 赵芯，福建省福州市，福建师大二附中。
