探究直线系方程的巧用

摘要：直线系方程是解析几何中的一类重要问题，灵活运用直线系方程解题，可以减小计算量，从而达到事半功倍的效果。

关键词：直线系；平行；垂直；定点

直线系方程，是指满足某种共同特征的直线方程的全体。直线系方程问题是解析几何中的一类重要问题，灵活运用直线系方程解题，可以减小计算量，从而达到事半功倍的效果。

直线系方程可以大致分为以下几类：

1. 与直线l：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：Ax+By+λ=0（其中λ≠C，λ为待定系数）

【例1】求过点A（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。

解法1：由题知直线的斜率k=-23，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是-23。根据点斜式，得所求直线方程是y+4=-23（x-1），即2x+3y+10=0。

解法2：由平行直线系方程可设l：2x+3y+λ=0（1），又因为直线l过点A（1，-4），代入（1）式得λ=10。故直线方程为2x+3y+10=0。

点评：解法二设平行直线系方程比解法一设点斜式方程在计算上要简便。

2. 與直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为：Bx-Ay+λ=0或-Bx+Ay+λ=0（λ为待定系数）

【例2】已知直线l经过点M（2，-1），且与直线2x+y-1=0垂直，求直线l的方程。

解法1：设直线l的斜率为k，直线2x+y-1=0的斜率为k1，由题意知：k1=-2，kk1=-1，解得k=12。又直线l过点M（2，-1），故其方程为y+1=12（x-2），即x-2y-4=0。

解法2：设直线l的方程为x-2y+λ=0，代入点M坐标得：λ=-4，故l：x-2y-4=0。

点评：解法1利用垂直直线斜率间的关系，先求其斜率，再用点斜式求出方程；而解法二仅需设出垂直直线系方程，代入点的坐标就求出了待定系数。解法2的计算量明显要小得多。

3. 过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A（x-x0）+B（y-y0）=0（A2+B2≠0）或y-y0=k（x-x0）和x=x0

此直线系方程的第一种表达式即过定点的直线系方程的一般式，它避免了对直线斜率存在性的讨论，但涉及两个参数；第二种表达式即我们经常用到的点斜式方程，它只有一个参数，但要注意对斜率存在性进行讨论。

【例3】求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程。

解：设所求直线方程为A（x-2）+B（y-3）=0（A，B不同时为0）。

显然，当A=0或B=0时，所得直线方程不满足题意，故A，B均不为0。

当x=0时，y=2AB+3；当y=0时，x=3BA+2。

根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则2AB+3=3BA+2，

令z=AB，则2z+3=3z+2，整理，得2z2+z-3=0，解得z=1，或z=-32，

则A=B≠0，或A=-32B≠0，故所求直线方程为x+y-5=0，或3x-2y=0。

点评：过定点的直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，避免了分类讨论，解法具有通用性，有效地防止解题出现漏解或错解的现象。

4. 若直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（除去l2本身，λ∈R）

【例4】已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，求证：直线l恒过定点。

解法1：（恒等式法）直线方程化为：x+y-4+m（2x+y-7）=0，因为m∈R，所以x+y-4=0，2x+y-7=0。解得x=3，y=1，所以直线l恒过定点（3，1）。

解法2：（特殊直线法）取m=0，m=-1得，x+y-4=0，-x+3=0联立解得：x=3，y=1，将（3，1）代入l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0检验，满足方程。所以直线l恒过定点（3，1）。

点评：对证明直线系过定点问题，通常有两种方法：

（1）恒等式法：将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式各系数为0，列出关于x，y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标。

（2）特殊直线法：取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过解这两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点。

【例5】已知直线l经过两条直线x-y+5=0与x+y-3=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0，求直线l的方程。

解：设经两直线交点的直线方程为：x-y+5+λ（x+y-3）=0，变形可得：

（1+λ）x+（λ-1）y+（5-3λ）=0，解得：k=1+λ1-λ。因为1+λ1-λ·32=-1，故λ=-5，

所求的方程：2x+3y-10=0。

点评：本题用直线系方程表示所求直线方程，用含参数的式子表示出斜率，然后再利用垂直直线间斜率的关系，求出方程的待定系数，从而最终求得问题的解。这种方法称之为待定系数法，在已知函数或曲线类型问题中，我们都可以利用待定系数法来求解。

作者简介：

刘君，甘肃省兰州市，兰州民族中学。